人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练15　空间位置关系、空间角的向量方法

专题突破练15　空间位置关系、空间角的向量方法

1.(2021·江苏扬州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.

求证:(1)AP∥平面EBD;

(2)BE⊥PC.

2.(2021·江苏泰州模拟)在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,PA=,E,F分别是AB,AD的中点,过直线EF的平面α分别与侧棱PB,PD交于点M,N.

(1)求证:MN∥BD;

(2)若EF=2MN,求直线PA与平面α所成角的正弦值.

3.(2021·湖南常德一模)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,D为△ABC所在平面内一点,且四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,四边形ACC1A1为正方形,平面A1DC1⊥平面A1B1C1.

(1)求证:B1O⊥平面ABCD;

(2)求二面角C-DC1-A1的正弦值.

4.(2021·全国Ⅰ,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.

(1)求BC;

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

5.(2021·山东泰安一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD=2,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.

(1)若PA=1,求证:AE⊥平面PCD;

(2)当直线PC与平面ACE所成的角最大时,求三棱锥E-ABC的体积.

6.(2021·山东日照二模)如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.

(1)求证:AC⊥BD.

(2)有三个条件:①θ=60°;②直线AC与平面BCD所成的角为45°;③二面角A-CD-B的余弦值为.请你从中选择一个作为已知条件,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.

专题突破练15　空间位置关系、空间角的向量方法

1.证明: (1)连接AC交BD于点O,连接OE,

因为四边形ABCD为平行四边形,所以O为AC的中点.

又E为PC的中点,所以AP∥OE.

又AP⊄平面EBD,OE⊂平面EBD,所以AP∥平面EBD.

(2)因为△PCD为正三角形,E为PC的中点,所以PC⊥DE.

因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,BD⊂平面ABCD,BD⊥CD,所以BD⊥平面PCD.

又PC⊂平面PCD,所以PC⊥BD.

又BD∩DE=D,所以PC⊥平面BDE.

又BE⊂平面BDE,所以BE⊥PC.

2.(1)证明: 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,

又EF⊄平面PBD,BD⊂平面PBD,所以EF∥平面PBD.

又EF⊂平面α,平面α∩平面PBD=MN,

所以EF∥MN,所以MN∥BD.

(2)解: 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF=BD.

又EF=2MN,所以BD=4MN.

由(1)知MN∥BD,所以PM=PB.

如图,以BD的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(1,-1,0),E(1,0,0),F(0,-1,0),B(1,1,0),P(0,0,2),

所以=(-1,1,2),=(-1,-1,0),=(1,1,-2),=(0,1,0),所以,所以.

设平面α的法向量为n=(x,y,z),

则

令x=3,则y=-3,z=2,所以n=(3,-3,2)为平面α的一个法向量.

设直线PA与平面α所成的角为θ,

则sin θ=|cos<,n>|=,

所以直线PA与平面α所成角的正弦值为.

3.(1)证明: 如图,取A1C1的中点M,连接MD,MB1,MO.

由题意可知B1M∥BD,B1M=BO=OD,

所以四边形B1MDO是平行四边形.

因为A1B1=B1C1,所以B1M⊥A1C1.

因为四边形ACC1A1为正方形,所以OM⊥A1C1.

又OM∩B1M=M,所以A1C1⊥平面B1MDO.

又MD⊂平面B1MDO,所以A1C1⊥DM.

又平面A1DC1⊥平面A1B1C1,平面A1DC1∩平面A1B1C1=A1C1,DM⊂平面A1DC1,所以DM⊥平面A1B1C1.

又平面ABCD∥平面A1B1C1,所以DM⊥平面ABCD.

因为四边形B1MDO是平行四边形,所以B1O∥DM,

所以B1O⊥平面ABCD.

(2)解: 以O为坐标原点,OC,OD,OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则C(1,0,0),D(0,,0),C1(1,,1),A1(-1,,1),所以=(-1,,0),=(1,0,1),=(2,0,0),=(0,,0).

