初中数学苏科版八年级下册第10章 分式10.5 分式方程随堂练习题

2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】

专题10.5分式方程

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020•南通模拟）方程1的解是（　　）

A．1 B．0 C．无解 D．2

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解析】去分母得：1＝1﹣x，

解得：x＝0，

经检验x＝0是分式方程的解．

故选：B．

2．（2019春•华安县期中）把分式方程1化为整式方程，正确的是（　　）

A．2（x+1）﹣1＝﹣x B．2（x+1）﹣x（x+1）＝﹣x 

C．2（x+1）﹣x（x+1）＝﹣1 D．2x﹣x（x+1）＝﹣x

【分析】两边乘最简公分母即可判断．

【解析】1，

两边乘x（x+1）得到，2（x+1）﹣x（x+1）＝﹣x，

故选：B．

3．（2020春•淮阴区期中）已知关于x的分式方程3的解是5，则m的值为（　　）

A．3 B．﹣2 C．﹣1 D．8

【分析】把x＝5代入分式方程求得m的值即可．

【解析】把m＝5代入关于x的分式方程3得：3，

解得：m＝﹣1，

故选：C．

4．（2020春•城固县期末）已知关于x的方程3的解是负数，那么m的取值范围是（　　）

A．m＞﹣6且m≠﹣2 B．m＜﹣6 C．m＞﹣6且m≠﹣4 D．m＜﹣6且m≠﹣2

【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出方程的解，根据方程的解是负数，确定m的取值范围．

【解析】去分母，得2x﹣m＝3x+6，

∴x＝﹣m﹣6．

由于方程的解为负数，

∴﹣m﹣6＜0且﹣m﹣6≠﹣2，

解得m＞﹣6且m≠﹣4．

故选：C．

5．（2019秋•张家港市期末）若关于x的分式方程的解为负数，则字母a的取值范围为（　　）

A．a≥﹣1 B．a≤﹣1且a≠﹣2 C．a＞﹣1 D．a＜﹣1且a≠﹣2

【分析】解分式方程得x＝a+1，由题意可知a+1＜0，当x＝﹣1时，a＝﹣2，方程有增根．

【解析】方程两边同时乘以x+1，得

2x﹣a＝x+1，

解得：x＝a+1，

∵解为负数，

∴a+1＜0，

∴a＜﹣1，

当x＝﹣1时，a＝﹣2，

∴a＜﹣1且a≠﹣2，

故选：D．

6．（2019春•建平县期末）定义：如果一个关于x的分式方程b的解等于，我们就说这个方程叫差解方程．比如：就是个差解方程．如果关于x的分式方程m﹣2是一个差解方程，那么m的值是（　　）

A．2 B． C． D．﹣2

【分析】利用差解方程定义确定出方程的解，代入方程计算即可求出m的值．

【解析】由关于x的分式方程m﹣2是一个差解方程，得到x，

把x代入方程得：2m＝m﹣2，

解得：m＝﹣2，

故选：D．

7．（2020•南通模拟）如方程1有增根，则a的值是（　　）

A．2 B．2或6 C．2或﹣6 D．6

【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；

【解析】分式方程去分母得：x﹣a＝﹣4，

由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）＝0，即x＝2或x＝﹣2，

把x＝2代入整式方程得：2﹣a＝﹣4，即a＝6；

把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2﹣a＝﹣4，即a＝2，

综上，a的值为2或6；

故选：B．

8．（2020春•姜堰区期末）如果关于x的分式方程有增根，那么m的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4

【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．

【解析】方程两边都乘（x﹣2），

得m+2x＝x﹣2，

∵原方程有增根，

∴最简公分母x﹣2＝0，

解得x＝2，

当x＝2时，m+4＝0；

∴m＝﹣4，

故选：D．

9．（2020•梁溪区校级二模）“绿水青山就是金山银山”．为改造太湖水质，某工程队对2400平方公里的水域进行水质净化，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前了40天完成任务．设实际每天净化的水域面积为x平方公里，则下列方程中正确的是（　　）

A．40 

B．40 

C．40 

D．40

【分析】直接利用提高工作效率后，提前了40天完成任务得出等式求出答案．

【解析】设实际每天净化的水域面积为x平方公里，根据题意可得：

40．

故选：C．

10．（2020春•姑苏区期中）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产x个，可列方程为（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】设乙车间每天生产x个，根据甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务可列出方程．

【解析】设乙车间每天生产x个，则

．

故选：C．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11．（2020•高台县一模）分式方程1的解为　x＝1　．

