人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练21　圆锥曲线的定义、方程与性质

专题突破练21　圆锥曲线的定义、方程与性质

一、单项选择题

1.(2021·湖北华中师大一附中月考)已知抛物线y=mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为,则m的值为(　　)

A.1 B.2 C. D.

2.(2021·四川成都七中月考)双曲线=1(a,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,则其离心率为 (　　)

A. B. C. D.

3.(2021·新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)

A.13 B.12 C.9 D.6

4.(2021·贵州贵阳期末)过抛物线y2=4x的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为2,则|AB|等于(　　)

A.4 B.6 C.8 D.10

5.(2021·广东佛山二模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率等于2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上且PF1⊥PF2,若△PAF1的面积为3a,则双曲线的虚轴长等于(　　)

A. B.2 C.2 D.4

二、多项选择题

6.(2021·江苏南通适应性联考)已知Rt△ABC中有一个内角为,如果双曲线E以A,B为焦点,并经过点C,则该双曲线的离心率可能是(　　)

A.+1 B.2 C. D.2+

7.(2021·广东佛山模拟)已知双曲线C:9x2-16y2=144的左、右焦点分别为F1,F2,点P为C上的一点,且|PF1|=6,则下列说法正确的是(　　)

A.双曲线的离心率为

B.双曲线的渐近线方程为3x±4y=0

C.△PF1F2的周长为30

D.点P在椭圆=1上

8.(2021·重庆调研)如图所示,用一束与平面α成60°角的平行光线照射半径为的球O,在平面α上形成的投影为椭圆C及其内部,则椭圆C的(　　)

A.长轴长为3 B.离心率为

C.焦距为2 D.面积为3π

9.(2021·山东青岛三模)已知曲线C:=1,F1,F2分别为曲线C的左、右焦点,则下列说法正确的是 (　　)

A.若m=-3,则曲线C的两条渐近线所成的锐角为

B.若曲线C的离心率e=2,则m=-27

C.若m=3,则曲线C上不存在点P,使得∠F1PF2=

D.若m=3,P为C上一个动点,则△PF1F2面积的最大值为3

三、填空题

10.(2021·江苏南通一模)已知抛物线C:y=x2上的点M到焦点的距离为5,则点M到y轴的距离为　　　　　. 

11.(2021·湖北十五中学联考体联考)=1的焦点为F1,F2,点Р在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为　　　　　. 

12.(2021·湖南怀化模拟)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线交椭圆E于P,Q两点,且PF2⊥F2Q,且a2,|PF2|+|F2Q|=4,则椭圆E的标准方程为　　　　　　　　　　. 

13.(2021·北京昌平二模)已知抛物线C:y2=4x与椭圆D:=1(a>b>0)有一个公共焦点F,则点F的坐标是　　　　　;若抛物线的准线与椭圆交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB是直角三角形,则椭圆D的离心率e=　　　　　. 

14.(2021·福建厦门外国语学校月考)点P在椭圆C1:=1上,C1的右焦点为F,点Q在圆C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,则|PQ|-|PF|的最小值为　　　　　. 

专题突破练21　圆锥曲线的定义、方程与性质

1.B　解析: 由题意,知抛物线y=mx2(m>0)的准线方程为y=-,

根据抛物线的定义,可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y=-的距离,可得2+,解得m=2.

2.D　解析: 因为=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,所以.

故,解得,所以e=.

3.C　解析: 由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,

则=3,

则|MF1|·|MF2|≤9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.

故|MF1|·|MF2|的最大值为9.

4.C　解析: 抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程l:x=-1.

设AB的中点为M,过A,B,M作准线l的垂线,垂足分别为C,D,N,则MN为梯形ABDC的中位线,|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=2(x0+1).

直线AB过抛物线的焦点F,显然直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为x=my+1(m为常数),

代入抛物线的方程,消去x并整理,得y2-4my-4=0.

设A,B的纵坐标分别为y1,y2,线段AB的中点M(x0,y0),则y0==2m=2,解得m=1.

直线AB的方程为x=y+1,x0=y0+1=2+1=3,|AB|=2×(3+1)=8.

