人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题过关检测六　解析几何

这是一份人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题过关检测六　解析几何，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题过关检测六　解析几何
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2021·浙江杭州二中月考)已知双曲线的实轴长为10,焦点到一条渐近线的距离为4,则它的离心率为(　　)
A.35 B.53 C.415 D.54
2.(2021·浙江宁波三模)“点(a,b)在圆x2+y2=1外”是“直线ax+by+2=0与圆x2+y2=1相交”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2021·陕西宝鸡三模)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2-10y=0截得的线段长等于8,则双曲线C的离心率为(　　)
A.153 B.54 C.3 D.53
4.(2021·黑龙江哈师大附中月考)椭圆x24p2+y2p2=1(p>0)的焦点是双曲线x2p−y22p=1的焦点,则p=(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
5.(2021·宁夏银川二模)已知抛物线y2=8x的焦点为F,经过点P(1,1)的直线l与该曲线交于A,B两点,且点P恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=(　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
6.(2021·广东茂名二模)已知点P是双曲线C:x24−y25=1右支上一点,F1,F2为双曲线C的左、右焦点.若△PF1F2的周长为16,点O为坐标原点,则PO·F1F2=(　　)
A.20 B.-20 C.40 D.-40
7.(2021·四川成都石室中学一模)已知圆C1:(x+2)2+y2=1,C2:(x-2)2+y2=49,动圆C满足与C1外切且与C2内切,若M为C1上的动点,且CM·C1M=0,则|CM|的最小值为(　　)
A.2 B.3 C.2 D.5
8.(2021·北京石景山一模)瑞士著名数学家欧拉在17世纪证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切.则圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为(　　)
A.22 B.32 C.42 D.6
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021·湖南师大附中月考)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于两点P(x1,y1),Q(x2,y2),点P在l上的射影为P1,则(　　)
A.|PQ|的最小值为4
B.已知曲线C上的两点S,T到点F的距离之和为10,则线段ST的中点的横坐标是4
C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥2
D.过M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
10.(2021·山东滨州一模)已知椭圆M:x225+y220=1的左、右焦点分别是F1,F2,左、右顶点分别是A1,A2,点P是椭圆上异于A1,A2的任意一点,则下列说法正确的是(　　)
A.|PF1|+|PF2|=5
B.直线PA1与直线PA2的斜率之积为-45
C.存在点P满足∠F1PF2=90°
D.若△F1PF2的面积为45,则点P的横坐标为±5
11.(2021·新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则(　　)
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=32
D.当∠PBA最大时,|PB|=32
12.(2021·辽宁部分重点中学协作体联考)若双曲线C:x24−y25=1,F1,F2分别为左、右焦点,设点P在双曲线上且是第一象限内的动点,点I为△PF1F2的内心,点G为△PF1F2的重心,则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的离心率为32
B.点I的运动轨迹为双曲线的一部分
C.若|PF1|=2|PF2|,PI=xPF1+yPF2,则y-x=29
D.存在点P,使得IG∥F1F2
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021·全国Ⅰ,文14)双曲线x24−y25=1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为　　　　　. 
14.(2021·江苏连云港模拟)圆锥曲线有丰富的光学性质,从椭圆焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点;从抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(3,1).由点P(2,1)发出的平行于x轴的光线经过抛物线C1:y2=16x反射到椭圆C上后,反射光线经点(-4,0),则椭圆C的方程为　　　　　　　　. 
15.(2021·北京八一中学期末)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地,他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B为椭圆Γ长轴的端点,C,D为椭圆Γ短轴的端点,动点M满足|MA||MB|=2,△MAB的面积的最大值为8,△MCD的面积的最小值为1,则椭圆Γ的离心率为　　　　　. 
16.(2021·山东青岛一模)2021年是中国传统的“牛”年,可以在平面直角坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象.已知抛物线Z:x2=4y的焦点为F,圆F:x2+(y-1)2=4与抛物线Z在第一象限的交点为Pm,m24,直线l:x=t(00)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为32,过点F2且斜率不为0的直线与椭圆交于A,B两点,△F1AF2的周长为4+23.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,求|OA+OB|的取值范围.
















