苏科版八年级下册第9章 中心对称图形——平行四边形9.5 三角形的中位线课后复习题

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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题9.10三角形的中位线
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•海陵区期末）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，若BC＝10，则DE的长为（　　）

A．6 B．5 C．103 D．52
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可．
【解析】∵D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝10，
∴DE=12BC＝5．
故选：B．
2．（2020春•无锡期中）如图，在△ABC中，BC＝12，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE上一点，DF＝1，连接AF，CF，若∠AFC＝90°，则AC的长度为（　　）

A．10 B．12 C．13 D．14
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到EF的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解析】∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC＝6，
∴EF＝DE﹣DF＝6﹣1＝5，
在Rt△AFC中，AE＝EC，
∴AC＝2EF＝10，
故选：A．
3．（2020春•古丈县期末）如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（　　）

A．12m B．10m C．9m D．8m
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解析】∵A、B分别是CD、CE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴AB=12DE=12×18＝9，
故选：C．
4．（2020春•邳州市期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（　　）

A．8 B．7 C．6 D．5
【分析】连接DN，根据三角形中位线定理得到EF=12DN，根据题意得到当点N与点B重合时，DN最大，根据勾股定理计算，得到答案．
【解析】连接DN，
∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，
∴EF=12DN，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时DN=AB2+AD2=10，
∴EF长度的最大值为：12×10＝5，
故选：D．

5．（2020•连云区二模）如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（　　）

A．1 B．32 C．52 D．53
【分析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME＝EB，根据三角形中位线定理得到DE=12AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．
【解析】延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EB，又AD＝DB，
∴DE=12AM，DE∥AM，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°，
∵CM＝CA，
∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴AN＝AC•sin∠ACN=32，
∴AM=3，
∵BD＝DA，BE＝EM，
∴DE=32，
故选：B．

6．（2020春•灌云县期中）如图是一块等腰三角形空地ABC，已知点D，E分别是边AB，AC的中点，量得AC＝10米，AB＝BC＝6米，若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡，则需要篱笆的长是（　　）

A．22米 B．17米 C．14米 D．11米
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，利用四边形的周长得到即可．
【解析】∵点E，D分别是边AC，AB的中点，BC＝6米，
∴DE＝3米，
∴DB＝3米，EC＝5米，
∴篱笆的长＝DE+BC+CE+DB＝3+6+3+5＝17米．
故选：B．
7．（2020春•洛阳期末）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，AH是高，若ED＝6cm，那么HF的长为（　　）

A．5 cm B．6 cm C．10 cm D．不能确定
【分析】根据D、E、F分别是△ABC各边的中点，可知DE为△ABC的中位线，根据DE的长度可求得AC的长度，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得HF=12AC，即可求解．
【解析】∵D、E分别是△ABC各边的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∵ED＝6cm，
∴AC＝2DE＝2×6＝12（cm），
∵AH⊥CD，且F为AC的中点，
∴HF=12AC＝6cm．
故选：B．
8．（2020春•马山县期末）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（　　）

A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【分析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC；又因为点E是BC的中点，所以OE是△ABC的中位线，由OE＝3cm，即可求得AB＝6cm．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC；
又∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）
故选：B．
9．（2019春•秦淮区期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝15°，∠ACB＝87°，则∠FEG等于（　　）

A．39° B．18° C．72° D．36°
【分析】根据三角形中位线定理得到FG∥AD，FG=12AD，GE∥BC，GE=12BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解析】∵F、G分别是CD、AC的中点，
∴FG∥AD，FG=12AD，
∴∠FGC＝∠DAC＝15°，
∵E、G分别是AB、AC的中点，
∴GE∥BC，GE=12BC，
∴∠EGC＝180°﹣∠ACB＝93°，
∴∠EGF＝108°，
∵AD＝BC，
∴GF＝GE，
∴∠FEG=12×（180°﹣108°）＝36°，
故选：D．
10．（2019春•金坛区期中）如图，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F，G分别是BO，CO的中点，连接AO．若要使得四边形DEFG是正方形，则需要满足条作（　　）