【分析】根据解分式方程的步骤，即可解答．

【解析】方程两边都乘以x﹣2，得：3﹣2x﹣2＝x﹣2，

解得：x＝1，

检验：当x＝1时，x﹣2＝1﹣2＝﹣1≠0，

所以分式方程的解为x＝1，

故答案为：x＝1．

12．（2020春•江都区期末）若关于x的分式方程1有增根，则m＝　3　．

【分析】把分式方程转化为整式方程，求出x，再根据增根是﹣2，构建方程求出m即可．

【解析】1，

两边乘x+2得到，3＝m+x+2，

∴x＝1﹣m，

∵分式方程有增根，

∴x＝﹣2，即1﹣m＝﹣2，

∴m＝3，

故答案为3．

13．（2020春•洪泽区期末）若关于x的方程1无解，则a＝　2或﹣1　．

【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．据此解答可得．

【解析】去分母，得：x（x+a）﹣3（x﹣1）＝x（x﹣1），

整理，得：（a﹣2）x＝﹣3，

当a＝2时，分式方程无解，

当a≠2时，若x＝1，则a﹣2＝﹣3，即a＝﹣1；

若x＝0，则（a﹣2）×0＝﹣3（无解）；

综上所述，a＝2或﹣1，

故答案为：2或﹣1．

14．（2020春•桐城市期末）关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是　k＞﹣4且k≠4　．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出k的范围即可．

【解析】，

去分母得：k﹣2（x﹣2）＝2x，

去括号得：k﹣2x+4＝2x，

解得：xk+1，

由分式方程的解为正数得k+1＞0且k+1≠2，

解得：k＞﹣4且k≠4．

故答案为：k＞﹣4且k≠4．

15．（2020•沭阳县模拟）关于x的分式方程（其中a为常数）有增根，则增根为　x＝2　．

【分析】找出分式方程的最简公分母，即可确定出增根．

【解析】分式方程1的最简公分母为x（x﹣2），

去分母得：x（x+a）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），

令x（x﹣2）＝0，得x＝0或x＝2，

把x＝0代入得：整式方程无解，即分式方程无解；

把x＝2代入得：a＝﹣2，

综上，分式方程的增根为x＝2．

故答案为：x＝2．

16．（2020春•溧水区期末）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树480棵．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前4天完成任务．设原计划每天种x棵树，则根据题意可列方程为　4　．

【分析】设原计划每天种x棵树，实际每天种树（x+10）棵树，根据提高工作效率之后时间减少4天列方程即可．

【解析】设原计划每天种x棵树，实际每天种树（x+10）棵树，

由题意得，4．

故答案为：4．

17．（2020•徐州）方程的解为　x＝9　．

【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可．

【解析】去分母得：

9（x﹣1）＝8x

9x﹣9＝8x

x＝9

检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，

所以x＝9是原方程的解．

故答案为：x＝9．

18．（2020秋•綦江区期末）甲、乙两地相距48千米，一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，又立即从乙地逆流返回甲地，共用时9小时，已知水流的速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为　9　．

【分析】要求的未知量是速度，有路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“共用时9小时”；等量关系为：顺流所用度数时间+逆流所用的时间＝9．

【解析】顺流所用的时间为：，逆流所用的时间为：．所列方程为：9．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（2020秋•崇川区校级月考）解方程：

（1）1；

（2）1．

【分析】（1）根据解分式方程的步骤求出x的值，再进行检验即可得出答案；

（2）根据解分式方程的步骤进行求解即可．

【解析】（1）去分母得：x2﹣2（x﹣1）＝x（x﹣1），

去括号得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，

移项得：﹣x＝﹣2，

系数化1得：x＝2，

经检验x＝2是原方程的解，

则x＝2．

（2）1，

去分母得：x（x+1）﹣2＝x2﹣1，

去括号得：x2+x﹣2＝x2﹣1，

移项得：x＝1，

经检验x＝1不是原方程的解，

则原方程无解．

20．（2020秋•崇川区校级月考）解方程：

（1）；

（2）．

【分析】（1）方程两边都乘以x﹣4得出5﹣x﹣1＝x﹣4，求出这个方程的解，再进行检验即可；

（2）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得出（x﹣1）+2（x+1）＝5，求出这个方程的解，再进行检验即可．