19.(12分)(2021·江苏泰州模拟)已知椭圆P:x24+y2=1的右顶点为A,点M(x0,y0)是椭圆P上异于A的一点,MN⊥x轴于点N,B是MN的中点,过动点M(x0,y0)的直线l:x0x+4y0y=4与直线AB交于点C.
(1)当x0=65时,求证:直线l与椭圆P只有一个公共点;
(2)求证:点C在定直线上运动.
















20.(12分)(2021·安徽马鞍山二模(理))已知双曲线x2-y2b2=1(b≠1)的左焦点为F,右顶点为A,过点F向双曲线的一条渐近线作垂线,垂足为P,直线AP与双曲线的左支交于点B.
(1)设O为坐标原点,求线段OP的长度;
(2)求证:PF平分∠BFA.



















21.(12分)(2021·全国Ⅰ,理21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.
(1)求p;
(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.


















22.(12分)(2021·湖南衡阳八中月考)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,其离心率为62,且过点P(42,22).
(1)求双曲线C的方程.
(2)过F1的两条相互垂直的直线分别交双曲线于A,B和C,D,M,N分别为AB,CD的中点,连接MN,过坐标原点O作MN的垂线,垂足为H,是否存在定点G,使得|GH|为定值?若存在,求此定点G;若不存在,请说明理由.





















专题过关检测六　解:析:几何
1.C　解析: 不妨设焦点F(c,0)到渐近线y=bax的距离为4,得d=|bc|b2+a2=b=4,又因为2a=10,解得a=5,所以c=52+42=41.所以e=ca=415.
2.B　解析: 命题p:点(a,b)在圆x2+y2=1外等价于a2+b2>1,
命题q:直线ax+by+2=0与圆x2+y2=1相交等价于2a2+b24,
从而有pq,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.
3.D　解析: 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax,即ay±bx=0.
圆的方程x2+y2-10y=0可化为x2+(y-5)2=25,则圆心为(0,5),半径为5,
圆心到渐近线的距离为d=|5a|a2+b2,由弦长公式可得8=225-25a2a2+b2,
化简可得b2=169a2,∴c2=a2+b2=259a2,则e=ca=53.
4.D　解析: 椭圆x24p2+y2p2=1(p>0)中,a2=4p2,b2=p2,所以c2=3p2.
在双曲线x2p−y22p=1中,a2=p,b2=2p,所以c2=3p,所以c2=3p2=3p,解得p=1.
5.B　解析: 抛物线y2=8x中,p=4,其焦点F(2,0),准线方程x=-2,过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为M,N,R(图略).
由抛物线定义可知,|AF|+|BF|=|AM|+|BN|.
而P恰好为AB的中点,故PR是梯形ABNM的中位线,故|AM|+|BN|=2|PR|,
又P(1,1),故|PR|=1+p2=3,所以|AF|+|BF|=2×3=6.
6.B　解析: 因为|F1F2|=2c=6,△PF1F2的周长为16,
所以|PF1|+|PF2|=10.
因为|PF1|-|PF2|=2a=4,
所以|PF1|=7,|PF2|=3,
所以PO·F1F2=12(PF1+PF2)·(PF2−PF1)=12(PF22−PF12)=12×(32-72)=-20.
7.B　解析: 易知圆C1的圆心C1(-2,0),圆C1的半径为r1=1.圆C2的圆心C2(2,0),半径为r2=7.|C1C2|=4|C1C2|=4,
故圆心C的轨迹为椭圆,且该椭圆的焦点为C1,C2.
设该椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦距为2c(c>0),
则2a=8,可得a=4;由2c=4,可得c=2;b=a2-c2=23,
所以点C的轨迹方程为x216+y212=1.
由CM·C1M=0,得CM⊥C1M,且|C1M|=1,
由椭圆的几何性质可得|CC1|min=a-c=2,故|CM|min=|CC1|min2-|C1M|2=3.
8. A　解析: 因为在△ABC中,AB=AC=4,所以BC边上的高线、垂直平分线和中线合一,
则其“欧拉线”为△ABC边BC的垂直平分线AD.