A．AO＝BC B．AB⊥AC
C．AB＝AC且AB⊥AC D．AO＝BC且AO⊥BC
【分析】根据三角形中位线定理得到DE=12BC，DE∥BC，FG=12BC，FG∥BC，得到四边形DEFG为平行四边形，根据正方形的判定定理解答即可．
【解析】∵点E、D分别为AB、AC的中点，
∴DE=12BC，DE∥BC，
∵点F、G分别是BO、CO的中点，
∴FG=12BC，FG∥BC，
∴DE＝FG，DE∥FG，
∴四边形DEFG为平行四边形，
∵点E、F分别为AB、OB的中点，
∴EF=12OA，EF∥OA，
当EF＝FG，即AO＝BC时平行四边形DEFG为菱形，
当AO⊥BC时，DE⊥OA，
∵EF∥OA，
∴EF⊥FG，
∴四边形DEFG为正方形，
则当AO＝BC且AO⊥BC时，四边形DEFG是正方形，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•泰州月考）如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，则∠ADC的度数为　135°　．

【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可．
【解析】连接BD，如图所示：
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°，
故答案为：135°．

12．（2020春•仪征市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、AC、AD的中点．若AB＝6，则EF的长度为　32　．

【分析】根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形中位线定理求出EF．
【解析】在Rt△ABC中，D为AB的中点，
∴CD=12AB＝3，
∵E、F分别为AC、AD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴EF=12CD=32，
故答案为：32．
13．（2020秋•阜宁县期中）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连按DE，则△CDE的面积为　32　．

【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝DC＝3，AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算即可．
【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，
由勾股定理得，AD=AC2−CD2=4，
∴△ABC的面积=12×BC×AD＝6，
∵AD是△ABC的中线，
∴△ADC的面积=12×△ABC的面积＝3，
∵DE是△ADC的中线，
∴△CDE的面积=12×△ADC的面积=32，
故答案为：32．
14．（2020春•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝12cm，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，点F是BC的中点，则EF＝　4　cm．

【分析】根据勾股定理求出AC，得到BD的长，根据等腰三角形的性质得到CE＝DE，根据三角形中位线定理解答即可．
【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC=AB2−BC2=132−122=5，
∴AD＝AC＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝13﹣5＝8，
∵AC＝AD，AE⊥CD，
∴CE＝DE，
∵CE＝DE，CF＝BF，
∴EF是△CBD的中位线，
∴EF=12BD＝4，
故答案为：4．
15．（2020•铜山区二模）在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则DE＝　3　．
【分析】根据三角形的中位线定理得出DE=12BC，代入求出即可．
【解析】如图，
∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE=12BC，
∵BC＝6，
∴DE＝3，
故答案为：3．

16．（2020•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝　5　．

【分析】首先由直角三角形的性质求得AC＝2BF，然后根据三角形中位线定理得到DE=12AC，此题得解．
【解析】如图，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，F为CA的中点，BF＝5，
∴AC＝2BF＝10．
又∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE是Rt△ABC的中位线，
∴DE=12AC＝5．
故答案是：5．

17．（2020春•高邮市期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝10，D，E分别是AC和BC上的点，且CE＝2，CD＝4，连接BD，AE．G、H分别是AE和BD的中点，连接GH，则线段GH的长为　13　．

【分析】过A作AP∥BC，过B作BP∥AC，AP，BP交于P，得到四边形ACBP是平行四边形，推出四边形ACBP是矩形，得到PB＝AC＝10，AP＝BC＝6，∠APB＝90°，连接CH并延长JIAOPB于M，连接CG并延长交AP于N，根据全等三角形的性质得到BM＝CD＝4，CH＝HM，同理，AN＝CE＝2，CG＝GN，根据勾股定理得到MN=PM2+PN2=213，由三角形的中位线定理即可得到结论．
【解析】过A作AP∥BC，过B作BP∥AC，AP，BP交于P，
∴四边形ACBP是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBP是矩形，
∴PB＝AC＝10，AP＝BC＝6，∠APB＝90°，
连接CH并延长交 PB于M，连接CG并延长交AP于N，
∴∠BMH＝∠HCD，
∵H是BD的中点，
∴BH＝DH，
∵∠BHM＝∠DHC，
∴△CDH≌△MBH（AAS），
∴BM＝CD＝4，CH＝HM，
同理，AN＝CE＝2，CG＝GN，
∴PM＝6，PN＝4，
∴MN=PM2+PN2=213，
∴HG=12MN=13，
故答案为：13．

