数学八年级下册第10章 分式综合与测试课时作业

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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题10.8分式方程的特殊解及含参问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春•仪征市期末）已知关于x的方程2x−mx−2=3的解是正数，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜6且m≠4 B．m＜6 C．m＞6且m≠8 D．m＞6
【分析】表示出分式方程的解，由解为正数求出m的范围即可．
【解析】去分母得：2x﹣m＝3（x﹣2），
去括号得：2x﹣m＝3x﹣6，
解得：x＝6﹣m，
由分式方程的解为正数，得到6﹣m＞0，且6﹣m≠2，
解得：m＜6且m≠4．
故选：A．
2．（2020春•太仓市期中）若关于x的分式方程m+1x−1=2的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣3 B．m≥﹣3 C．m＞﹣3且m≠﹣1 D．m≥﹣3且m≠﹣1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可．
【解析】去分母得：m+1＝2x﹣2，
解得：x=m+32，
由题意得：m+32≥0且m+32≠1，
解得：m≥﹣3且m≠﹣1，
故选：D．
3．（2020春•昆山市期中）已知关于x的方程x−mx+3=2的解是负数，则m的取值范围为（　　）
A．m＞﹣6且m≠﹣3 B．m＞﹣6 C．m＜﹣6且m≠﹣3 D．m＜﹣6
【分析】解分式方程，得到含有m得方程的解，根据“方程的解是负数”，结合分式方程的分母不等于零，得到两个关于m得不等式，解之即可．
【解析】方程两边同时乘以x+3得：x﹣m＝2（x+3），
解得：x＝﹣m﹣6，
又∵方程的解是负数，且x≠﹣3，
∴﹣m﹣6＜0，﹣m﹣6≠﹣3，
解不等式得：m＞﹣6且m≠﹣3，
综上可知：m＞﹣6且m≠﹣3，
故选：A．
4．（2020春•富平县期末）关于x的分式方程x+mx−2+3m2−x=4的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣4 B．m＜4 C．m＜4且m≠1 D．m＜4且m≠2
【分析】先解分式方程求得x=8−2m3，根据分式方程的解为正实数列出关于m的不等式（注意隐含的条件x≠2），解之可得．
【解析】方程两边都乘以x﹣2，得：x+m﹣3m＝4（x﹣2），
解得x=8−2m3，
∵分式方程的解为正实数，
∴8−2m3＞0且8−2m3≠2，
解得m＜4且m≠1，
故选：C．
5．（2020•南通模拟）如方程x+a4−x2+xx−2=1有增根，则a的值是（　　）
A．2 B．2或6 C．2或﹣6 D．6
【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程求出a的值即可；
【解析】分式方程去分母得：x﹣a＝﹣4，
由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）＝0，即x＝2或x＝﹣2，
把x＝2代入整式方程得：2﹣a＝﹣4，即a＝6；
把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2﹣a＝﹣4，即a＝2，
综上，a的值为2或6；
故选：B．
6．（2020春•姜堰区期末）如果关于x的分式方程mx−2+2xx−2=1有增根，那么m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．
【解析】方程两边都乘（x﹣2），
得m+2x＝x﹣2，
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m+4＝0；
∴m＝﹣4，
故选：D．
7．（2020春•姑苏区期末）若分式方程1x−3+1=a−xx−3有增根，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据分式方程增根的定义进行选择即可．
【解析】∵分式方程1x−3+1=a−xx−3有增根，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴1+x﹣3＝a﹣x，
∴a＝4，
故选：D．
8．（2020•浙江自主招生）若关于x的分式方程2m+xx−3−1=2x无解，则m的值为（　　）
A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5
【分析】方程无解即是分母为0，由此可得：原分式方程中的分母为0：x＝0或x＝3，解方程后x=−62m+1，分母2m+1＝0，解出即可．
【解析】2m+xx−3−1=2x，
方程两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+2m）﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3），
整理，得：（2m+1）x＝﹣6，
x=−62m+1，
∵原分式方程无解，
∴2m+1＝0或−62m+1=3或−62m+1=0，
解得：m＝﹣0.5或m＝﹣1.5，
故选：D．
9．已知关于x的分式方程2x+3x−2=k(x−2)(x+3)+2的解满足﹣4＜x＜﹣1，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（　　）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解满足﹣4＜x＜﹣1，可得k的取值范围，再根据k为整数，求出k的值，进而得结论．
【解析】2x+3x−2=k(x−2)(x+3)+2，
