河北省邯郸市大名一中、磁县一中，邯山区一中，永年一中等六校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

河北省邯郸市大名一中、磁县一中，邯山区一中，永年一中等六校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

1. 复数为虚数单位的共轭复数在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 下列结论错误的是

A. 圆柱的每个轴截面都是全等矩形
B. 一个棱锥至少有四个面
C. 一个棱柱至少有两个面平行
D. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台

3. 在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量，，设与的夹角为，则

A.  B.  C.  D.

5. 如图，用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形，其直观图是一个底角为，腰长为，上底为1的等腰梯形，那么原平面图形的最长边长为
   
    

A.  B.  C. 2 D. 3

6. 如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东处，且与它相距海里，则此船的航行速度是
    

A. 16海里/小时
B. 15海里/小时
C. 海里/小时
D. 海里/小时
 

7. 已知圆台的上底面面积是下底面面积的倍，母线长为4，若圆台的侧面积为，则圆台的高为

A. 2 B.  C. 5 D.

8. 在中，已知点P在线段BC上，点Q是AC的中点，，，，则的最小值为

A.  B.  C. 4 D.

9. 已知与是共轭虚数，以下4个命题一定正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 在中，角A、B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是

A.
B. 的最小内角是最大内角的一半
C. 是钝角三角形
D. 若，则的外接圆直径为

11. 已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最大值为，则

A. 正方体的外接球的表面积为 B. 正方体的内切球的体积为
C. 正方体的棱长为2 D. 线段MN的最小值为

12. 若O为坐标原点，，，，，，则的取值可能是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

13. 已知复数z满足，则__________.
14. 已知单位向量，向量，且，则__________.
15. 在平行四边形ABCD中，，M是CD中点．若，则__________.
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，，，，，则__________.
17. 已知复数是纯虚数．

求实数m的值；

若复数满足，，求复数






 

18. 已知平面内三个向量，，

求；

求满足的实数m，n；

若，求实数






 

19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

求角C的大小；

已知的面积为，求的值．






 

20. 已知在底面半径为3、母线长为5的圆锥中内接一个高为2的圆柱．

求圆柱的体积；

在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的高；若不存在，请说明理由．






 

21. 已知向量，，

求的最大值及取得最大值时x的取值集合M；

在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若且，求面积的最大值．






 

22. 已知两个不共线的向量，的夹角为，且，，x为正实数．

若与垂直，求；

若，求的最小值及对应的x的值，并指出此时向量与的位置关系；

若为锐角，对于正实数t，关于x的方程有两个不同的正实数解，且，求t的取值范围．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的几何意义及共轭复数的知识，属于基础题.
将复数化简，然后得出共轭复数，即可得到答案.

【解答】

解：，，对应的点位于第四象限.
故答案选

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查锥体、柱体的几何特征，属于基础题.
用一个平行于底面的平面截圆锥才可以得到一个圆台和一个圆锥，即可得到答案.

【解答】

解：对于A，圆柱的每个轴截面都是全等矩形，故 A正确;
对于B，棱锥的侧面最少有三个，故一个棱锥最少有四个面，故 B正确;
对于C，根据棱柱的概念可知，棱柱必有一组底面平行，故C正确;
对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥才可以得到一个圆台和一个圆锥，故D错误.
故选

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
由已知利用余弦定理，三角形的面积公式可得，即，结合范围，可求A的值．

【解答】

解：的面积为，
，可得，即，
，

故选：

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查两向量间的夹角问题，属于基础题.
根据题意，求出，再利用数量积的坐标运算求向量的夹角.

【解答】

解：由已知得，则，
故选

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查斜二测画法的知识，属于基础题.
把直观图还原出原平面图形，即可得到答案.

【解答】

解：
把直观图还原出原平面图形，则这个平面图形是直角梯形，所以，，
，
所以原平面图形的最长边长为，故选

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用正弦定理解决实际问题，属于基础题.
求出的度数，再利用正弦定理得出AB的长，即可求出船的航行速度.

【解答】

解：由图可知，，
则在中，，得，
所以该船的航行速度为海里/小时
故选

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆台的表面积知识，属于基础题.
根据圆台的上下底面积的关系以及圆台的侧面积，即可上下底面半径，从而得出圆台的高.

【解答】

解：设上底面的半径为r，
因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，
所以下底面的半径为3r，
又母线长为4，圆台的侧面积为，
所以，解得，
所以，
所以圆台的高为，
故答案选：

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量中三点共线问题、利用基本不等式求最值，属于中档题.
根据题意可知P，B，C三点共线，，得到，再利用基本不等式即可求出的最小值.

【解答】

解：由题意可知，，B，C三点共线，，，，
，当且仅当，即，时取等号.
故选

9.【答案】AC
 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的运算，复数的模以及共轭复数的知识，属于中档题.
设，，根据复数的运算，逐个选项判断.

【解答】

解：与是共轭虚数，设，，
，，A正确;
，因为虚数不能比较大小，因此B不正确;
，C正确;
不一定是实数，因此D不一定正确，
故选

10.【答案】AB
 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.
设，，，解得，，，再利用正余弦定理逐个判断.