18．（2020春•姜堰区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE长度的取值范围是　65≤DE≤2　．

【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CH，根据三角形中位线定理得到DE=12CM，得到答案．
【解析】作CH⊥AB于H，连接CM，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=5，
S△ABC=12×AC×BC=12×AB×CH，即12×3×4=12×5×CH，
解得，CH=125，
∵点D、E分别为CN、MN的中点，
∴DE是△MNC的中位线，
∴DE=12CM，
当CM⊥AB时，CM最小，最小值为125，
当点M与点B重合时，CM最大，最大值为4，
∴65≤DE≤2，
故答案为：65≤DE≤2．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•肇源县期末）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．
（1）求证：BD＝DE；
（2）求DM的长．

【分析】（1）根据条件可证明△ADB≌△ADE，从而可得BD＝DE；
（2）由（1）可知：EC＝AC﹣AB＝8，然后根据中位线即可求出DM．
【解析】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°．
在△ADB与△ADE中，
∠BAD=∠EADAD=AD∠ADB=∠ADE
∴△ADB≌△ADE，
∴BD＝DE．
（2）∵△ADB≌△ADE，
∴AE＝AB＝12，
∴EC＝AC﹣AE＝8．
∵M是BC的中点，BD＝DE，
∴DM=12EC＝4．
20．（2020春•工业园区校级期中）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝20°，求∠PFE的度数．

【分析】根据三角形中位线定理得到PE=12AD，PF=12BC，得到PE＝PF，根据等腰三角形的性质解答．
【解析】∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE=12AD，
同理，PF=12BC，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PFE＝∠PEF＝20°．
21．（2020春•长葛市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线．
求证DE＝AF．
证法1：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝　12BC　．
∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，
∴AF＝　12BC　，
∴DE＝AF．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
证法2：

【分析】证法1：根据三角形中位线定理得到DE=12BC，根据直角三角形的性质得到AF=12BC，等量代换证明结论；
证法2：连接DF、EF，根据三角形中位线定理得到DF∥AC，EF∥AB，证明四边形ADFE是矩形，根据矩形的对角线相等证明即可．
【解析】证法1：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE=12BC，
∵AF是△ABC的中线，∠BAC＝90°，
∴AF=12BC，
∴DE＝AF，
证法2：连接DF、EF，
∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，
∴DF、EF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴DE＝AF．
故答案为：12BC；12BC．

22．（2020春•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理得到AD＝AE，得到DB＝EC，根据三角形中位线定理证明结论；
（2）延长FG交AC于N，根据三角形中位线定理得到FH∥AC，FN∥AB，根据平行线的性质解答即可．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC．
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴DB＝EC，
∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，
∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FG=12BD，FH=12CE，
∴FG＝FH；
（2）解：延长FG交AC于N，
∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴FH∥AC，FN∥AB，
∵FG⊥FH，
∴∠A＝90°，
∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．

23．（2020春•南岗区校级月考）已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
求证：EG、HF互相平分．

【分析】根据三角形的中位线定理可判定四边形EHGF为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到EG、HF互相平分．
【解析】证明：连接EH，GH，GF，
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴AB∥EH∥GF，GH∥BC∥BF．
∴四边形EHGF为平行四边形．
∵GE，HF分别为其对角线，
∴EG、HF互相平分．

24．（2019秋•睢宁县期中）如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
（1）AB＝6，AC＝4，求四边形AEDF的周长；
（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．

【分析】（1）根据直角三角形的性质、中线的概念分别求出DE、AE、DF、AF，根据四边形的周长公式计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理解答．
【解析】（1）∵AD是高，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADB中，E是AB的中点，
∴DE=12AB＝3，AE=12AB＝3，
同理可得，AF＝DF=12AC＝2，
∴四边形AEDF的周长＝3+3+2+2＝10；
（2）EF垂直平分AD，
理由如下：∵EA＝ED，FA＝FD，
∴EF是AD的垂直平分线．