辽宁省六校2021-2022学年高二下学期期初考试数学试卷

这是一份辽宁省六校2021-2022学年高二下学期期初考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
考试时间：120分钟 满分150分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为（ ）
A．54 B．5 C．5×4×3×2 D．45
过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（ ）
4．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
C． D．或
5．已知，，，若向量共面，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开
式中常数项为（ ）
A．90B．-90C．180D．-180
7．已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线：和圆：，则（ ）
A．直线恒过定点
B．若，则直线被圆截得的弦长为
C．存在使得直线与直线：垂直
D．直线与圆相交
10．对任意实数，有.则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是（ ）
A．直线与直线所成的角为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．平面
D．点到平面的距离为
12．已知椭圆的左､右焦点分别为，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为B．面积的最大值为
C．的取值范围为D．的取值范围为
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________.
14．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，且每人左右两边都有空位的坐法种数为___________.
15．已知半径为2的球有一内接正四面体，________.
16．点P为抛物线y2＝x上的动点，过点P作圆M：(x－3) 2＋y2＝1的一条切线，切点为A，则·的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）已知圆C的圆心在x轴上，并且过，两点.
（1）求圆C的方程；
（2）若P为圆C上任意一点，定点，点Q满足，求点Q的轨迹方程.
18．（本小题满分12分）如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，.
（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦；
（2）求点A到平面PCD的距离.
19．（本小题满分12分）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，为直角三角形，过点的直线l与椭圆交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若的中点的横坐标为，求．
20．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为45°的直线与抛物线交于两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设为抛物线上不同的三点，且，若点的横坐标为8，证明：直线过定点.
21.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的正切值．
22.（本小题满分12分）已知椭圆C：，F为左焦点，上顶点P到F的距离为2，且离心率为﹒
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设斜率为k的动直线l与椭圆C交于M，N两点，且，求k的取值范围﹒
数学考试答案
单项选择题：
1．D 2．B 3．C 4．A 5．A 6．C 7．B 8. B
二、多项选择题：
9．CD 10．BCD 11．ABC 12．BCD
三、填空题：
13．5 14．120 15．-4 16．
四、解答题：
17．（1）；（2）.
解：（1）由题可知，的中点为，，
所以的中垂线方程为，它与x轴的交点为圆心，
又半径，
所以圆C的方程为分
（2）设点，，由得
∴，∴，又点P在圆C上，故
所以，化简得点Q的轨迹方程为分
18．（1）（2）
（1）因为平面ABCD，平面ABCD
所以，，，因为，故以A为坐标原点，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为过点C作CE⊥AD于点E，则CE=AB=2，AE=BC=1，因为，所以DE=CE=2，故，，，，，，设异面直线PC与AD所成角为，所以，异面直线PC与AD所成角的余弦值为分（几何法相应给分）
（2），，设平面PCD的法向量为，则，即，令，解得：，，故，设点A到平面PCD的距离为，则分
19．（1）；（2）.
（1）因为为直角三角形，所以，从而．
当直线l垂直于x轴时，，所以椭圆经过点，
所以．
所以，
故椭圆C的标准方程为；分
（2）设直线l的方程为，
联立方程组得，
则．
因为，所以．
因为，
所以．分
20．（1）；（2）证明见解析.
（1）解：由题意知，直线的直线方程为，
由，得，
设，则，
∴，∴，
∴抛物线的方程为分
（2）解：由(1)可得点，设，
则，同理可得，
∵，
∴，即，
即①，(也可由得到)
由题意得直线的斜率一定存在，设直线方程为，
联立，得，
则，得，，
带入①式得，即，符合，
所以直线方程为，
所以直线过定点(－8，16)．分
21．(1)证明见解析;(2)
(1)证明：取的中点，连接，，
，是的中点．
，
，，
因为在底面的射影为的中点，
所以面，
又面面，所以面，
又面，所以，
因为，
所以平面；分
(2)解：如图，以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系，
则，
则，，
，，
设平面的法向量为，
则，得，
取，得，
因为面，
所以即为平面的一个法向量，
则，
所以二面角的平面角的余弦值为，正弦值为，
故二面角的平面角的正切值．分
22．（1）；（2）﹒
解：（1）由上顶点P到F的距离为2，可得，
又，故，从而﹒
∴椭圆C的标准方程为﹒分
（2）当时，由椭圆的对称性，显然成立﹒
当时，设直线l为，
联立，得，
则，即(*)，
设，，则，
，
故线段MN的中点为，
从而直线PQ的斜率为，
由，得，即，即，
故﹒
由(*)式，即，可得，
即，故，解得，且﹒
综上所述，k的取值范围为﹒分