初中数学苏科版八年级下册11.3用 反比例函数解决问题练习

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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题11.3用反比例函数解决问题
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•清江浦区期末）当压力F（N）一定时，物体所受的压强P（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P=FS（S≠0），这个反比例函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【解析】当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：A．
2．（2020春•吴中区期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（　　）
近视眼镜的度数y（度）
200
250
400
500
1000
镜片焦距x（米）
0.50
0.40
0.25
0.20
0.10
A．y=x100 B．y=100x C．y=400x D．y=x400
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
【解析】由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y=100x．
故选：B．
3．（2020春•镇江期末）已知某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（　　）

A．不小于45m3 B．小于54m3 C．不小于54m3 D．小于45m3
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1.6，60）故P•V＝96；故当P≤120，可判断V≥45．
【解析】设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P=kV
∵图象过点（1.6，60）
∴k＝96
即P=96V在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤120时，V≥96120=45．
故选：A．
4．（2020春•常州期末）1888年，海因里希•鲁道夫•赫兹证实了电磁波的存在，这成了后来大部分无线科技的基础．电磁波波长λ（单位：米）、频率f（单位：赫兹）满足函数关系λf＝3×108，下列说法正确的是（　　）
A．电磁波波长是频率的正比例函数
B．电磁波波长20000米时，对应的频率1500赫兹
C．电磁波波长小于30000米时，频率小于10000赫兹
D．电磁波波长大于50000米时，频率小于6000赫兹
【分析】根据函数关系λf＝3×108确定函数模型，确定其增减性，然后根据自变量的取值范围确定函数的取值范围即可确定正确的选项．
【解析】A、∵函数关系λf＝3×108，∴电磁波波长是频率的反比例函数，故错误，不符合题意；
B、当λ＝20000米时，f=3×10820000=15000赫兹，故错误，不符合题意；
C、∵f=3×108λ，∴f随着λ的增大而减小，∴电磁波波长小于30000米时，频率大于10000赫兹，故错误，不符合题意；
D、电磁波波长大于50000米时，频率小于6000赫兹，故正确，符合题意，
故选：D．
5．（2020春•姜堰区期末）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝1.5m3时，p＝16000Pa，当气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应（　　）
A．不小于0.5m3 B．不大于0.5m3
C．不小于0.6m3 D．不大于0.6m3
【分析】设函数解析式为P=kV，把V＝1.5m3时，p＝16000Pa代入函数解析式求出k值，代入P值即可得到有关V的不等式，从而确定正确的答案．
【解析】设函数解析式为P=kV，
∵当V＝1.5m3时，p＝16000Pa，
∴k＝Vp＝24000，
∴p=24000V，
∵气球内的气压大于40000Pa时，气球将爆炸，
∴24000V≤40000，
解得：V≥0.6，即气球的体积应不小于0.6m3．
故选：C．
6．（2019•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意得到xy＝矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限；于是得到结论．
【解析】∵根据题意xy＝矩形面积（定值），
∴y是x的反比例函数，（x＞0，y＞0）．
故选：B．
7．（2018春•泰兴市校级期中）某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气球体积V的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于160kPa时，气球将爆炸，为了安全，气球的体积应该（　　）

A．不大于53m3 B．小于53m3 C．不小于35m3 D．小于35m3
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（0.8，120）故P•V＝96；故当P≤160，可判断V≥35．
【解析】设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P=kv，
∵图象过点（0.8，120）
∴k＝96
即P=96v，在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤160时，V=96v≥35．
故选：C．
8．（2020秋•龙沙区期末）已知蓄电池的电压为定值．使用电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过3A，那么电器的可变电阻R（Ω）应控制在（　　）

A．R≥1 B．0＜R≤2 C．R≥2 D．0＜R≤1
【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过3A列不等式，结合图象求出结论．
【解析】设反比例函数关系式为：I=kR，
把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，
∴反比例函数关系式为：I=6R，
当I≤3时，则6R≤3，
∴R≥2，
故选：C．
9．（2020秋•和平区期末）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过9A，那么用电器的可变电阻应控制在（　　）范围内．

A．R≥4Ω B．R≤4Ω C．R≥9Ω D．R≤9Ω
【分析】根据函数的图象即可得到结论．
【解析】由物理知识可知：I=UR，
由图象可知点（9，4）在反比例函数的图象上，
当I≤9时，由R≥4，
故选：A．
10．（2020秋•瓜州县期末）如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积V（mL）与气体对气缸壁产生的压强P（kPa）的关系可以用如图所示的反比例函数图象进行表示，下列说法错误的是（　　）

