期末测试02 -2021-2022学年高一数学下学期期末复习全通关（人教A版2019必修第二册）

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2020—2021学年高一数学下学期期末测试02                         满分： 100分            时间：  60分钟           第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本题共12小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共计60分。1．如图，半径为1的扇形AOB中，， P是弧AB上的一点，且满足， M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为（   ）A． B． C．1 D．【答案】C【详解】由题意可知， 以O为原点，OP所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系则 ，设 所以 则 所以当m=n=0时所以选C2．若是垂心，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】在中，，由，得，连接并延长交于，因为是的垂心，所以，，所以同乘以得，因为，所以由正弦定理可得又，所以有，而，所以，所以得到，而，所以得到，故选：D.3．如图，在正方体中,平面垂直于对角线,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为,周长为,则A．为定值,不为定值 B．不为定值,为定值C．与均为定值 D．与均不为定值【答案】B【详解】设平面截得正方体的六个表面得到截面六边形为，与正方体的棱的交点分别为（如下图），将正方体切去两个正三棱锥和，得到一个几何体，是以平行平面和为上下底，每个侧面都是直角等腰三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，设正方体棱长为，，则，，故，同理可证明，故六边形的周长为，即周长为定值；当都在对应棱的中点时，是正六边形，计算可得面积，三角形的面积为，当无限趋近于时，的面积无限趋近于，故的面积一定会发生变化，不为定值．故答案为B.4．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（　　）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】对①，在图②中，连接交于点，取中点，连接MO，易证AOMF为平行四边形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正确；对②，如果B、C、E、F四点共面，则由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；对③，在梯形ADEF中，由平面几何知识易得EFFD，又EFCF，∴EF平面CDF，即有CDEF，∴CD平面ADEF，则平面ADEF平面ABCD，故③正确；对④，在图②中，延长AF至G，使得AF=FG，连接BG，EG，易得平面BCE平面ABF，BCEG四点共面．过F作FNBG于N，则FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．故选：C．5．如图，在三棱锥中，平面，，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】设，，由三棱锥外接球的表面积为，得外接球的半径.又平面，，所以，所以，所以.因为平面，，所以，，过D作，垂足为E，则平面，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即，时，“=”成立，所以三棱锥体积的最大值为.故选：A.6．已知直三棱柱的顶点都在球的球面上，，，若球的表面积为，则这个直三棱柱的体积是A．16 B．15 C． D．【答案】A【详解】由题， ，因为，，易知三角形ABC为等腰直角三角形，故三棱柱的高 故体积 故选A7．进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（    ）116  785  812  730  134  452  125  689  024  169334  217  109  361  908  284  044  147  318  027A． B． C． D．【答案】B【详解】观察20个随机数，其中有116，812，730，217，109，361，284，147，318，027共10个表示3天中恰有2天发布高温橙色预警信号，因此所求概率为．故选：B．8．    坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是(　　)A．互斥的事件 B．相互独立的事件C．对立的事件 D．不相互独立的事件【答案】D【详解】第一次取得白球，第二次取得白球，可同时发生，所以A1和A2不是互斥事件、不是对立事件，第一次取得白球时第二次取得白球的概率为与第一次不取白球时第二次取得白球的概率为不同，所以A1和A2不是独立事件，选D.9．如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】7天假期的楼房认购量为：91、100、105、107、112、223、276；成交量为：8、13、16、26、32、38、166．对于①，日成交量的中位数是26，故错；对于②，日平均成交量为：，有1天日成交量超过日平均成交量，故错；对于③，根据图形可得认购量与日期不是正相关，故错；对于④，10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅，正确．