人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题过关检测二　三角函数与解三角形

这是一份人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题过关检测二　三角函数与解三角形，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题过关检测二　三角函数与解三角形
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021·江西临川期中)已知角θ的终边经过点P(2,a),若θ=-π3,则a=(　　)
A.6 B.63 C.-6 D.-63
2.(2021·北京房山区一模)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)的图象的一条对称轴方程为(　　)
A.x=-π6 B.x=-π12 C.x=π12 D.x=π6
3.(2021·北京西城区一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c=(　　)
A.35 B.31 C.6 D.5
4.(2021·山西吕梁一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2部分图象如图所示,则fπ3=(　　)

A.32 B.12 C.-3 D.3
5.(2021·北京海淀区模拟)已知sinπ6-α=13+cos α,则sin2α+5π6=(　　)
A.-79 B.-439 C.439 D.79
6. (2021·福建福州期末)疫情期间,为保障市民安全,要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设计如图所示,PQ为路面,AB为消毒设备的高,BC为喷杆,AB⊥PQ,∠ABC=2π3,C处是喷洒消毒水的喷头,且喷射角∠DCE=π3.已知AB=2,BC=1,则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为(　　)


A.52-5 B.52 C.533 D.53
7.(2021·浙江宁波模拟)在△ABC中,“tan Atan B>1”是“△ABC为钝角三角形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.(2021·安徽淮北一模)函数f(x)=2sinx+π4+cos 2x的最大值为(　　)
A.1+2 B.332
C.22 D.3
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　)
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC的外接圆半径R为877
10.(2021·江苏苏州月考)已知函数f(x)=(sin x+3cos x)2,则(　　)
A.f(x)在区间0,π6上单调递增
B.f(x)的图象关于点-π3,0对称
C.f(x)的最小正周期为π
D.f(x)的值域为[0,4]
11.(2021·辽宁沈阳二模)关于f(x)=sin x·cos 2x的说法正确的为(　　)
A.∀x∈R,f(-x)-f(x)=0
B.∃T≠0,使得f(x+T)=f(x)
C.f(x)在定义域内有偶数个零点
D.∀x∈R,f(π-x)-f(x)=0
12.(2021·山东潍坊统考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若1tanA,1tanB,1tanC依次成等差数列,则下列结论不一定成立的是(　　)
A.a,b,c依次成等差数列
B.a,b,c依次成等差数列
C.a2,b2,c2依次成等差数列
D.a3,b3,c3依次成等差数列
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021·安徽合肥期中)已知cosα+5π4=-63,则sin 2α=.
14.(2021·北京东城区一模)已知函数f(x)=Asin(2x+φ)A>0,|φ|<π2,其中x和f(x)部分对应值如下表所示:
x
-π4
0
π12
π4
π3
f(x)
-2
-23
-2
2
23

则A=　　　　　. 
15.(2021·广东茂名二模)在矩形ABCD内(包括边界)有E,F两点,其中AB=120 cm,AE=1003 cm,EF=803 cm,FC=603 cm,∠AEF=∠CFE=60°,则该矩形ABCD的面积为　　　　　cm2.(答案如有根号可保留) 
16.(2021·湖南长郡中学二模)如图,某湖有一半径为100 m的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足AB=AC,∠BAC=90°.四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设∠AOB=θ,则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为　　　　　　m2. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2021·江西上饶一模)已知f(x)=2cos x·sinx+π3-3sin2x+sin xcos x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈-π4,π6,求y=f(x)的值域.










18.(12分)(2021·河北石家庄一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a-b=2ccos B.
(1)求角C;
(2)若a=2,D是AC的中点,BD=3,求边c.

















19.(12分)(2021·广东韶关一模)在以下三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并解答.
①cos C+(cos A-3sin A)cos B=0;②cos 2B-3cos(A+C)=1;③bcos C+33csin B=a.
问题:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+c=1,　　　　　,求角B和b的最小值. 









20. (12分)(2021·山东枣庄二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示,f(0)=12,f5π12=0.


(1)求f(x)的解析式;
(2)在锐角△ABC中,若A>B,fA-B2-π12=35,求cosA-B2,并证明sin A>255.
















