数学必修 第一册第四章 对数运算和对数函数1 对数的概念导学案

这是一份数学必修 第一册第四章 对数运算和对数函数1 对数的概念导学案，共6页。


某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……
[问题] (1)依次类推，那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？
(2)分裂多少次得到细胞个数为8个，256个呢？
(3)如果已知细胞分裂后的个数N，如何求分裂次数呢？


知识点 对数的概念
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以eq \a\vs4\al(a)为底eq \a\vs4\al(N)的对数，记作lgaN＝b，其中eq \a\vs4\al(a)叫作对数的底数，eq \a\vs4\al(N)叫作真数．
2．常用对数与自然对数
3．对数的基本性质
(1)负数和0没有对数；
(2)lga1＝eq \a\vs4\al(0)(a>0，且a≠1)；
(3)lgaa＝eq \a\vs4\al(1)(a>0，且a≠1)；
(4)algaN＝eq \a\vs4\al(N)．
eq \a\vs4\al()
对数与指数的关系
指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；
(2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
1．式子lgmN中，底数m的范围是什么？
提示：m>0且m≠1.
2．对数式lgaN是不是lga与N的乘积？
提示：不是，lgaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．
3．对数概念中为什么规定a>0，且a≠1呢？
提示：(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝lg(－2)8不存在．
(2)若a＝0，则
①当N≠0时，x的值不存在．如：lg03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；
②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即lg00有无数个值．
(3)若a＝1，则
①当N≠1时，x的值不存在．如：lg13不存在；
②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即lg11有无数个值．
因此规定a>0，且a≠1.
1．若lgaeq \f(1,4)＝－eq \f(2,3)，则a＝( )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：选B 因为lgaeq \f(1,4)＝－eq \f(2,3)，所以aeq \s\up6(－eq \f(2,3))＝eq \f(1,4)，
所以a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up6(－eq \f(3,2))＝(2－2) eq \s\up6(－eq \f(3,2))＝23＝8.
2．对数式lg(x－1)(4－x)＝b中，实数x的取值范围是__________________．
解析：由对数的定义可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－x>0，,x－1>0，,x－1≠1，))∴1答案：(1，2)∪(2，4)
3．lg3eq \f(2x－1,5)＝0，则x＝________．
答案：3
4．ln(lg 10)＝________．
答案：0
[例1] (链接教科书第97页例1、例2)(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16，2－5＝eq \f(1,32).
(2)将下列对数式改写成指数式：lg5125＝3，lgeq \s\d9(\f(1,2))16＝－4.
[解] (1)lg216＝4，lg2eq \f(1,32)＝－5.
(2)53＝125，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－4)＝16.
eq \a\vs4\al()
指数式与对数式互化的方法
(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式；
(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．
[跟踪训练]
下列指数式与对数式的互化不正确的一组是( )
A．100＝1与lg 1＝0
B．27eq \s\up6(－eq \f(1,3))＝eq \f(1,3)与lg27eq \f(1,3)＝－3
C．lg39＝2与32＝9
D．lg55＝1与51＝5
解析：选B 100＝1即lg 1＝0，A正确；27eq \s\up6(－eq \f(1,3))＝eq \f(1,3)即lg27eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3)，B不正确；lg39＝2即32＝9，C正确；lg55＝1即51＝5，D正确．故选B.
[例2] (链接教科书第97页例3)利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值：