5.D　解析: 如图,双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率等于2,e==2,①

设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线在第一、三象限的渐近线的斜率为,②

A为双曲线的右顶点,P在双曲线的渐近线上,且PF1⊥PF2,

所以P(a,b),△PAF1的面积为3a,可得(a+c)·b=3a,③

解①②③,可得b=2,所以C的虚轴长等于4.

6.ACD　解析: 当∠C=时,e=;

当∠B=时,e=+1;

当∠A=时,e=+2.

7.BCD　解析: 双曲线的标准方程为=1,a=4,b=3,则c=5,离心率e=,A错误;

渐近线方程为=0,即3x±4y=0,B正确;

|PF1|=6<2a=8,P在左支上,|PF2|=6+8=14,△PF1F2的周长为30,C正确;

|PF1|+|PF2|=20,因此P在椭圆=1(此椭圆是以F1,F2为焦点,长轴长为20的椭圆)上,D正确.

8.BC　解析: 由题意知,OB⊥AB,OB=,∠BAO=60°,OA==2,椭圆C长轴长2a=2OA=4,A错误;

椭圆C的短轴长为球O的直径,即2b=2,b=,

c==1,椭圆C的焦距为2c=2,C正确;

椭圆C的离心率e=,B正确;

由图可知:椭圆C的面积大于球O大圆的面积,又球O大圆的面积S=3π,故椭圆C的面积大于3π,D错误.

9.ABD　解析: 对于A选项,当m=-3时,曲线C:=1表示焦点在x轴上的双曲线,渐近线方程为y=±x,故渐近线的倾斜角分别为,所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为,故A选项正确;

对于B选项,离心率e=2,则曲线C为焦点在x轴上的双曲线,a=3,e=2,故c=6,所以-m=c2-a2=36-9=27,所以m=-27,故B选项正确;

对于C选项,若m=3,则曲线C:=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时a2=9,b2=3,c2=6.

设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为M(0,),则cos∠F1MF2==-<0,故∠F1MF2为钝角,所以曲线C上存在点P,使得∠F1PF2=,故C选项错误;

对于D选项,若m=3,则曲线C:=1表示焦点在x轴上的椭圆,此时a2=9,b2=3,c2=6,P为C上一个动点,则△PF1F2面积的最大值为Smax=×2c×b=×2=3,故D选项正确.

10.2　解析: 抛物线C的方程可化为x2=8y.

设M(x0,y0),因为点M到焦点的距离为5,所以点M到准线y=-2的距离为5,

从而y0=3.将y0=3代入x2=8y,可得|x0|=2,

所以点M到y轴的距离为2.

11.　解析: 由椭圆=1可得a=3,b=,c=.

根据椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=2,所以4+|PF2|=2a=6,解得|PF2|=2.

在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2==-,

所以∠F1PF2=.

12.=1　解析: 如图所示,连接PF1,QF1,因为OP=OQ,OF1=OF2,

所以四边形PF1QF2是平行四边形,所以PF1=QF2,PF2=QF1,

又因为PF2⊥F2Q,所以平行四边形PF1QF2是矩形.

设PF1=m,PF2=n,由题意得解得

则b2=a2-c2=2,故E的标准方程为=1.

13.(1,0)　　解析: 由抛物线的方程,得其焦点坐标为(1,0),

所以抛物线C与椭圆D的公共焦点为F(1,0),

且抛物线准线方程为x=-1,椭圆左焦点为(-1,0),

联立x=-c与椭圆=1,可得|yA|=|yB|=,

因为△AOB是直角三角形,所以=c,即b2=ac.

又b2=a2-c2,所以a2-c2=ac,

左、右同除以a2,可得e2+e-1=0,解得e=,

又e∈(0,1),所以椭圆D的离心率e=.

14.2-6　解析: 记椭圆C1:=1的左焦点为E(-1,0),

由椭圆的定义可得,|PE|+|PF|=2a=4,

所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4.

由x2+y2+6x-8y+21=0,得(x+3)2+(y-4)2=4,

即圆C2的圆心为(-3,4),半径为r=2,作出图形如下:

由圆的性质可得,|PQ|≥|PC2|-r=|PC2|-2,

|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4≥|PC2|+|PE|-6≥|EC2|-6=-6=2-6(当且仅当C2,Q,P,E四点共线时,等号成立).