故选B10．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A．400，40 B．200，10 C．400，80 D．200，20【答案】A【详解】用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，样本容量为：，抽取的高中生近视人数为：，故选A.11．胡夫金字塔是底面为正方形的棱锥，四个侧面都是相同的等腰三角形，研究发现，在实际生活中，可将该金字塔底面周长除以2倍的塔高得到的数值当作圆周率使用．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】设胡夫金字塔的底面边长为,由题可得,所以该金字塔的侧棱长为所以需要灯带的总长度约为故选: D12．如图，半径为1的扇形的圆心角为，点C在弧上，且，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】如图所示，以O为原点，OB为x轴，建立直角坐标系，，，即，，，即，又，，，解得，，故选：B第Ⅱ卷（非选择题 共40分）二、填空题：本题共计4小题，共计16分。13．已知是边长为的正三角形，平面上两动点、满足（且、、）．若，则的最大值为__________．【答案】【详解】，，即，因为且、、，则、，所以，，所以，点在的边界及其内部，因为，则点在如下图所示的封闭区域内，该区域由、、三条线段以及三段分别以、、为圆心，半径为且圆心角为的圆弧围成的区域，其中四边形、、均为矩形，且，取的中点，则，，，所以，，连接并延长交于点，此时，因此，.故答案为：.14．在棱长为的正方体中，棱，的中点分别为，，点在平面内，作平面，垂足为．当点在内（包含边界）运动时，点的轨迹所组成的图形的面积等于_____________．【答案】【详解】由正方体性质可知平面平面，且平面，故点的轨迹所组成的图形与平面在平面正投影图形全等，又为正三棱锥，故正投影如图即再平面的正投影为，且，，，，，点的轨迹所组成的图形的面积为，故答案为：.15．已知样本：、、、、，该样本的平均数为7，样本的方差为4，且样本的数据互不相同，则样本数据中的最大值是__________.【答案】10【详解】：由题意，、、、、 ，该样本的平均数为7，则．样本的方差为4，则.如图，表示1,2,3,4,5个点分别位于7的上下两侧，那么，所以，设，那么，必然存在样本数据相等，不满足题意．设，那么，不妨设，，，，且满足．所以在最大值为10时存在5个数都为整数满足题意． 16．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：488  932  812  458  989  431  257  390  024  556734  113  537  569  683  907  966  191  925  271据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________.【答案】0.3【详解】由题意知模拟三天的下雨情况，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：932、812、024、734、191、271，共6组随机数，所求概率为．故答案为：0.3三、解答题：本题共计4小题，共计24分。17．在中,已知，M是BC的中点.(1)若,求向量与向量的夹角的余弦值；(2)若O是线段AM上任意一点,且，求的最小值；(3)若点P是边BC上的一点,且，求的最小值.【答案】（1）;（2）;（3）.【详解】（1）设向量与向量的夹角为,由，(),=,同理,向量与向量的夹角的余弦值.（2），设,则,而,===当时,的最小值是;（3）设,则=当且仅当时,等号成立,的最小值为.18．从一批柚子中随机抽取100个，获得其质量（单位：）数据，按照区间，，，进行分组，得到频率分布直方图，如图所示.（1）根据频率分布直方图计算抽取的这100个柚子质量的众数的估计值；（2）用分层随机抽样的方法从质量在和内的柚子中共抽取5个，求抽取的柚子中质量在内的柚子数；（3）从（2）中抽出的5个柚子中任取2个，求最多有1个柚子的质量在内的概率.【答案】（1）  （2）3  （3）【详解】(1)众数的估计值为最高矩形的中点,即众数的估计值为;(2)由频率分布直方图可知,质量在内的柚子数为,质量在内的柚子树为,从质量在和内的柚子中共抽取5个,其中质量在内的柚子树为;(3)由(2)知抽出的5个柚子中,质量在内的柚子数为3,设为,质量在内的柚子数为2,设为,则从这5个柚子中任取2个的样本空间如下:,共10个样本点,其中最多有1个柚子的质量在内的样本点有,共7个,所以最多有1个柚子的质量在内的概率.19．（1）计算：（i为虚数单位）；（2）已知是一个复数，求解关于的方程，（i为虚数单位）.【答案】（1）8；（2）或【详解】（1）；（2）设，，即，，所以，解得或，所以或.故答案为：或20．如图，在梯形中，，．
 （1）若，，，试用、表示；（2）若，是梯形所在平面内一点，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）如下图所示，过点作交于点，设，
 ，且，所以，四边形是边长为的菱形，所以，且，，即，整理可得，，解得，所以，，因此，；（2）取的中点，连接，，为的中点，则，所以，且，又因为，则四边形为菱形，则，所以，为等边三角形，取的中点，连接，以点为原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则、、，设点，，，，则，所以，，所以，当且时，最小值.