21.(12分) (2021·福建宁德期末)在股票市场上,投资者常参考股价(每一股的价格)的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票.股民老张在研究股票的走势图时,发现一只股票的均线近期走得很有特点:若建立平面直角坐标系Oxy如图所示,则股价y(单位:元)和时间x(单位:天)的关系在ABC段可近似地用函数y=asin(ωx+φ)+b(0<φ<π)来描述,从C点走到今天的D点,是震荡筑底阶段,而今天出现了明显的筑底结束的标志,且D点和C点正好关于直线l:x=34对称.老张预计这只股票未来的走势可用曲线DE描述,这里DE段与ABC段关于直线l对称,EF段是股价延续DE段的趋势(规律)走到这波上升行情的最高点F.现在老张决定取点A(0,22),点B(12,19),点D(44,16)来确定函数解析式中的常数a,b,ω,φ,并且求得ω=π72.


(1)请你帮老张算出a,b,φ,并回答股价什么时候见顶(即求点F的横坐标);
(2)老张如能在今天以点D处的价格买入该股票3 000股,到见顶处点F的价格全部卖出,不计其他费用,这次操作他能赚多少元?














22.(12分)(2021·深圳实验学校月考)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)+2sin2ωx+φ2-1(ω>0,0<φ<π)为奇函数,且f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2.
(1)当x∈-π2,π4时,求f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度,再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈-π12,π6时,求函数g(x)的值域;
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(x)=43在区间π6,4π3上的根从小到大依次为x1,x2,…,xn,试确定n的值,并求x1+2x2+2x3+…+2xn-1+xn的值.