A．气压P与体积V表达式为P=kV，则k＞0
B．当气压P＝70时，体积V的取值范围为70＜V＜80
C．当体积V变为原来的23时，对应的气压P变为原来的32
D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小
【分析】A．气压P与体积V表达式为P=kV，则k＞0，即可求解；
B．当P＝70时，V=600070，即可求解；
C．当体积V变为原来的23时，对应的气压P变为原来的32，即可求解；
D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小，即可求解．
【解析】当V＝60时，P＝100，则PV＝6000，
A．气压P与体积V表达式为P=kV，则k＞0，故不符合题意；
B．当P＝70时，V=600070＞80，故符合题意；
C．当体积V变为原来的23时，对应的气压P变为原来的32，不符合题意；
D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小，不符合题意；
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•海陵区期末）某厂计划建造一个容积为5×104m3的长方体蓄水池，则蓄水池的底面积S（m2）与其深度h（m）的函数关系式是　S=5×104ℎ　．
【分析】根据长方体的容积公式：体积＝底面积×深度可得Sh＝5×104，再整理即可．
【解析】由题意得：Sh＝5×104，
∴S=5×104ℎ，
故答案为：S=5×104ℎ．
12．（2019春•常州期末）某高科技开发公司从2008年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：请你认真分析表中数据，写出可以表示该变化规律的表达式是　y=18x　
年 度
2008
2009
2010
2011
投入技术改进资金x（万元）
2.5
3
4
4.5
产品成本y（万元∕件）
7.2
6
4.5
4
【分析】有表格中数据分析可知xy＝2.5×7.2＝3×6＝4×4.5＝4.5×4＝18，就可得到反比例函数关系，再设出反比例函数解析式，利用待定系数法求出即可．
【解析】有题意可得此函数解析式为反比例函数解析式，设其为解析式为y=kx．
当x＝2.5时，y＝7.2，
可得：7.2=k2.5，
解得k＝18
∴反比例函数是y=18x．
故答案为：y=18x．
13．（2020秋•如皋市期中）调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）．
售价x（元/双）
200
240
250
400
销售量y（双）
30
25
24
15
已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为　300　元．
【分析】根据表格中x与y的值，确定出关系式，根据利润＝售价﹣进价表示出利润，由已知利润2400列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解析】由表中数据得：xy＝6000，
∴y=6000x，
则所求函数关系式为y=6000x；
由题意得：（x﹣180）y＝2400，
把y=6000x代入得：（x﹣180）•6000x=2400，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的根，
答：若计划每天的销售利润为2400元，则其单价应定为300元．
故答案为：300．
14．（2020春•海陵区校级期中）面积一定的长方形，长为8时宽为5，当长为10时，宽为　4　．
【分析】直接根据题意得出矩形面积，进而得出长为12时的宽．
【解析】∵矩形的面积为定值，长为8时，宽为5，
∴矩形的面积为40，
∴设长为y，宽为x，
则y=40x，
∴当长为10时，宽为：4010=4．
故答案为：4．
15．（2020春•昆山市期中）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．则其函数解析式为　P=96V　．

【分析】设定反比例函数的表达式为P=kV，将点（1.6，60）代入上式，即可求解．
【解析】设反比例函数的表达式为P=kV，
将点（1.6，60）代入上式得：60=k1.6，
解得k＝96，
故函数的解析式为P=96V，
故答案为P=96V．
16．（2020春•盐城期末）老王要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为t＝　24000v　（v＞0）．
【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式．
【解析】由录入的时间＝录入总量÷录入速度，
可得t=24000v．
故答案为：24000v．
17．（2019春•丹阳市期末）某物体对地面的压强p（N/m2）物体与地面的接触面积S（m2）之间的变化关系如图所示（双曲线的一支）．如果该物体与地面的接触面积为0.24m2，那么该物体对地面的压强是　500　（N/m2）．

【分析】直接利用压强与接触面积和物体重量的关系进而得出答案．
【解析】设p=FS，
把（0.05，2400）代入得：
F＝2400×0.05＝120，
故P=120S，
当S＝0.24m2时，
P=1200.24=500（N/m2）．
故答案为：500．
18．（2018•秦淮区一模）在照明系统模拟控制电路实验中，研究人员发现光敏电阻值R（单位：Ω）与光照度E（单位：lx）之间成反比例函数关系，部分数据如下表所示：
光照度E/lx
0.5
1
1.5
2
2.5
3
光敏电阻阻值R/Ω
60
30
20
15
12
10
则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为　R=30E　．
【分析】直接利用表格中数据得出RE＝30，进而得出答案．
【解析】由题意可得：RE＝30，
则R=30E．
故答案为：R=30E．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋•如皋市期末）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？