【解答】

解：不妨设，，，
解得，，
由正弦定理知，即A正确;
，
最大的内角为C，最小的内角为A，
由余弦定理知，
，

，
，
故，即B正确;
，
为锐角，是锐角三角形，即C错误;
，
，
，
的外接圆直径，即D错误.
故选

11.【答案】ACD
 

【解析】

【分析】

本题主要考查关于正方体中外接球和内切球的问题，属于中档题.
设正方体的棱长为a，根据线段MN的最大值为，即可得出正方体外接球与内切球的半径，然后逐个选项判断即可.

【解答】

解：设正方体的棱长为a，则正方体的外接球的半径为对角线的一半，即内切球的半径为棱长的一半，即由于M和N为外接球和内切球上的动点，
故，解得，故 C正确;
外接球的表面积为，故 A正确;
内切球的体积为，故B错误;
线段MN的最小值为故D正确.
故选

12.【答案】CD
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的运算及坐标表示、向量模的坐标表示，考查二次函数求最值问题，属于拔高题.
根据题意，利用，得到方程组，再得出与n之间的函数关系，换元后利用二次函数性质求出取值范围.

【解答】

解：由题意知：，，

整理得+
令，则+=，且t，，
6，
3，的取值可能是3，
故选

13.【答案】1
 

【解析】

【分析】

本题考查了复数的模，属于基础题.
由复数的模的性质：，可直接得答案.

【解答】

解：因为，
所以，
故答案为

14.【答案】1
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础题．
由已知结合向量数量积的公式将展开，即可求解．

【解答】

解：因为，，，
所以，
所以，
故答案为：

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题.
向量的数量积运算一般有两种方法，即坐标法和基底法，特殊图形中要优先考虑坐标法，
根据，利用向量的数量积公式求解方程即可.

【解答】

解：
，
故答案为：

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式定理及其变形应用是解题的关键．
由正弦定理化简已知等式，结合，可得，可得，或，若，可得推出矛盾，可得，根据三角形内角和定理可得，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据余弦定理可求b的值．

【解答】

解：，
，
，由正弦定理可得：，
，，
可得，或，
若，由于，可得，可得舍去，
，可得，可得：，
，，
，
由，可得，
由余弦定理可得
故答案为：

17.【答案】解：由复数z为纯虚数，有，得

由知，令R，有

又由，得，故

由上知或

【解析】本题考查了复数的四则运算、复数的概念、复数的模、共轭复数，考查了学生的运算能力，属于基础题.
由复数z为纯虚数，可得m的方程，解之即可；
令，，，结合，可解得a，b的值，故得复数
 

18.【答案】解：，
；
由，得，
，解得；
，，
，，
解得
 

【解析】本题考查了平面向量的坐标运算，向量的平行，考查了计算能力，属于基础题．
可求出向量的坐标，然后求出的值；
根据，即可得出，然后解出m，n的值即可；
由，，然后根据，即可得出关于k的方程，再解出k的值即可．
 

19.【答案】解：，由正弦定理得
，
由余弦定理得
，
由题可得，

 

【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及向量的数量积 ，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题.
由正弦定理化简得，由余弦定理得，故得答案.
由三角形面积公式可得ab的值，故可求得的值．
 

20.【答案】解：如图，

已知，，，
圆锥的高，
，，
又，，
，，
圆柱的体积
假设存在另一个符合题意的圆柱，设其高为 h，底面半径为
则，即，，，
整理得，
解得或，
，不符合题意，舍去，
存在另外一个内接的圆柱与中圆柱体积相等，该圆柱的高为
 

【解析】本题主要考查圆锥的结构特征与圆柱的体积.
根据题意可得出圆锥的高，再得出圆柱底面半径，即可求出圆柱的体积；
假设圆柱存在，设其高为h，底面半径为则，得出圆柱的高，即可得到答案.
 

21.【答案】解：
，
即

，
的最大值为，
此时，即，
；
，
，
即，
，
，
即，
，当且仅当时等号成立，
，
故面积的最大值为
 

【解析】本题考查向量的数量积，余弦定理，三角形的面积，函数的图象与性质，属中档题．
利用向量的数量积，结合三角恒等变换化简函数的解析式，然后求解函数取得最大值时的x的集合即可．
利用求解C，利用余弦定理，结合基本不等式求出ab的范围，然后求解三角形的面积的最大值即可．
 

22.【答案】解：与垂直，
，
，
，，
，
，
，
，
；
，
，
时，的最小值为，
此时，
与垂直；
方程，等价于，
关于x的方程有两个不同的正实数解，
，

得，

若则方程①可以化为，

则，即由题知，故

令，得，故，且

当，且时，t的取值范围为，且；

当，或时，t的取值范围为

【解析】本题考查向量的数量积公式，考查方程根的研究，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．
利用与垂直，，化简可得，进而得到，即可求出；
将模平方，结合二次函数的性质，可求的最小值及对应的x的值，利用数量积公式，可确定向量与的位置关系；
方程，等价于，利用关于x的方程有两个不同的正实数解，建立不等式，即可确定结论．