高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2 指数幂的运算性质学案设计

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指数幂的拓展 指数幂的运算性质 新课程标准解读核心素养通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)，实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质数学抽象、数学运算 薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S(单位：hm2)与年数t(年)满足关系式S＝S0·1.057t，其中S0(单位：hm2)为侵害面积的初始值．如果求10年后侵害的面积，则S＝S0·1.05710；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算S＝S0·1.05715.5.[问题]　这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　指数幂及其运算性质1．正分数指数幂(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝a.这就是正分数指数幂．(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂a满足：a＝a；②a＝．2．负分数指数幂给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，定义a－＝＝ .3．0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂没有意义．4．指数幂的运算性质(1)aαaβ＝aα＋β(a>0，α，β∈R)；(2)(aα)β＝aαβ(a>0，α，β∈R)；(3)(ab)α＝aαbα(a>0，b>0，α∈R)．1．分数指数幂a不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法．2．正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数．3．把根式 化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．4．在幂和根式的化简运算中，一般将根式化为分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行计算．　　　　 为什么分数指数幂的底数规定a>0?提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a无意义；②当a＝0时，a0无意义．1.可化为(　　)A．a　　　　　　　 B．aC．a  D．－a解析：选A　＝a.2．3可化为(　　)A.  B．C.  D.解析：选C　3＝＝.3．计算：×(2)－2＝________．解析：×(2)－2＝(2－3) ×＝2×＝2×2－3＝21－3＝2－2＝＝.答案：4．若10α＝2，10β＝3，则10α＋β＝________，10α－β＝________，10－3α＝________．解析：10α＋β＝10α·10β＝2×3＝6.10α－β＝＝.10－3α＝(10α)－3＝2－3＝.答案：6　　根式与分数指数幂的互化[例1]　(链接教科书第77页习题B组1题)用分数指数幂表示下列各式：①·(a<0)；②(b<0)；③(x≠0)．[解]　①原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)＝－(－a)(a<0)．②原式＝(－b) ＝(－b)(b<0)．③原式＝＝＝x (x≠0)．根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子；(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．)　　　　 [跟踪训练]1．计算 的结果为(　　)A．8　　　　　　　　　 B．4C．2  D.解析：选A　由题意可得 ＝16＝(24)＝23＝8.故选A.2.用分数指数幂表示为(　　)A．a  B．aC．a  D．a解析：选A　＝＝a＝a，故选A.指数幂的运算[例2]　(链接教科书第78页例1)计算下列各式：(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)．[解]　(1)原式＝(－1)－×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－·a－3－(－4)·b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.指数幂运算的解题通法(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数；(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答；(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．　　　　 [跟踪训练]　计算下列各式(式子中字母都是正数)：(1)0.027＋－；(2)÷.解：(1)0.027＋－＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a.条件求值问题[例3]　(链接教科书第80页习题B组3题)已知a＋a＝，求下列各式的值；(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[解]　(1)将a＋a＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.[母题探究](变设问)在本例条件下，则a2－a－2＝________．解析：令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.答案：±3解决条件求值问题的一般方法对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下：(1)a±2ab＋b＝；(2)a－b＝；(3)a＋b＝；(4)a－b＝.(其中a>0，b>0)．　　　　 [跟踪训练]　已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求的值．解：∵x＋y＝12，xy＝9，∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.∵x<y，∴x－y＝－6.∴＝＝＝＝－.1．(多选)下列运算结果中，一定正确的是(　　)A．a3·a4＝a7  B．(－a2)3＝a6C.＝a  D.＝－π解析：选AD　a3a4＝a3＋4＝a7，故A正确；当a＝1时，(－12)3＝－1，显然不成立，故B不正确；＝|a|，故C不正确； ＝－π，故D正确．故选A、D.2．计算：(－27)×9＝(　　)A．－3  B．－C．3  D.解析：选D　(－27)×9＝[(－3)3]×(32) ＝(－3)2×3－3＝9×＝，故选D.3．若a2x＝－1，则等于(　　)A．2－1  B．2－2C．2＋1  D.＋1解析：选C　＝＝a2x＋a－2x＋1＝－1＋＋1＝2＋1.4．若10x＝3，10y＝，则102x－y＝________．解析：102x－y＝＝＝＝3－1＝.答案：5．已知＋b＝1，则＝________．解析：由＋b＝1，得＝32a×31×3＝3＝3.答案：3