2019届浙江省杭州高三二模数学试卷及答案

这是一份2019届浙江省杭州高三二模数学试卷及答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。
2019届浙江省杭州高三二模数学试卷及答案一、单选题1．设集合，则A． B． C． D．2．已知复数（是虚数单位），则A． B． C． D．3．在的展开式中，常数项是（       ）A． B． C．20 D．1604．设，则“”是“”成立的A．充要不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充要也不必要条件5．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于 A．3 B．5 C．6 D．126．函数（其中e为自然对数的底数）的图象可能是A． B．C． D．7．已知，随机变量，的分布列如表所示.123 123Pcba 命题：，命题：，则A．p真q真 B．p真q假 C．p假q真 D．p假q假8．设函数，则函数A．是偶函数也是周期函数 B．是偶函数但不是周期函数C．不是偶函数是周期函数 D．既不是偶函数也不是周期函数9．已知数列满足，则A． B．C． D．10．已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆经过原点.若椭圆的离心率不大于，则的取值范围为（          ）A． B． C． D．二、填空题11．已知集合，，分别从，中各取2个不同的数，能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是________（用数字作答）.12．已知向量，平面向量满足，则的最小值等于________.13．如图，已知矩形ABCD，，，AF⊥平面ABC，且.E为线段DC上一点，沿直线AE将△ADE翻折成，M为的中点，则三棱锥体积的最小值是________.三、解答题14．已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的值域.15．如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长度.16．设等差数列前n项和为，等比数列前n项和为.若，，.（1）求和；（2）求数列的最小项.17．如图，已知为抛物线上一点，斜率分别为，的直线PA，PB分别交抛物线于点A，B（不与点P重合）.（1）证明：直线AB的斜率为定值；（2）若△ABP的内切圆半径为.（i）求△ABP的周长（用k表示）；（ii）求直线AB的方程.18．已知函数. （1）求函数的单调递增区间；（2）若方程有非负实数解，求的最小值.四、双空题19．双曲线的焦距为__________；渐近线方程为__________．20．设函数，若，则实数________；________.21．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则________；当，时，则________.22．设实数，满足不等式组，则的最小值是________；设，则的最小值等于________.
参考答案：1．B【解析】首先求解集合，然后求.【详解】，解得，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.2．A【解析】根据完全平方和除法计算公式计算结果.【详解】原式.故选：A【点睛】本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型.3．A【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项.【详解】解：展开式的通项公式为，令，可得，故展开式的常数项为，故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理.本题的关键是写出展开式的通项公式.4．C【解析】【详解】试题分析：当时，，当一正一负时，，当时，，所以，故选C．考点：充分必要条件．5．B【解析】首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积.【详解】由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，并且三棱锥的体积，中间棱柱的体积 ,所以该刍甍的体积是.故选：B【点睛】本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.6．A【解析】首先判断函数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案.【详解】由函数可知函数有两个零点，和，当时，，且时， ，故排除B,C,D.满足条件的是A.故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，重点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.7．C【解析】首先分别求和，然后比较，利用公式，利用公式，计算的值.【详解】 ， ，，所以命题是假命题，，，所以 ，， ， ， ，所以，即,所以命题是真命题.综上可知假真.故选：C【点睛】本题考查离散型分布列的期望方差，属于重点题型，本题使用的关键公式是，比较大小的关键是利用.8．A【解析】首先去绝对值，得到分段函数，判断函数的奇偶性，然后根据的值域，求函数，判断函数的周期性.【详解】当时，，所以 ，当时，，所以 ，所以 ，函数满足 ，所以函数是偶函数，那么，所以函数是偶函数，时，，所以，，所以函数的值域是，所以，所以是常函数，所以是周期函数，综上可知，函数是偶函数，也是周期函数.故选：A【点睛】本题考查含绝对值函数，判断函数的奇偶性和周期，重点考查函数解析式和性质的灵活运用，属于中档题型，本题的关键是求函数.9．C【解析】【分析】由可知，再根据这个不等关系判断选项正误．【详解】由题得，则有，，故选C．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题．10．D【解析】【分析】由题意可得a>1，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，直径所对的圆周角为直角，化为，化简整理，结合离心率公式和不等式的解法，可得a的范围．【详解】椭圆：，直线与椭圆交于，两点，可得a>1，由联立椭圆方程可得，设,可得，线段MN为直径的圆经过原点，可得OM⊥ON，即有，可得，化为，则，化为，由,可得，即,可得，即有,解得，可得，故选：D.【点睛】本题主要考查直线与椭圆位置关系问题，根据题目条件列出不等式，重点在于联立方程利用韦达定理代入，化简不等关系可解，属于综合题.11．32【解析】【分析】首先先从两个集合分别选出两个元素，这四个数加起来能被3整除，然后再排列4为偶数，得到最后结果.