人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练17　统计与统计案例

专题突破练17　统计与统计案例

1.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.

(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;

(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)

附:≈8.602.

2.(2021·江西赣州二模改编)遵守交通规则,人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定,也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第47条明确规定:“机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过道路,应当避让.否则扣3分罚200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:

(1)请利用所给数据求不“礼让行人”驾驶员人数y与月份x之间的经验回归方程x+,并预测该路口2021年10月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入);

(2)交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人,调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到下表:

依据小概率值α=0.10的独立性检验,分析“礼让行人”行为是否与驾龄有关.

参考公式:.

χ2=,其中n=a+b+c+d.

3.(2021·河北石家庄二模改编)某地区在2020年底全面建成小康社会,随着实施乡村振兴战略规划,该地区农村居民的收入逐渐增加,可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2016~2020年农村居民人均消费支出情况,对有关数据处理后,制作如图1的折线图.其中变量y(单位:万元)表示该地区农村居民人均年消费支出,年份用变量t表示,其取值依次为1,2,3,….

(1)由图1可知,变量y与t具有很强的线性相关关系,求y关于t的经验回归方程,并预测2021年该地区农村居民人均消费支出;

2016~2020年该地区农村居民人均消费支出

图1

(2)在国际上,常用恩格尔系数(食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准:恩格尔系数在40%~50%为小康,30%~40%为富裕.已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示,预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%,从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.

2020年该地区农村居民人均消费支出构成

图2

参考公式:经验回归方程x+中斜率和截距的最小二乘估计分别为:.

4.(2021·山东潍坊一模)在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20,25<xi<65),其中xi表示年龄,yi表示脂肪含量,并计算得到=48 280,=15 480,xiyi=27 220,=48,=27,≈4.7.

(1)请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y关于x的经验回归方程x(的计算结果保留两位小数);

(2)科学健身能降低人体脂肪含量,下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表:

单位:台

某健身机构准备购进其中一款健身器材,以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,该机构选择购买哪一款健身器材,才能使用更长久?

参考公式:样本相关系数r=;

对于一组具有线性相关关系的数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),其经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.

专题突破练17　统计与统计案例

1.解: (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为=0.21.

产值负增长的企业频率为=0.02.

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.

(2)(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,

s2=[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6,

s==0.02×≈0.17.

所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.

2.解: (1)由表中数据易知:=105,

则=-11,

=105-(-11)×=132.5,

故所求经验回归方程为=-11x+132.5.

令x=10,则=-11×10+132.5=22.5≈23(人),

预测该路口10月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为23.

(2)零假设为H0:“礼让行人”行为与驾龄无关.

由表中数据可得χ2=≈0.23<2.706=x0.10,依据小概率值α=0.10的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,可以认为H0成立,即认为“礼让行人”行为与驾龄无关.

3.解: (1)由已知数据可求=3,

=1.21,

=12+22+32+42+52=55,

tiyi=1×1.01+2×1.10+3×1.21+4×1.33+5×1.40=19.16,

=0.101,

=1.21-0.101×3=0.907,

所求经验回归方程为=0.101t+0.907.

当t=6时,=0.101×6+0.907=1.513(万元),

故2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元.

(2)已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元,由图2可知,2020年该地区农村居民食品类支出为4 451元,则预测2021年该地区食品类支出为4 451×(1+3%)=4 584.53元,

恩格尔系数=×100%≈30.3%,

所以,2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.

4.解: (1)=2 304,=729,xiyi-20=1 300,-20=2 200,-20=900,r=≈0.92,

因为y与x的样本相关系数接近1,所以y与x之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.

由题可得,≈0.591,

=27-0.591×48≈-1.37,

所以=0.59x-1.37.

(2)以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X(单位:年).

E(X)=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6.

设乙款健身器材使用年限为Y(单位:年).

E(Y)=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.

因为E(X)>E(Y),所以该健身机构购买甲款健身器材更划算.