专题过关检测二　三角函数与解:三角形
1.C　解析: 由题意,角θ的终边经过点P(2,a),可得|OP|=2+a2(O为坐标原点),又由θ=-π3,根据三角函数的定义,可得cos-π3=22+a2=12,且a<0,解得a=-6.
2.C　解析: 将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度,得到y=g(x)=sin2x+π6=sin2x+π3,令2x+π3=kπ+π2,k∈Z,解得x=kπ2+π12,k∈Z,结合四个选项可知,函数g(x)的图象的一条对称轴方程为x=π12.
3.B　解析: 因为sin A=6sin B,所以a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以c2=a2+b2-2abcos C,即c2=62+12-2×6×1×12,解得c=31.
4.D　解析: 由题中函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象知,A=2,34T=11π3−2π3=3π,所以T=4π=2πω,所以ω=12.
又f2π3=2sin12×2π3+φ=2,可得12×2π3+φ=2kπ+π2,k∈Z,解得φ=2kπ+π6,k∈Z.
∵|φ|<π2,∴φ=π6,∴f(x)=2sin12x+π6.
故fπ3=2sin12×π3+π6=2sinπ3=3.
5.D　解析: 由sinπ6-α=13+cos α可得sinπ6·cos α-cosπ6·sin α=13+cos α,∴12cos α-32sin α=13+cos α,
∴32sin α+12cos α=-13,∴sinα+π6=-13,
∴sin2α+5π6=sinπ2+2α+π3=cos2α+π3=1-2sin2α+π6=79.
6.C　解析: 在△CDE中,设定点C到底边DE的距离为h,则h=2+1·sin2π3-π2=52,又S△CDE=12DE·h=12CD·CEsinπ3,即5DE=3CD·CE,利用余弦定理得DE2=CD2+CE2-2CD·CEcosπ3=CD2+CE2-CD·CE≥2CD·CE-CD·CE=CD·CE,当且仅当CD=CE时,等号成立,故DE2≥CD·CE,而5DE=3CD·CE,所以DE2≥533DE,则DE≥533,故DE的最小值为533.
7.D　解析: 因为tan Atan B>1,所以sinAsinBcosAcosB>1,因为00,cos Acos B>0,故A,B同为锐角,
因为sin Asin B>cos Acos B,
所以cos Acos B-sin Asin B<0,即cos(A+B)<0,
所以π21”,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件.
8.B　解析: 因为f(x)=2sinx+π4+cos 2x,
所以f(x)=2sinx+π4+sin2x+π4=2sinx+π4+2sinx+π4cosx+π4.
令θ=x+π4,g(θ)=2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin 2θ,
则g'(θ)=2cos θ+2cos 2θ=2(2cos2θ-1)+2cos θ=4cos2θ+2cos θ-2,
令g'(θ)=0,得cos θ=-1或cos θ=12,当-1≤cos θ≤12时,g'(θ)≤0;当12≤cos θ≤1时,g'(θ)≥0,所以当θ∈-5π3+2kπ,-π3+2kπ(k∈Z)时,g(θ)单调递减;当θ∈-π3+2kπ,π3+2kπ(k∈Z)时,g(θ)单调递增,所以当θ=π3+2kπ(k∈Z)时,g(θ)取得最大值,此时sin θ=32,
所以f(x)max=2×32+2×32×12=332.
9.ACD　解析: 因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x(其中x>0),解得a=4x,b=5x,c=6x,所以sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,所以A中结论正确;
由以上解答可知c边最大,所以三角形中角C最大,
又cos C=a2+b2-c22ab=(4x)2+(5x)2-(6x)22×4x×5x=18>0,所以C为锐角,所以B中结论错误;
由以上解答可知a边最小,所以三角形中角A最小,
又cos A=c2+b2-a22cb=(6x)2+(5x)2-(4x)22×6x×5x=34,
所以cos 2A=2cos2A-1=18,所以cos 2A=cos C.
由三角形中角C最大且角C为锐角可得2A∈(0,π),C∈0,π2,所以2A=C,所以C中结论正确;
由正弦定理,得2R=csinC(R为△ABC外接圆半径),
又sin C=1-cos2C=378,
所以2R=6378,解得R=877,所以D中结论正确.
10.ACD　解析: f(x)=sinx+3cosx2=sin2x+3cos2x+23sin xcos x=2+cos 2x+3sin 2x=2sin2x+π6+2;
对于A选项:∵x∈0,π6,∴2x+π6∈π6,π2,∴f(x)=2sin2x+π6+2在区间0,π6上单调递增,故A正确;
对于B选项:f-π3=2sin2×-π3+π6+2=0,由函数f(x)的图象(图略)可知-π3是f(x)的一个极小值点,故B错误;
对于C选项:由f(x)=2sin2x+π6+2可知,函数的最小正周期T=2π2=π,故C正确;
对于D选项,∵sin2x+π6∈[-1,1],
∴f(x)=2sin2x+π6+2∈[0,4],故D正确.
11.BD　解析: 对于A,当x=π3时,f-π3-fπ3=sin-π3cos2π3-sinπ3cos2π3=-32×-12−32×-12=32≠0,故A错误.
