高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测20 《三角函数的图象与性质》(教师版)

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对点练(一) 三角函数的定义域和值域
1．已知函数y＝2cs x的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))，值域为[a，b]，则b－a的值是( )
A．2B．3
C.eq \r(3)＋2D．2－eq \r(3)
解析：选B 因为函数y＝2cs x的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，π))，所以函数y＝2cs x的值域为[－2,1]，所以b－a＝1－(－2)＝3，故选B.
2．函数y＝cs2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1B．3，－2
C．2，－1D．2，－2
解析：选D y＝cs2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x＝－sin2x－2sin x＋1，令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以最大值为2，最小值为－2.
3．已知函数f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(x,2)＋sin x))＋b，若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，则ab的值为( )
A．15eq \r(2)－15或24－24eq \r(2) B．15eq \r(2)－15
C．24－24eq \r(2) D．15eq \r(2)＋15或24＋24eq \r(2)
解析：选A f(x)＝a(1＋cs x＋sin x)＋b＝eq \r(2)asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋a＋b.
∵0≤x≤π，∴eq \f(π,4)≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，∴－eq \f(\r(2),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))≤1，依题意知a≠0.
①当a>0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)a＋a＋b＝8，,b＝5，))∴a＝3eq \r(2)－3，b＝5.
②当a<0时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)a＋a＋b＝5，,b＝8，))∴a＝3－3eq \r(2)，b＝8.
综上所述，a＝3eq \r(2)－3，b＝5或a＝3－3eq \r(2)，b＝8.
所以ab＝15eq \r(2)－15或24－24eq \r(2).
4．定义运算：a*b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b.))例如1]( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))B．[－1,1]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(2),2)))
解析：选D 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．
设x∈[0,2π]，当eq \f(π,4)≤x≤eq \f(5π,4)时，sin x≥cs x，f(x)＝cs x，f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(2),2)))，
当0≤xsin x，f(x)＝sin x，f(x)∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))∪[－1,0]．
综上知f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(2),2))).
5．函数y＝3－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的最大值为________，此时x＝________________.
解析：函数y＝3－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的最大值为3＋2＝5，此时x＋eq \f(π,4)＝π＋2kπ，
即x＝eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)．
答案：5 eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)
对点练(二) 三角函数的性质
1．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(5π,12)，kπ＋\f(11π,12)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)
解析：选B ∵函数可化为y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，∴2kπ＋eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，
即kπ＋eq \f(5π,12)≤x≤kπ＋eq \f(11π,12)(k∈Z)．
2．下列函数中，存在最小正周期的是( )
A．y＝sin|x|B．y＝cs|x|
C．y＝tan|x|D．y＝(x2＋1)0
解析：选B A：y＝sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x<0，))不是周期函数；B：y＝cs|x|＝cs x，
最小正周期T＝2π；C：y＝tan|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x，x≥0，,－tan x，x<0，))不是周期函数；
D：y＝(x2＋1)0＝1，无最小正周期．
3．若函数f(x)＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))(1<ω<14)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称，则ω＝( )
A．2B．3
C．6D．9
解析：选B ∵f(x)＝3cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,4)))(1<ω<14)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称，
∴eq \f(π,12)ω－eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z，即ω＝12k＋3，k∈Z.∵1<ω<14，∴ω＝3.故选B.
4．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))＝f(－x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝( )
A．2或0B．0
C．－2或0D．－2或2
解析：选D 由函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))＝f(－x)，可知函数图象的一条对称轴为直线x＝eq \f(1,2)×eq \f(π,3)＝eq \f(π,6).根据三角函数的性质可知，当x＝eq \f(π,6)时，函数取得最大值或者最小值．∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2或－2.故选D.
5．若函数f(x)同时具有以下两个性质：①f(x)是偶函数；②对任意实数x，都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)).则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝cs xB．f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))
C．f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,2)))D．f(x)＝cs 6x
解析：选C 由题意可得，函数f(x)是偶函数，且它的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，
∵f(x)＝cs x是偶函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，不是最值，故不满足图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，故排除A.∵函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin 2x是奇函数，不满足条件，故排除B.∵函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,2)))＝cs 4x是偶函数，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－1，是最小值，故满足图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，故C满足条件．
∵函数f(x)＝cs 6x是偶函数．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0，不是最值，故不满足图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称，故排除D.
6．已知f(x)＝asin 2x＋bcs 2x，其中a，b∈R，ab≠0.若f(x)≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))))对一切x∈R恒成立，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＞0，则f(x)的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)
解析：选B f(x)＝asin 2x＋bcs 2x＝eq \r(a2＋b2)sin(2x＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).∵f(x)≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))))，
∴x＝eq \f(π,6)是函数f(x)的图象的一条对称轴，即eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，φ＝eq \f(π,6)＋kπ(k∈Z)．
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＞0，∴φ的取值可以是－eq \f(5π,6)，∴f(x)＝eq \r(a2＋b2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6)))，
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(5π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，故选B.
7．若函数f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋θ)＋cs(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称，则函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最小值是( )
A．－1B．－eq \r(3)
C．－eq \f(1,2)D．－eq \f(\r(3),2)
解析：选B f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋θ)＋cs(2x＋θ)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋θ＋\f(π,6)))，则由题意，
知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋θ＋\f(π,6)))＝0，又0<θ<π，所以θ＝eq \f(5π,6)，所以f(x)＝－2sin 2x，
f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上是减函数，
所以函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,6)))上的最小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝－2sin eq \f(π,3)＝－eq \r(3)，故选B.
[大题综合练——迁移贯通]
1．设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))).
(1)求f(x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))时，求f(x)的值域．
解：(1)f(x)＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＋1－cs(2x＋π)
＝eq \f(3,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＋1＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1，
所以f(x)的最小正周期T＝π.
由2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,12)，k∈Z.
(2)因为－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(π,4)，所以－eq \f(π,3)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6)，
所以f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\r(3)＋1)).
2．已知函数f(x)＝(sin x＋cs x)2＋cs 2x－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝(sin x＋cs x)2＋cs 2x－1＝2sin xcs x＋cs2x
＝sin 2x＋cs2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，
∴函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由(1)可知，f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，∴2x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1)).故函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值分别为eq \r(2)，－1.
3．已知函数f(x)＝2sin xcs x－eq \r(3)cs 2x(x∈R)．
(1)若f(α)＝eq \f(1,2)且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))，求cs 2α的值；
(2)记函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值为b，且函数f(x)在[aπ，bπ](a解：(1)f(x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
∵f(α)＝eq \f(1,2)，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝eq \f(1,4).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))，∴2α－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(15),4).
∴cs 2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(15),4)×eq \f(1,2)－eq \f(1,4)×eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(\r(3)＋\r(15),8).
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，f(x)∈[1,2]，
∴b＝2.由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z.
又∵函数f(x)在[aπ，2π](a<2)上单调递增，
∴[aπ，2π]⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋2π，\f(5π,12)＋2π))，
∴－eq \f(π,12)＋2π≤aπ<2π，
∴eq \f(23,12)≤a<2，∴实数a的最小值是eq \f(23,12).