设平面CDC1的法向量为m=(x,y,z),

则

令y=1,则x=,z=-,所以m=(,1,-)为平面CDC1的一个法向量.

因为=0,=0,所以=(0,,0)为平面A1DC1的一个法向量.

设二面角C-DC1-A1的大小为θ,则|cos θ|=|cos<m,>|=,所以sin θ=.

所以二面角C-DC1-A1的正弦值为.

4.解: (1)连接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,

∴PD⊥AM.

∵PB⊥AM,PB∩PD=P,

∴AM⊥平面PBD,

∴AM⊥BD,

∴∠ADB+∠DAM=90°.

又∠DAM+∠MAB=90°,

∴∠ADB=∠MAB,

∴Rt△DAB∽Rt△ABM,

∴,

∴BC2=1,∴BC=.

(2)如图,以D为原点,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.

可得A(,0,0),B(,1,0),M,P(0,0,1),=(-,0,1),=-,1,0,=-,0,0,=(-,-1,1).

设平面AMP的一个法向量为m=(x1,y1,z1),

则

令x1=,则y1=1,z1=2,可得m=(,1,2).

设平面BMP的一个法向量为n=(x2,y2,z2),

同理可得n=(0,1,1).

则cos<m,n>=.

设二面角A-PM-B的平面角为θ,则sin θ=.

5.(1)证明: ∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.

∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥CD.

又AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD.

又AE⊂平面PAD,∴CD⊥AE.

∵PA=AD=1,E为PD的中点,∴AE⊥PD.

又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.

(2)解: 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示.

设AP=a(a>0),则C(2,1,0),P(0,0,a),E,

∴=(2,1,0),=0,,=(2,1,-a).

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),

则

令y=-a,则x=,z=1,∴n=为平面ACE的一个法向量.

设直线PC与平面ACE所成的角为θ,则sin θ=|cos<n,>|=,

当且仅当=5a2,即a=时,等号成立.

∴当a=时,直线PC与平面ACE所成的角最大,此时三棱锥E-ABC的体积为×2×1×.

6.(1)证明: 如图,取BD的中点O,连接OA,OC,则OC⊥BD.

因为BC=DC,∠ACB=∠ACD=θ.AC=AC,所以△ABC≌△ADC,所以AB=AD,所以OA⊥BD.

又OA∩OC=O,

所以BD⊥平面AOC.

又AC⊂平面AOC,所以AC⊥BD.

(2)解: 在直线AC上取点P,使得∠POC=90°,连接PB,PD,

由(1)知BD⊥平面AOC,PO⊂平面AOC,所以BD⊥PO.

又OC∩BD=O,所以PO⊥平面BCD.

由(1)知OC⊥BD,所以OC,OD,OP两两互相垂直.

以O为原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.如图所示.

因为∠BCD=90°,BC=CD=1,所以OC=OB=OD=.

又PO⊥平面BCD,

所以PB=PC=PD.

选①,由θ=60°,可知△PCD是等边三角形,所以PD=CD=1,OP=.所以P,C,0,0,D,B,所以.

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),

则

取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.

设直线BC与平面PCD所成的角为α,

则sin α=|cos<,n>|=.

因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为.

选②,由PO⊥平面BCD,可知∠PCO为直线AC与平面BCD所成的角,所以∠PCO=45°,所以OP=OC=.所以P,C,D,B0,-,0,所以=0,-.

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),

则

取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.

设直线BC与平面PCD所成的角为α,

则sin α=|cos<,n>|=.

因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为.

选③,作PM⊥CD,垂足为M,连接OM.

由PO⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,可知PO⊥CD.

又PO∩PM=P,所以CD⊥平面POM,所以CD⊥OM,所以∠PMO为二面角A-CD-B的平面角.

所以cos∠PMO=,所以tan∠PMO=.

因为OM=,所以OP=OMtan∠PMO=.

所以P,C,D,B0,-,0,所以.

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),

则

取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.

设直线BC与平面PCD所成的角为α,

则sin α=|cos<,n>|=.

因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为.