因为点B(-1,3),点C(4,-2),所以D32,12.
因为直线BC的斜率为3+2-1-4=-1,所以BC的垂直平分线的斜率为1.
所以BC的垂直平分线方程为y-12=x-32,即x-y-1=0.
因为“欧拉线”与圆M:(x-a)2+(y-a+3)2=r2相切,
所以圆心(a,a-3)到“欧拉线”的距离为|a-a+3-1|2=r,可得r=2.因为圆心(a,a-3)到直线x-y+3=0的距离为|a-a+3+3|2=32,所以圆M上的点到直线x-y+3=0的距离的最小值为32−2=22.
9.ABC　解析: 由题意知,p2=1,抛物线的焦点F(1,0),准线方程为x=-1.
对于A,当PQ⊥x轴时,|PQ|取得最小值,最小值为2p=4,所以A正确;
对于B,曲线C上的两点S,T到点F的距离之和为10,所以点S,T的横坐标之和为10-2=8,则线段ST的中点横坐标为4,所以B正确;
对于C,设M(0,1),则|PM|+|PP1|=|PM|+|PF|≥|FM|=2,当且仅当M,P,F三点共线时取等号,所以C正确;
对于D,当直线过点M(0,1)且与x轴平行时,直线与抛物线有且只有一个公共点.过点M(0,1)且与抛物线相切的直线有两条,此时直线与抛物线有且只有一个公共点,所以过点M(0,1)与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条,所以D错误.
10.BD　解析: 由题意得a=5,b=25,c=5,F1(-5,0),F2(5,0),A1(-5,0),A2(5,0),短轴一个顶点B2(0,25),|PF1|+|PF2|=2a=10,A错误;
设P(x,y),则x225+y220=1,y2=201-x225,
kPA1·kPA2=yx+5×yx-5=y2x2-25=201-x225×1x2-25=-45,B正确;
因为tan∠OB2F2=|OF2||OB2|=525=120,解得x=t,y=1+4-t2,所以B(t,1+4-t2).
由抛物线的定义,知AF=AC,
△FAB的周长=FA+FB+AB=AC+AB+BF=BC+2=4-t2+4.
因为t∈(0,2),所以4-t2+4∈(4,6).
17.解: (1)设点P(x,y),根据题意得x-162+y2=x+16,化简得动点P的轨迹C的方程为y2=23x.
(2)∵M(3,2),(x-2)2+y2=1,∴x=3即圆的一条切线,A(3,-2).
设过M的另一条切线斜率为k,k≠0,则切线方程为y-2=k(x-3),又设B(x1,y1).
由方程组y-2=k(x-3),y2=23x,得y2-23ky+223k-2=0,
∴2+y1=23k,y1=23k−2.
∵直线为y-2=k(x-3),其与圆相切,
∴|2k-0-3k+2|k2+1=1,∴k=24.
∴y1=23.∵B满足y2=23x,∴B13,23.
∴AB=-83,423,∴|AB|=|AB|=463.
18.解: (1)由题意得2a+2c=4+23,ca=32,解得a=2,c=3,故b2=4-3=1.
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)因为F2(3,0),所以设直线AB的方程为x=my+3,A(x1,y1),B(x2,y2).
由x24+y2=1,x=my+3,消去x得(m2+4)y2+23my-1=0,
所以y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4.
又OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(my1+my2+23,y1+y2),
所以|OA+OB|=(my1+my2+23)2+(y1+y2)2=83m2+42+-23mm2+42=23m2+48(m2+4)2.
令t=1m2+4∈0,14,所以3m2+48(m2+4)2=3(m2+4)+36(m2+4)2=3t+361t2=36t2+3t.
因为二次函数y=36t2+3t在t∈0,14上单调递增,所以y=36t2+3t∈(0,3],
因此|OA+OB|=23m2+48(m2+4)2∈(0,23](当m=0时取得最大值),所以|OA+OB|∈(0,23].
19.证明: (1)不妨设y0>0,当x0=65时,由x024+y02=1得y0=45,
所以直线l的方程为65x+4×45y=4,即y=-38x+54.
由y=-38x+54,x24+y2=1,解得x=65,y=45,
故直线l与椭圆P的交点坐标为65,45,
所以直线l与椭圆P只有一个公共点.
(2)因为M(x0,y0)(不妨取y0>0),MN⊥x轴,B是MN的中点,所以Bx0,y02.
因为y0>0,所以x0≠2,所以直线AB的方程为y=y02x0-2(x-2),即y=y02(x0-2)(x-2),