【解析】（1）方程两边都乘以x﹣4得：5﹣x﹣1＝x﹣4，

解得：x＝4，

检验：当x＝4时，x﹣4＝0，

所以x＝4是增根，

即原方程无解；

（2）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣1）+2（x+1）＝5，

解这个方程得：x，

检验：当x时，（x+1）（x﹣1）≠0，

所以x是原方程的解，

即原方程的解是x．

21．（2020秋•崇川区校级月考）已知关于x的方程．

（1）已知m＝4，求方程的解；

（2）若该方程无解，试求m的值．

【分析】（1）把m＝4代入方程，方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣4x＝x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可；

（2）先方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣mx＝x﹣1，整理后得出（1﹣m）x＝﹣5，再求出所有情况即可．

【解析】（1）把m＝4代入方程得：，

方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣4x＝x﹣1，

解方程得：x，

检验：当x时，（x﹣1）（x+2）≠0，

所以x是原方程的解，

即原方程的解是x；

（2），

方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣mx＝x﹣1①，

整理得：（1﹣m）x＝﹣5②，

有三种情况：

第一情况：当x﹣1＝0时，方程无解，即此时x＝1，

把x＝1代入①得：6﹣m＝1﹣1，

解得：m＝6；

第二种情况：当x+2＝0时，方程无解，即此时x＝﹣2，

把x＝﹣2代入①得：2m＝﹣2﹣1，

解得：m；

第三种情况：∵（1﹣m）x＝﹣5②，

∴当1﹣m＝0时，方程无解，

即此时m＝1；

所以m＝6或或1．

22．（2020•崇川区校级一模）已知关于x的方程：2．

（1）当m为何值时，方程无解．

（2）当m为何值时，方程的解为负数．

【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．

（2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值．

【解析】（1）由原方程，得

2x＝mx﹣2x﹣6，

①整理，得

（4﹣m）x＝﹣6，

当4﹣m＝0即m＝4时，原方程无解；

②当分母x+3＝0即x＝﹣3时，原方程无解，

故2×（﹣3）＝3m﹣2×3﹣6，

解得 m＝2，

综上所述，m＝2或4；

（2）由（1）得到 （4﹣m）x＝﹣6，

当m≠4时．x0，

解得 m＜4

综上所述，m＜4且m≠2．

23．（2020春•仪征市期末）为防控“新型冠状病毒”，某药店分别用1600元、6000元购进两批防护口罩，第二批防护口罩的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元，请问药店第一批防护口罩购进了多少只？

（1）填空

①同学甲：设　药店第一批防护口罩购进了x只　，则方程为　2　；

②同学乙：设　药店第一批防护口罩的单价为x元　，则方程为3．

（2）请选择其中一名同学的设法，写出完整的解答过程．

【分析】（1）①等量关系：第二批的单价﹣第一批的单价＝2元；

②等量关系：第一批防护口罩的单价×3＝第二批防护口罩的单价．

【解析】（1）①同学甲：设药店第一批防护口罩购进了x只，则方程为2；

②同学乙：设药店第一批防护口罩的单价为x元，则方程为3．

故答案是：①药店第一批防护口罩购进了x只；2；

②设药店第一批防护口罩的单价为x元；x+2；

（2）同学甲：设药店第一批防护口罩购进了x只，则方程为2，

解得x＝200．

经检验x＝200是原方程的解，且符合题意．

答：药店第一批防护口罩购进了200只；

同学乙：设药店第一批防护口罩的单价为x元，则方程为3．

解得x＝8．

经检验x＝8是所列方程的解，

所200．

答：药店第一批防护口罩购进了200只．

24．（2020•亭湖区校级一模）某商店用2000元购进一批电瓶车头盔，购进后供不应求，被抢购一空，于是，又用6600元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．

（1）第一批头盔进货单价多少元？

（2）若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1000元，那么销售单价至少为多少元？

【分析】（1）设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为（x+2）元，根据数量＝总价÷单价结合第二批头盔购进数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结果；

（2）根据数量＝总价÷单价可分别求出前两批头盔的购进数量，设销售单价为y元，根据利润＝销售收入﹣进货成本，即可得出关于y的一元一次不等式，解不等式即可得出结果．

【解析】（1）设第一批头盔进货单价为x元，则第二批头盔进货单价为（x+2）元，

根据题意得：3，

解得：x＝20，

经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，

答：第一批头盔进货单价为4元；

（2）第一批头盔进货数量为2000÷20＝100（个），

第二批头盔进货数量为6600÷（20+2）＝300（个），

设销售单价为y元，

根据题意得：（100+300）y﹣（2000+6600）≥1000，

解得：y≥24．

答：销售单价至少为24元．