对于B,因为f(x+2π)=sin(2π+x)cos[2(x+2π)]=sin xcos 2x,所以∃T=2π≠0,使得f(x+T)=f(x),故B正确.
对于C,因为f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sin xcos 2x=-f(x),所以f(x)为奇函数,
因为x=0在定义域内,所以f(0)=0,故f(x)有奇数个零点,故C错误.
对于D,f(π-x)-f(x)=sin(π-x)cos[2(π-x)]-sin xcos 2x=sin xcos 2x-sin xcos 2x=0,故D正确.
12.ABD　解析: 因为1tanA,1tanB,1tanC依次成等差数列,所以2tanB=1tanA+1tanC,整理得2cosBsinB=cosCsinC+cosAsinA,
所以2·a2+c2-b22abc=a2+b2-c22abc+b2+c2-a22abc,整理得2b2=a2+c2,即a2,b2,c2依次成等差数列.但数列a,b,c或a,b,c或a3,b3,c3不一定是等差数列,除非a=b=c,但题目没有说△ABC是等边三角形.
13.-13　解析: 由cosα+5π4=-63可得cosα+π4=63,所以22(cos α-sin α)=63,即cos α-sin α=233,两边平方可得1-sin 2α=43,故sin 2α=-13.
14.4　解析: 由题意可得f(0)=-23,fπ4=2,即Asinφ=-23,Asinπ2+φ=2,
所以Asinφ=-23,Acosφ=2,
所以tan φ=-3,又因为|φ|<π2,
所以φ=-π3,所以A=-23-32=4.
15.14 4003　解析: 连接AC交EF于点O(图略),由∠AEF=∠CFE=60°,得AE∥FC,所以△AEO与△CFO相似,所以OEOF=AECF=53,所以EO=503 cm,FO=303 cm,在△AEO中,由余弦定理得,AO2=AE2+EO2-2AE·EO·cos∠AEO=(1003)2+(503)2-2×1003×503cos 60°=22 500,所以AO=150 cm,同理CO=90 cm,所以AC=240 cm,从而BC=AC2-AB2=1203 cm,所以矩形ABCD的面积为14 4003 cm2.
16.(10 0005+25 000)　解析: 在△OAB中,∵∠AOB=θ,OB=100 m,OA=200 m,
∴AB2=OB2+OA2-2OB·OA·cos∠AOB,
即AB=1005-4cosθ,∴S四边形OACB=S△OAB+S△ABC=12·OA·OB·sin θ+12AB2,
于是S四边形OACB=1002sinθ-2cosθ+52=10025sin(θ-φ)+52(其中tan φ=2),所以当sin(θ-φ)=1时,S四边形OACB取最大值10 0005+52=10 0005+25 000,即“直接监测覆盖区域”面积的最大值为(10 0005+25 000)m2.
17.解: (1)f(x)=2cos xsinx+π3−32(1-cos 2x)+12sin 2x=2cos x12sinx+32cosx−32+32cos 2x+12sin 2x=12sin 2x+32(2cos2x-1)+32cos 2x+12sin 2x=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+π3,
令2kπ-π2≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,
解得kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,
因此,函数f(x)的单调递增区间为kπ-5π12,kπ+π12,k∈Z.
(2)∵x∈-π4,π6,∴-π6<2x+π3<2π3,∴-12 因此当x∈-π4,π6时,y=f(x)的值域为(-1,2].
18.解: (1)因为2a-b=2ccos B,
由正弦定理得2sin A-sin B=2sin Ccos B,
因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,代入上式得,2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin B=2sin Ccos B,
即2sin Bcos C-sin B=0,即sin B(2cos C-1)=0.
因为B∈(0,π),所以sin B≠0,所以2cos C=1,即cos C=12,又0 (2)依题意,在△CBD中,CB=2,CD=12b,BD=3,C=π3,
利用余弦定理的推论可得,cos C=cosπ3=12=4+12b2-32×2×12b,即b2-4b+4=0,解得b=2.
在△ABC中,b=a=2,C=π3,故△ABC是等边三角形,故c=2.
19.解: 若选择①:在△ABC中,有A+B+C=π,则由题意可得cos[π-(A+B)]+(cos A-3sin A)cos B=0,
即-cos(A+B)+cos Acos B-3sin Acos B=0,
sin Asin B-cos Acos B+cos Acos B-3sin Acos B=0,
sin Asin B=3sin Acos B,
又sin A≠0,所以sin B=3cos B,则tan B=3.
又B∈(0,π),所以B=π3.
因为a+c=1,所以c=1-a,a∈(0,1).
所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3a-122+14,
因为a∈(0,1),所以当a=12时,b2取得最小值,且(b2)min=14,即b的最小值为12.
若选择②:在△ABC中,有A+B+C=π,