（2x+3）（x+3）＝k+2（x﹣2）（x+3），
解得x=k7−3，
∵﹣4＜x＜﹣1且（x﹣2）（x+3）≠0且k为整数，
∴﹣4＜k7−3＜﹣1，
解得﹣7＜k＜14且k≠0，
∴解k＝﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，
∴符合条件的所有k值的乘积为正数．
故选：A．
10．（2020•两江新区模拟）若数m使关于y的方程1y2−y+m−5y2+y=m−1y2−1无解，且使关于x的不等式组5x+32＞x3x−2m≤−2有整数解且至多有4个整数解，则符合条件的m之和为（　　）
A．18 B．15 C．12 D．9
【分析】让最简公分母y（y+1）（y﹣1）＝0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，得到m的值，解不等式组，根据题意确定m的范围，即可确定m的值，根据题意计算即可．
【解析】1y2−y+m−5y2+y=m−1y2−1，
方程两边同乘y（y+1）（y﹣1），得y+1+（m﹣5）（y﹣1）＝（m﹣1）y，
∵原分式方程无解，
∴最简公分母y（y+1）（y﹣1）＝0，
解得y＝0或y＝﹣1或y＝1，
当y＝0时，1﹣m+5＝0，
∴m＝6．
当y＝﹣1时，﹣（m﹣1）＝﹣2（m﹣5），
∴m＝9．
当y＝1时，2＝m﹣1，
∴m＝3．
解不等式组5x+32＞x3x−2m≤−2得﹣1＜x≤2m−23，
∵关于x的不等式组5x+32＞x3x−2m≤−2有整数解且至多有4个整数解，
∴0≤2m−23＜4，
∴1≤m＜7，
则符合条件的所有整数为：3、6，
∴所有满足条件的整数m的值之和为：3+6＝9，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋•丛台区期末）若关于x的分式方程xx−3+2a3−x=2a无解，则a的值为　0.5或1.5　．
【分析】直接解分式方程，再分类讨论当1﹣2a＝0时，当1﹣2a≠0时，分别得出答案．
【解析】xx−3+2a3−x=2a，
去分母得：x﹣2a＝2a（x﹣3），
整理得：（1﹣2a）x＝﹣4a，
当1﹣2a＝0时，方程无解，故a＝0.5；
当1﹣2a≠0时，x=4a2a−1=3时，分式方程无解，则a＝1.5，
则a的值为0.5或1.5．
故答案为：0.5或1.5．
12．（2020•广陵区校级三模）关于x的方程xx−3=2+kx−3无解，则k的值为　3　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．
【解析】去分母得：x＝2（x﹣3）+k，
∵分式方程无解，
∴x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：k＝3．
故答案为：3．
13．（2020秋•崇川区校级月考）若关于x的分式方程2+1−kxx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为　k＜2且k≠1　．
【分析】根据分式方程的解法先求出x，再根据解为正数，列出不等式即可求出答案．
【解析】∵2+1−kxx−2=12−x，
∴2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1，
解得x=22−k，
∵该分式方程有解，
∴22−k≠2，
∴k≠1，
∵x＞0，
∴22−k＞0，
∴k＜2，
∴k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
14．（2020春•仪征市期中）若关于x的方程2m+xx−2−1=3x无解，则m的值为　﹣1或12　．
【分析】先把方程两边都乘以最简公分母x（x﹣2）转化为整式方程，然后把分式方程的增根代入进行计算即可求出m的值．
【解析】方程整理得2m+2x−2=3x，
∴当2m+2＝3，即x=12时，方程无解，
方程两边都乘以x（x﹣2）得，x（2m+x）﹣x（x﹣2）＝3（x﹣2），即x（2m+2）＝3（x﹣2），
整理得，（2m﹣1）x＝﹣6，
∵方程无解，
∴x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1或12．
15．（2020春•玄武区期中）若关于x的方程5x=mx−2的解为负数，则m的取值范围是　m＞5　．
【分析】首先根据5x=mx−2，用含m的式子表示出x；然后根据：x＜0，求出m的取值范围即可．
【解析】∵5x=mx−2，
∴x=105−m，
∵x＜0，
∴105−m＜0，
解得m＞5．
故答案为：m＞5．
16．（2020春•镇江期末）若关于x的方程x−1x−2=3−m2−x的解为正数，则m的取值范围为　m＜5且m≠1　．
【分析】表示出分式方程的解，由解为正数确定出x的范围即可．
【解析】去分母得：x﹣1＝3（x﹣2）+m，
去括号得：x﹣1＝3x﹣6+m，
移项合并得：﹣2x＝m﹣5，
解得：x=−m−52，
由分式方程的解为正数，得到−m−52＞0且−m−52≠2，
解得：m＜5且m≠1．
故答案为：m＜5且m≠1．
17．（2020•历下区三模）若分式方程x−6x−5=k5−x有正数解，则k的取值范围是　k＜6且k≠1　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有正数解列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可确定出k的范围．
【解析】去分母得：x﹣6＝﹣k，
解得：x＝6﹣k，
由分式方程有正数解，得到6﹣k＞0且6﹣k≠5，
解得：k＜6且k≠1，
则k的取值范围是k＜6且k≠1；
故答案为：k＜6且k≠1．
18．（2020春•江阴市期中）已知关于x的分式方程x−mx−2=2的解为非负数，则m的取值范围是　m≤4且m≠2　．
【分析】先解分式方程得到x＝4﹣m，利用分式方程x−mx−2=2的解为非负数得到4﹣m≥0，加上x﹣2≠0，即4﹣m﹣2≠0，然后求出两不等式的公共部分即可得到m的取值范围．