联立x0x+4y0y=4,y=y02(x0-2)(x-2),得(x02+2y02-2x0)x=4x0-8+4y02.
又因为x024+y02=1,所以y02=1-x024,
因此x02+21-x024-2x0x=4x0-8+41-x024,即12(x0-2)2x=-(x0-2)2,
所以x=-2,所以点C在定直线x=-2上运动.
20.(1)解: 不妨设B在第二象限,则渐近线OP的方程为y=-bx,
则直线PF的方程为y=1b(x+c).
由y=1b(x+c),y=-bx,得xP=-cb2+1=-1c,yP=bc,
故P-1c,bc.
故|OP|=-1c2+bc2=1+b2c2=c2c2=1.
(2)证明: 设直线PF的倾斜角为θ,则tan θ=1b,tan 2θ=2tanθ1-tan2θ=2bb2-1.
又A(1,0),故直线AP的斜率为bc-1c-1=-bc+1,
则直线AP的方程为y=-bc+1(x-1).
由y=-bc+1(x-1),x2-y2b2=1,得(c2+2c)x2+2x-(c2+2c+2)=0,
xB=xAxB=-c2+2c+2c2+2c,yB=-bc+1(xB-1)=2b(c+1)c2+2c.
又F(-c,0),故直线BF的斜率为
yBxB+c=2b(c+1)c2+2c-c2+2c+2c2+2c+c=2b(c+1)c3+c2-2c-2=2bc2-2=2bb2-1=tan 2θ,
故PF平分∠BFA.
21.解: (1)抛物线C的焦点为F0,p2,|FM|=p2+4,
所以,F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p=2.
(2)抛物线C的方程为x2=4y,即y=x24,对该函数求导得y'=x2.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
直线PA的方程为y-y1=x12(x-x1),即y=x1x2-y1,即x1x-2y1-2y=0.
同理可知,直线PB的方程为x2x-2y2-2y=0.
由于点P为这两条直线的公共点,
则x1x0-2y1-2y0=0,x2x0-2y2-2y0=0,
所以,点A,B的坐标满足方程x0x-2y-2y0=0,
所以,直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.
联立x0x-2y-2y0=0,y=x24,可得x2-2x0x+4y0=0.
由韦达定理可得x1+x2=2x0,x1x2=4y0,
所以|AB|=1+x022·(x1+x2)2-4x1x2=1+x022·4x02-16y0=(x02+4)(x02-4y0).
点P到直线AB的距离为d=|x02-4y0|x02+4,
所以,S△PAB=12|AB|·d=12(x02+4)(x02-4y0)·|x02-4y0|x02+4=12(x02-4y0)32.
因为x02-4y0=1-(y0+4)2-4y0=-y02-12y0-15=-(y0+6)2+21,由已知可得-5≤y0≤-3,所以,当y0=-5时,△PAB的面积取最大值12×2032=205.
22.解: (1)由题可知e=ca=62,32a2-8b2=1,c2=a2+b2⇒a2=16,b2=8,c2=24,
双曲线C的方程是x216−y28=1.
(2)存在定点G(-26,0),使得|GH|为定值,理由如下:
由题意可知,若直线AB和CD其中一条没有斜率,则H点为(0,0),直线MN的方程为y=0,
当直线AB和CD都有斜率时,因为点F1(-26,0),设直线AB的方程为y=k(x+26),设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),
联立方程组y=k(x+26),x216-y28=1,得(1-2k2)x2-86k2x-16(3k2+1)=0,
所以xA+xB=86k21-2k2,xAxB=-16(3k2+1)1-2k2,
故xM=46k21-2k2,yM=k46k21-2k2+26.
设直线CD的方程为y=-1k(x+26),
设C(xC,yC),D(xD,yD),N(xN,yN),
同理可得xC+xD=86k2-2,xCxD=-16(3+k2)k2-2,
故xN=46k2-2,yN=-1k46k2-2+26,
所以kMN=yM-yNxM-xN=
k46k21-2k2+26+1k46k2-2+2646k21-2k2-46k2-2=-k2(k2-1).
由y-yM=kMN(x-xM),得直线MN的方程为y-k46k21-2k2+26=-k2(k2-1)x-46k21-2k2,
化简得y=-k(k2-1)12x+26,可知直线MN过定点P(-46,0).
又因为OH⊥MN,所以点H的运动轨迹是以点(-26,0)为圆心,以|OP|=26为直径的圆,
所以存在定点G(-26,0),使得|GH|为定值26.