【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出函数解析式；
（2）利用y＝12时分别代入求出答案．
【解析】（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0），
代入（8，6）得6＝8k1，
∴k1=34，
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=k2x（k2＞0），
代入（8，6）得
6=k28，
∴k2＝48，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=34x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为：
y=48x（x＞8），
∴y=34x(0≤x≤8)48x(x＞8)#/DEL/##/DEL/#；

（2）把y＝3代入y=34x，得：x＝4，
把y＝3代入y=48x，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
所以这次消毒是有效的．
20．（2020春•秦淮区期末）在压力不变的情况下，某物体所受到的压强p（Pa）与它的受力面积S（m2）之间成反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求p与S之间的函数表达式；
（2）当S＝0.4m2时，求该物体所受到的压强p．

【分析】（1）根据题意，先设出p与S的函数表达式，然后将（0.1，1000）代入函数解析式，即可得到p与S之间的函数关系式；
（2）将S＝0.4代入（1）中的函数关系式，然后即可得到该物体所受到的压强p．
【解答】（1）解：设 p=kS（k≠0），
∵图象过点（0.1，1000）
∴1000=k0.1
解得，k＝100，
∴p与S之间的函数表达式是p=100S；
（2）当S＝0.4时，则 p=1000.4=250，
答：当S＝0.4m2时，该物体所受到的压强p是250Pa．
21．（2020春•丰县期末）某种气球内充满了一定质量的气体．当温度不变时，气球内气体的压强P/（kPa）是气球体积V/（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）当气球内气体的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球体积应该不小于多少立方米？

【分析】（1）设函数解析式为P=kV，把点（1.6，60）的坐标代入函数解析式求出k值，即可求出函数关系式；
（2）依题意P≤120，即96V≤120，解不等式即可．
【解析】（1）设P与V的函数关系式为P=kV，
则k1.6=60，
解得k＝96，
∴函数关系式为P=96V；

（2）当P＞120KPa时，气球将爆炸，
∴P≤120，即96V≤120，
解得V≥0.8（m3）．
故为了安全起见，气体的体积应不小于0.8（m3）．
22．（2020春•玄武区期末）一辆货车和一辆轿车从南京出发，均沿沪宁高速公路匀速驶向目的地上海，已知沪宁高速公路全长约300km．设货车的速度是xkm/h，到达上海所用的时间为yh．
（1）写出y关于x的函数表达式；
（2）沪宁高速公路规定：货车的速度不得超过90km/h，求货车到达上海所需的最短时间；
（3）若轿车的速度是货车的1.5倍，轿车到达上海所用的时间比货车少1小时15分钟，求轿车的速度．
【分析】（1）直接利用行驶时间＝总路程÷速度得出函数关系式；
（2）求出x＝90时得出y的值，再利用反比例函数的增减性得出答案；
（3）根据已知表示出两种车的速度，再利用轿车到达上海所用的时间比货车少1小时15分钟，进而得出答案．
【解析】（1）设货车的速度是xkm/h，到达上海所用的时间为yh，根据题意可得：
xy＝300，
故y=300x；

（2）把x＝90代入y=300x，得y=300x=30090=103，
根据反比例函数的性质，当x＞0时，y随x的增大而减小，
所以当x≤90km/h时，货车到达上海所需的最短时间为103小时；

（3）根据题意可得：300x−3001.5x=54，
解方程得：x＝80，
经检验得：x＝80是原方程的解，且符合题意，
1.5x＝120，
答：轿车的速度为120km/h．
23．（2020春•南京期末）码头工人往一艘轮船上装载一批货物，每天装载30吨，8天装载完毕．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物5天之内卸载完毕，那么每天至少要卸货多少吨？
【分析】（1）根据题意，可以计算出货物的总质量，然后即可得到卸货速度v（吨/天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系；
（2）将t＝5代入（1）中的函数解析式，即可得到相应的v的值，从而可以得到每天至少要卸货多少吨．
【解析】（1）轮船上的货物总量为：30×8＝240（吨），
故v关于t的函数表达式为v=240t；
（2）把t＝5代入v=240t，得
v=2405=48，
∵t＞0时，
∴v随t的增大而减小，
故船上的货物5天之内卸载完毕，每天至少要卸货48吨．
24．（2020春•海州区期末）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．
（2）求图中t的值；
（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少℃？

【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；
（3）利用已知由x＝7代入求出饮水机内水的温度即可．
【解析】（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，20）、（8，100）代入y＝kx+b中，
b=208k+b=100，解得：k=10b=20，
∴当0≤x≤8时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y＝10x+20．

（2）当8≤x≤t时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=mx（m≠0），
将（8，100）代入y=mx中，
100=m8，解得：m＝800，
∴当8≤x≤t时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=800x．
当y=800x=20时，x＝40，
∴图中t的值为40．

（3）∵42﹣40＝2≤8，
∴当x＝2时，y＝2×10+20＝40，
答：散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为40℃．