【解析】去分母得到x﹣m＝2x﹣4，
解得x＝4﹣m，
因为关于x的分式方程x−mx−2=2的解为非负数．
所以4﹣m≥0，解得m≤4，
而x﹣2≠0，即4﹣m﹣2≠0，解得m≠2，
所以m的取值范围为m≤4且m≠2．
故答案为m≤4且m≠2．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019春•京口区校级月考）若关于x的分式方程2m+xx−3−1=2x无解，求m的值．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．
【解析】去分母得：2mx+x2﹣x2+3x＝2x﹣6，即（2m+1）x+6＝0，
当2m+1＝0，即m＝﹣0.5时，方程无解；
当2m+1≠0，即m≠﹣0.5时，由分式方程无解，得到x＝0或x＝3，
把x＝0代入整式方程得：m无解；把x＝3代入整式方程得：6m+9＝0，
解得：m＝﹣1.5，
综上，m的值为﹣1.5或﹣0.5．
20．（2019春•阜宁县期中）关于x的分式方程x+mx−3+2m3−x=4的解为非负数，求实数m的取值范围
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可．
【解析】去分母得：x+m﹣2m＝4x﹣12，
解得：x=12−m3，
由分式方程的解为非负数，得到12−m3≥0，且12−m3≠3，
解得：m≤12且m≠3．
21．（2020•崇川区校级一模）已知关于x的方程：2xx+3=mxx+3−2．
（1）当m为何值时，方程无解．
（2）当m为何值时，方程的解为负数．
【分析】（1）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答．
（2）通过解分式方程得到x的值，然后根据已知条件列出关于m的不等式，通过解不等式可以求得m的值．
【解析】（1）由原方程，得
2x＝mx﹣2x﹣6，
①整理，得
（4﹣m）x＝﹣6，
当4﹣m＝0即m＝4时，原方程无解；
②当分母x+3＝0即x＝﹣3时，原方程无解，
故2×（﹣3）＝3m﹣2×3﹣6，
解得 m＝2，
综上所述，m＝2或4；

（2）由（1）得到 （4﹣m）x＝﹣6，
当m≠4时．x=−64−m＜0，
解得 m＜4
综上所述，m＜4且m≠2．
22．（2020•安徽模拟）（1）解下列方程：①x+2x=3根为　x1＝1，x2＝2　；②x+6x=5根为　x1＝2，x2＝3　；③x+12x=7根为　x1＝3，x2＝4　；
（2）根据这类方程特征，写出第n个方程为　x+n(n+1)x=2n+1　，其根为　x1＝n，x2＝n+1　．
（3）请利用（2）的结论，求关于x的方程x+n2+nx−3=2n+4（n为正整数）的根．
【分析】（1）首先去分母，即可化成一元二次方程，解方程求得x的值，然后进行检验，即可求得方程的解；
（2）根据（1）中的三个方程的特点以及解的关系即可求解；
（3）根据（3）的结果，把所求的方程化成x﹣3+n(n+1)x−3=2n+1的形式，把x﹣3当作一个整体即可求解．
【解析】（1）①去分母，得：x2+2＝3x，即x2﹣3x+2＝0，（x﹣1）（x﹣2）＝0，
则x﹣1＝0，x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
经检验：x1＝1，x2＝2都是方程的解；
②去分母，得：x2+6＝5x，即x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0，x﹣3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
经检验：x1＝2，x2＝3是方程的解；
③去分母，得：x2+12＝7x，即x2﹣7x+12＝0，（x﹣3）（x﹣4）＝0，
则x1＝3，x2＝4，
经检验x1＝3，x2＝4是方程的解；

（2）出第n个方程为x+n(n+1)x=2n+1，解是x1＝n，x2＝n+1；

（3）x+n2+nx−3=2n+4，
即x﹣3+n(n+1)x−3=2n+1，
则x﹣3＝n或x﹣3＝n+1，
解得：x1＝n+3，x2＝n+4．
23．（2020春•姜堰区期中）已知关于x的分式方程2x−2+x+m2−x=2．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，
（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程计算即可求出m的值；
（2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可．
【解析】去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，
（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m＝0；
（2）解得：x=6−m3，
根据分式方程的解为正数，得到6−m3＞0，且6−m3≠2，
解得：m＜6且m≠0．
24．（2019秋•娄底期中）已知关于x的分式方程x−ax−1−3x=1+ax2−x，回答下列问题：
（1）原方程去分母后，整理成关于x的整式方程得：　（a+2）x＝3﹣a　；
（2）若原分式方程无解，求a的值．
【分析】（1）根据等式的性质即可求出答案；
（2）根据分式方程的解法即可求出答案．
【解析】（1）∵x−ax−1−3x=1+ax2−x，
∴x（x﹣a）﹣3（x﹣1）＝x2﹣x+a
∴（a+2）x＝3﹣a
（2）当a+2＝0时，
此时a＝﹣2，该方程无解；
当a+2≠0时，
此时将x=3−aa+2代入x（x﹣1）＝0，
∴3−aa+2（3−aa+2−1）＝0，
∴3−aa+2=0或3−aa+2=1，
∴a＝3或a=12；
综上所述，a＝﹣2或3或12
故答案为：（a+2）x＝3﹣a