则由题意可得2cos2B-1-3cos(π-B)=2cos2B+3cos B-1=1,解得cos B=12或cos B=-2(舍去),
又B∈(0,π),所以B=π3.
因为a+c=1,所以c=1-a,a∈(0,1).
所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3a-122+14,
因为a∈(0,1),所以当a=12时,b2取得最小值,且(b2)min=14,即b的最小值为12.
若选择③:由正弦定理可将已知条件转化为sin Bcos C+33sin Csin B=sin A,
又sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ccos B,所以33sin Csin B=sin Ccos B,
又sin C≠0,所以sin B=3cos B,所以tan B=3.
又B∈(0,π),所以B=π3.
因为a+c=1,所以c=1-a,a∈(0,1).
所以b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1=3a-122+14,
因为a∈(0,1),所以当a=12时,b2取得最小值,且(b2)min=14,即b的最小值为12.
20.解: (1)由f(0)=12,得sin φ=12,又0<φ<π2,所以φ=π6.
由f5π12=0,得sinω·5π12+π6=0,
所以ω·5π12+π6=kπ,k∈Z,即ω=25(6k-1),k∈Z.
由ω>0,结合题中函数f(x)的图象可知12·2πω>5π12,
所以0<ω<125,
所以有0<25(6k-1)<125,即16 又k∈Z,所以k=1,
从而ω=25×(6×1-1)=2,因此,f(x)=sin2x+π6.
(2)由fA-B2-π12=35,得sin(A-B)=35,
又由题意可知0 又A+B>π2,所以A=A+B2+A-B2>π4+A-B2,
又因为函数y=sin x在区间0,π2上单调递增,A∈0,π2,π4+A-B2∈0,π2,所以sin A>sinπ4+A-B2=22×310+110=255.
21.解: (1)∵点C,D关于直线l对称,
∴点C坐标为(2×34-44,16),即(24,16).
把点A,B,C的坐标分别代入函数解析式,
得22=asinφ+b,　　　　　　　　　　　　　　　　①19=asinπ6+φ+b,②16=asinπ3+φ+b,③
②-①,得asinπ6+φ-sinφ=-3,
③-①,得asinπ3+φ-sinφ=-6,
∴2sinπ6+φ-2sin φ=sinπ3+φ-sin φ,
∴cos φ+3sin φ=32cos φ+32sin φ,
∴1-32cos φ=32-3sin φ=332-1sin φ,
∴tan φ=-33.∵0<φ<π,∴φ=5π6,代入②,得b=19.
将φ=5π6,b=19代入①得,a=6.
于是ABC段对应的函数解析式为y=6sinπ72x+5π6+19,由对称性得DEF段对应的函数解析式为y=6sinπ72(68-x)+5π6+19.设点F的坐标为(xF,yF),
则由π72(68-xF)+5π6=π2,解得xF=92.
因此可知,当x=92时,股价见顶.
(2)由(1)可知,yF=6sinπ72×(68-92)+5π6+19=6sinπ2+19=25,故这次操作老张能赚3 000×(25-16)=27 000(元).
22.解: (1)由题意,函数f(x)=3sin(ωx+φ)+2sin2ωx+φ2-1=3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sinωx+φ-π6,
因为函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π2,
所以T=π,可得ω=2.
又f(x)为奇函数,且f(x)在x=0处有定义,可得f(0)=2sinφ-π6=0,
所以φ-π6=kπ,k∈Z,因为0<φ<π,所以φ=π6,
因此f(x)=2sin 2x.
令π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为π4+kπ,3π4+kπ,k∈Z,
又因为x∈-π2,π4,
故函数f(x)的单调递减区间为-π2,-π4.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度,可得y=2sin2x-π3的图象,再把横坐标缩小为原来的12,得到函数y=g(x)=2sin4x-π3的图象,当x∈-π12,π6时,4x-π3∈-2π3,π3,当4x-π3=-π2时,函数g(x)取得最小值,且最小值为-2,当4x-π3=π3时,函数g(x)取得最大值,且最大值为3,故函数g(x)的值域为[-2,3].
(3)由方程g(x)=43,即2sin4x-π3=43,即sin4x-π3=23.(*)
因为x∈π6,4π3,可得4x-π3∈π3,5π,设θ=4x-π3,其中θ∈π3,5π,则方程(*)可转化为sin θ=23,
结合正弦函数y=sin θ的图象,如图,可得方程sin θ=23在区间π3,5π上有5个解,设这5个解分别为θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,所以n=5,其中θ1+θ2=3π,θ2+θ3=5π,θ3+θ4=7π,θ4+θ5=9π,
即4x1-π3+4x2-π3=3π,4x2-π3+4x3-π3=5π,4x3-π3+4x4-π3=7π,4x4-π3+4x5-π3=9π,
解得x1+x2=11π12,x2+x3=17π12,x3+x4=23π12,x4+x5=29π12,所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=(x1+x2)+(x2+x3)+(x3+x4)+(x4+x5)=20π3.