(1)lg2x＝－eq \f(1,2)；(2)lgx25＝2；
(3)lg5x2＝2；(4)2eq \a\vs4\al(lg3x)＝4.
[解] (1)由lg2x＝－eq \f(1,2)，得2eq \s\up6(－eq \f(1,2))＝x，∴x＝eq \f(\r(2),2).
(2)由lgx25＝2，得x2＝25.
∵x>0，且x≠1，∴x＝5.
(3)由lg5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.
∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，
∴x＝5或x＝－5.
(4)由2eq \s\up6(eq \a\vs4\al(lg3x))＝4＝22，得lg3x＝2，
∴x＝32，即x＝9.
eq \a\vs4\al()
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
(1)已知底数与指数，用指数式求幂；
(2)已知指数与幂，用指数式求底数；
(3)已知底数与幂，利用对数式表示指数．
[跟踪训练]
1．若lgx4＝2，则x的值为( )
A．±2 B．2
C．－2 D.eq \r(2)
解析：选B ∵lgx4＝2，∴x2＝4，又x>0，∴x＝2.故选B.
2．若lg5x＝2，lgy8＝3，则x＋y＝________．
解析：∵lg5x＝2，∴x＝52＝25.
∵lgy8＝3，∴y3＝8，∴y＝2，
∴x＋y＝27.
答案：27
[例3] (链接教科书第98页B组1题)求下列各式中x的值：
(1)lg2(lg5x)＝0；
(2)lg3(lg x)＝1；
(3)lg3(lg4(lg5x))＝0.
[解] (1)∵lg2(lg5x)＝0，
∴lg5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵lg3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，
∴x＝103＝1 000.
(3)由lg3(lg4(lg5x))＝0可得lg4(lg5x)＝1，故lg5x＝4，∴x＝54＝625.
[母题探究]
1．(变条件)本例(3)中若将“lg3(lg4(lg5x))＝0”改为“lg3(lg4(lg5x))＝1”，又如何求解x呢？
解：由lg3(lg4(lg5x))＝1可得，lg4(lg5x)＝3，则lg5x＝43＝64，所以x＝564.
2．(变条件)本例(3)中若将“lg3(lg4(lg5x))＝0”改为“3eq \s\up6(lg3(lg4(lg5x)))＝1”，又如何求解x呢？
解：由3eq \s\up6(lg3(lg4(lg5x)))＝1可得lg4(lg5x)＝1，故lg5x＝4，所以x＝54＝625.
eq \a\vs4\al()
利用对数性质求解的2类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求lga(lgbc)的值，先求lgbc的值，再求lga(lgbc)的值；
(2)已知多重对数式的值求变量值，应从外到内求，逐步脱去“lg”后再求解．
[跟踪训练]
已知lg3(lg5a)＝lg4(lg5b)＝0，则eq \f(a,b)的值为( )
A．1 B．－1
C．5 D.eq \f(1,5)
解析：选A 由lg3(lg5a)＝0得lg5a＝1，即a＝5，同理b＝5，故eq \f(a,b)＝1.
1．若7x＝8，则x＝( )
A.eq \f(8,7) B．lg87
C．lg78 D．lg7x
解析：选C 由7x＝8⇔x＝lg78.故选C.
2．若lgaeq \r(7,b)＝c(a>0，且a≠1，b>0)，则有( )
A．b＝a7c B．b7＝ac
C．b＝7ac D．b＝c7a
解析：选A ∵lgaeq \r(7,b)＝c，∴ac＝eq \r(7,b).∴(ac)7＝(eq \r(7,b))7.
∴a7c＝b.
3．若lg3(lg2x)＝1，则xeq \s\up6(－eq \f(1,2))＝( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(1,2\r(3))
C.eq \f(1,2\r(2)) D.eq \f(1,3\r(3))
解析：选C ∵lg3(lg2x)＝1，∴lg2x＝3，
∴x＝23＝8，则xeq \s\up6(－eq \f(1,2))＝eq \f(1,\r(8))＝eq \f(1,2\r(2)) .
4．在对数式b＝lg(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<2 B．2C．2解析：选C 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－2>0，,a－2≠1，,5－a>0，))解得25．已知6a＝8，则(1)lg68＝________；(2)lg62＝________；(3)lg26＝________．(用a表示各式)
解析：(1)lg68＝a.(2)由6a＝8得6a＝23，即6eq \s\up6(\f(a,3))＝2，所以lg62＝eq \f(a,3).(3)由6eq \s\up6(\f(a,3))＝2得2eq \s\up6(\f(3,a))＝6，所以lg26＝eq \f(3,a).
答案：(1)a (2)eq \f(a,3) (3)eq \f(3,a)
新课程标准解读
核心素养
理解对数的概念，理解常用对数与自然对数
数学抽象
指数式与对数式的互化
利用指数式与对数式的互化求值
对数的性质