人教版新高考数学二轮复习习题训练--题型专项练6　解答题组合练(C)

题型专项练6　解答题组合练(C)

1.(2021·辽宁沈阳二模)已知α∈(0,π),sin α+cos α=,且cos α>sin α.

(1)求角α的大小;

(2)若x∈,给出m的一个合适的数值,使得函数y=sin x+2sin2的值域为-+1.

2.(2021·湖北武汉模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an=(n∈N*,n≥2).

(1)求证:数列{}是等差数列,并求{an}的通项公式;

(2)若[x]表示不超过x的最大整数,如[-1.2]=-2,[2.1]=2,求证:=1.

3.(2021·湖南武冈一模)某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况,从两个方面进行了调查统计,一是产品的质量参数x,二是产品的使用时间t(为方便计算,以103 h为1个单位).经统计分析,质量参数x服从正态分布N(0.8,0.0152),使用时间t与质量参数x之间有如下关系:

(1)该地监管部门对该公司的该产品进行检查,要求质量参数在0.785以上的产品为合格产品.现抽取20件该产品进行校验,求合格产品的件数的数学期望;

(2)该公司研究人员根据最小二乘法求得经验回归方程为t=2.92x+0.76,请用样本相关系数说明使用时间t与质量参数x之间的关系是否可用线性回归模型拟合.

附:参考数据:=0.8,=3.1,=4.55,=67.88,≈0.339.

若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.954 5;

参考公式:样本相关系数r=;

经验回归方程为x+,其中.

4.(2021·山东烟台模拟)如图①所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图②所示.

①

②

(1)求证:A1C⊥平面BCDE.

(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小.

(3)线段BC(不包括端点)上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.

5.(2021·湖北武汉二模)设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线l交抛物线E于A,B两点.当l与x轴垂直时,△AOB面积为8,其中O为坐标原点.

(1)求抛物线E的标准方程;

(2)若l的斜率存在且为k1,点P(3,0),直线AP与E的另一交点为C,直线BP与E的另一交点为D,设直线CD的斜率为k2,证明:为定值.

6.(2021·江苏扬州二模)已知函数f(x)=ln x-ax.

(1)若f(x)存在极值,求实数a的取值范围;

(2)当a=1时,判断函数g(x)=f(x)+2sin x的零点个数,并证明你的结论.

题型专项练6　解答题组合练(C)

1.解: (1)因为sin α+cos α=sin,

所以sinα+=.

又α∈(0,π),所以α+,

可得α+,可得α=.

又cos α>sin α,所以α=.

(2)y=sin x+2sin2=sin x+1-cos=sin x+1-cos xcos+sin xsinsin x-cos x+1=sin+1.

当x=-时,y=sin+1=-,当sin=1时,y=+1,

所以由题意可得m-,可得m>.

因此m∈即可,故m的值可取π.

2.证明: (1)因为an=,

所以当n≥2时,Sn-Sn-1=.

即()()=,而an>0,有>0,所以=1(n≥2),

所以数列{}是以=1为首项,公差为1的等差数列.

于是=1+(n-1)×1=n,则Sn=n2,

当n≥2时,an==n+n-1=2n-1.

又a1=1满足上式,所以{an}的通项公式为an=2n-1.

(2),

当n≥2时,,

故+…+<1++…+=1+<1+.

当n=1时,=1<.

所以对任意的n∈N*,都有+…+.

又+…+=1,所以1≤+…+.

所以=1.

3.解: (1)一件产品的质量参数在0.785以上的概率P=1-=0.841 35.

设抽取的20件该产品中合格产品的件数为ξ,则ξ~B(20,0.841 35),则E(ξ)=20×0.841 35=16.827.

(2)因为-2xi+n-2·n+n-n.

同理,-n,∵,

∴(xi-)(ti-)=(xi-)2.

∴r==2.92×=2.92×≈2.92×≈2.92×0.339≈0.99,

所以使用时间t与质量参数x之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型拟合.

4.(1)证明: ∵CD⊥DE,A1D⊥DE,A1D,CD是平面A1CD内的两条相交直线,∴DE⊥平面A1CD.

∵A1C⊂平面A1CD,∴A1C⊥DE.

又A1C⊥CD,DE,CD是平面BCDE内的两条相交直线,

∴A1C⊥平面BCDE.

(2)解: 如图,建立空间直角坐标系C-xyz,

则D(-2,0,0),A1(0,0,2),B(0,3,0),E(-2,2,0),

故=(0,3,-2),=(-2,-1,0).

设平面A1BE的一个法向量为n=(x,y,z),

则

取y=2,得n=(-1,2,).

∵M(-1,0,),∴=(-1,0,).

设<,n>=θ,CM与平面A1BE所成角为α,

∴cos θ=.sin α=|cos θ|=.

故CM与平面A1BE所成角的大小为45°.

(3)解: 不存在这样的点P.理由如下:设点P的坐标为(0,m,0)(0<m<3),=(2,0,2),=(2,m,0).

设平面A1DP的法向量为n1=(x1,y1,z1),

则

令x1=m,则n1=(m,-2,-m).

要使平面A1DP与平面A1BE垂直,需n·n1=(-1)×m+2×(-2)+×(-m)=0,解得m=-2,不满足条件.

所以不存在这样的点P.

5.(1)解: 由题意,不妨设A,B.

AB=2p,·2p·=8.

解得p=4,所以抛物线方程为y2=8x.

(2)证明: 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).

则直线l的斜率为k1=,

直线AB为y-y1=(x-x1),则(y1+y2)y-y1y2=8x.

又点F(2,0)在直线上,则-y1y2=16.

同理,直线BD为(y2+y4)y-y2y4=8x.

点P(3,0)在直线BD上,则-y2y4=24.

同理,直线AC为(y1+y3)y-y1y3=8x.

点P(3,0)在直线AC上,则-y1y3=24.

又k1=,k2=,

则,故为定值.

6.解: (1)f'(x)=-a(x>0),

当a≤0时,f'(x)>0,f(x)为单调递增函数,不可能有极值,舍去;

当a>0时,令f'(x)=0,解得x=.

当0<x<时,f'(x)>0,f(x)为单调递增函数;

当x>时,f'(x)<0,f(x)为单调递增函数;

所以f(x)在x=取得极大值,符合题意.

综上,实数a的取值范围为(0,+∞).

(2)当a=1时,g(x)=ln x-x+2sin x(x>0),

g'(x)=-1+2cos x,g″(x)=--2sin x.

①当x∈(0,π]时,g″(x)<0,g'(x)单调递减,

注意到g'(1)=2cos 1>0,g'(π)=-3<0,

所以存在唯一的x0∈(1,π),使g'(x0)=0,

且当0<x<x0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

当x0<x≤π时,g'(x)<0,g(x)单调递减,

注意到g=-3-+2sin<0,

g(1)=-1+2sin 1>0,g(π)=ln π-π<0,

所以g(x)在区间和区间(1,π)上各有一个零点.

②当x∈(π,2π]时,g(x)≤ln x-x<ln π-π<0,g(x)无零点.

③当x∈(2π,+∞)时,g(x)≤ln x-x+2<ln 2π-2π+2<4-2π<0,g(x)无零点.

综上,g(x)在区间和区间(1,π)上各有一个零点,共有两个零点.