【详解】首先先从两个集合中选取元素，分别选取1,3,0,2，1,5,2,4，3,5,0,4共3种组合情况，当四个数是1,3,0,2时，能组成的偶数：个位是0时，共有种，个位是2时，有种，有种，当四个数是1,5,2,4时，能组成的偶数有种，当四个数是3,5,0,4时，能组成的偶数：个位是0时，共有种，个位是4时，有种，有种，综上可知能组成不同的能被3整除的四位偶数的个数是10+12+10=32种.故答案为：32【点睛】本题考查分步计数和分类计数原理，以及排列，重点考查分析，抽象转化的应用能力，属于中档题型，本题的关键是正确选出4个数字.12．20【解析】【分析】由已知条件变形可得，再利用数量积的公式，将变形为关于的二次函数求最小值.【详解】 即，即， ，当时，可得的最小值是20.故答案为：20【点睛】本题考查向量数量积的应用，二次函数求最值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.13．【解析】【分析】首先分析出，即求棱锥体积的最小值即求点到平面的距离的最小值，转化为求点到平面距离的最小值，由条件确定点的运动轨迹为以为球心，半径为1的球面的一部分，然后根据图象分析点到平面距离的最小值.【详解】因为平面，所以,又因为，，所以平面，所以 ，所以，所以求棱锥体积的最小值即求点到平面的距离的最小值，因为点是的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的一半，因为,随着点在线段上移动，点的运动轨迹为以为球心，半径为1的球面的一部分，因为平面，所以平面平面，并且交于，所以如图，过点作，即平面，当为与球面的交点时，到平面的距离最小，此时点在线段上，根据，可得,此时，即到平面的距离的最小值是，那么点到平面距离的最小值是，所以三棱锥体积的最小值是.故答案为：【点睛】本题考查三棱锥体积的最小值，考查空间点的轨迹问题，意在考查空间想象能力，和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.14．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再求函数的单调递增区间；（2）先求的范围，再求函数的范围，最后求函数的值域.【详解】（1）因为， 令，解得 所以函数的单调增区间为. （2）因为，所以，所以，所以的值域为.【点睛】本题考查三角函数恒等变换和函数性质的综合应用，重点考查基本变形，基本方法，属于基础题型.15．（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明，又平面平面，即得平面；（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题得，解方程即得解.【详解】（1）证明：∵，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，由题知，平面，∴为平面的一个法向量，设，则，∴，设平面的一个法向量为，则，∴，令，可得，∴，得或（舍去），∴.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由等比数列的性质，变形条件为，列方程求等比数列的首项和公比，再由，，求等差数列的首项和公差；（2）由（1）可知，判断数列的单调性，再求最小项.【详解】（1）因为，所以，解得.所以.又因为，，所以，，因此. （2）设.又因为，所以当时，，当时，，所以数列的最小项为.【点睛】本题考查数列的基本量的求解和等比数列的性质，以及数列的单调性，最值的综合应用，意在考查转化与变形，计算能力，属于中档题型，本题第一问巧妙的运用了等比数列的性质，这样问题迎刃而解.17．（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）首先设直线PA的方程为，与抛物线联立，求得点的坐标，将，求得点的坐标，再求直线的斜率；（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形的三边长，（ⅱ）首先求点到直线的距离，再利用等面积公式转化方程求，最后求直线的方程.【详解】（1）设直线PA的方程为，与抛物线联立，得，易知，，所以直线AB的斜率（定值）. （2）由（1）得直线AB的方程为，所以点P到直线AB的距离.，，.（ⅰ）求的周长； （ⅱ）设的内切圆半径为r，则，，即，解得.所以直线AB的方程为.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，坐标法解决几何问题的思想，属于中档题型，本题的关键是利用方程联立求出点的坐标.18．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，直接求函数的单调递增区间；（2）设，求函数的导数，当时，判断函数在上单调性，当有非负实数解时，求的最小值，当，转化为存在使，即，且在上单调递减，在上单调递增转化为，通过构造函数，求函数的最小值.【详解】（1）因为，所以函数的单调递增区间为. （2）设，则.①当时，因为，所以在单调递增，所以，得，故.②当时，存在使，即，且在上单调递减，在上单调递增.所以，解得，因此.设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，.所以当，时，取到最小值，此时方程有零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点，属于综合性强的题型，本题的难点是第二问时的讨论，通过转化，变形构造函数，转化为求函数的最小值.19．          【解析】【详解】由双曲线可知，故,焦距,渐近线:,故答案为(1) ， (2) .20．          【解析】【分析】代入分段函数求的值，然后再求和的值.【详解】，得 所以 ，那么，所以.故答案为：；【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.21．          或【解析】【分析】首先根据二倍角公式计算求值，再根据正弦定理得到，最后利用余弦定理，求.【详解】，所以 ，；所以,由正弦定理可知，,当时，整理为 ，即 ，所以，当，整理为，即，所以，所以或.故答案为：；或【点睛】本题考查二倍角公式，正余弦定理，解三角形，重点考查公式的灵活运用，属于基础题型.22．     5     【解析】【分析】首先画出可行域，并且做出初始目标函数，根据的几何意义确定的最小值，再根据的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方，由图象确定最小值.【详解】首先如图作出可行域，令，设时，作出初始目标函数 与边界平行，平移初始目标函数，当与重合时，取得最小值，所以；表示可行域内的点与原点连线距离的平方，由图象可知，可行域内的点到原点的最小距离就是原点到直线的距离，即，那么的最小值是.故答案为：；【点睛】本题考查线性规划和非线性规划，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.