2022届河南省安阳高三二模数学试卷及答案

2022届河南省安阳高三二模数学试卷及答案

一、单选题

1．设集合，则集合A的子集个数为（       ）

A．16 B．32 C．15 D．31

2．（       ）

A． B． C． D．

3．已知等比数列的前n项和为，若，，则其公比q为（       ）

A． B． C． D．2

4．如图所示的网格中小正方形的边长均为，粗线画出的是某三棱锥的正视图和俯视图，若该三棱锥的侧视图面积为，则该三棱锥的体积为（       ）

A． B． C． D．

5．已知函数在区间上单调递减，且其图象过点，则的值可能为（       ）

A． B． C． D．

6．设数列满足，且，则（       ）

A． B． C． D．

7．区块链作为一种新型的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B，则密码一共有种可能，为了破解该密码，最坏的情况需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间大约为（       ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

8．已知动圆截直线所得弦长为定值，则（       ）

A． B． C． D．

9．已知矩形ABCD中，，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将△ADM沿DM翻转，直到与△NDM首次重合，则此过程中，点A的运动轨迹长度为（       ）

A． B． C． D．

10．已知双曲线的左右顶点分别为M，N，点P为C上异于M，N的一点，若直线PM，PN的斜率之积为，且C的焦距为，则双曲线C的实轴长为（       ）

A． B． C． D．

11．已知函数，若，恒成立，则实数m的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

12．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线和之间的距离为，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

13．为了解某地高三学生假期在家自主学习的时间，研究人员随机抽取了100名学生作调查，所得数据统计如图所示，则这组数据的中位数估计为______．

14．已知的外心为，若，且，则___________.

15．某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5000元减1000元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为___________元.

16．已知函数有3个零点，则实数m的取值范围为______．

三、解答题

17．“双减”政策实施后，小学生的周末体育锻炼时间得到增加，为了解低年级（一、二、三年级）和高年级（四、五、六年级）学生的周末体育锻炼时间是否有差异，研究人员随机调查了100名小学生，所得数据统计如下表所示．已知从这100人中随机抽取1人，抽到周末体育锻炼时间超过120min的学生的概率为．

(1)求m，n的值；

(2)是否有99.9%的把握认为低年级和高年级学生的周末体育锻炼时何有差异？

附表及公式：

，．

18．如图所示，已知△ABC为等边三角形，点M，N分别是线段AB，AC上靠近A的三等分点．现沿MN进行翻折，使得点A到达的位置，点R在线段上，．

(1)求证：平面；

(2)若△ABC的边长为6，，求四棱锥的体积．

19．如图，已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．

(1)求角C：

(2)若，，延长CB至M，使得，求BM．

20．已知椭圆的右焦点为F，点A，B，P在椭圆C上．

(1)若线段AB的中点为，求直线AB的方程；

(2)若F恰好是△ABP的重心，且，，依次成等差数列，求点P的坐标．

21．已知函数，其中、、．

(1)若，讨论函数的单调性；

(2)若函数存在极小值，分析判断与的大小关系．

22．已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点A的极坐标为.

(1)求C的普通方程以及l的直角坐标方程；

(2)若l与C交于M，N两点，求的值.

23．已知函数的最小值为m.

(1)求m的值；

(2)若正数a，b，c满足，求的最大值.

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

先化简集合A，再利用集合的子集概念.

【详解】

因为集合，

所以集合A的子集个数为，

故选：B

2．C

【解析】

【分析】

直接利用复数的除法运算和模的公式化简求值.

【详解】

解：原式=.

故选：C

3．A

【解析】

【分析】

依题意可得，再根据计算可得；

【详解】

解：因为，，即，所以，所以；

故选：A

4．B

【解析】

【分析】

作出三棱锥的直观图，求出三棱锥的底面积和高，利用锥体的体积公式可求得结果.

【详解】

作出三棱锥的直观图如下图所示，

由图可知，三棱锥的底面积为，

设三棱锥的高为，则该三棱锥的侧面积为，可得，

因此，.

故选：B.

5．D

【解析】

【分析】

根据题意，利用三角函数的图象与性质，列出不等式，求得的范围，结合选项，即可求解.

【详解】

由，可得，

因为函数在区间上单调递减，

可得且，解得，

又由函数的图象过点，可得，即，

解得或，

当时，可得，所以的值可能为.

故选：D.

6．C

【解析】

【分析】

根据，，分别求出，，的值即可.

【详解】

∵，,

∴，解得，

∴，解得，

∴，解得，

故选：.

7．D

【解析】

【分析】

根据题意所求时间为，利用对数的运算进行求解即可.

【详解】

设在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需时间为秒，则有；

两边取常用对数，得；

；

所以.

故选：D.

8．D

【解析】

【分析】

根据题意，由圆心到直线的距离为定值求解.

【详解】

因为动圆截直线所得弦长为定值，且半径为4，

所以圆心到直线的距离为定值，

即为定值（与a无关），

所以，

故选：D

9．B

【解析】

【分析】

如图，连接,相交于点,求出点A的运动轨迹即得解.

【详解】

解：如图，连接,相交于点,

由题得四边形是边长为3的正方形，,

现将△ADM沿DM翻转，直到与△NDM首次重合，

则此过程中，点A的运动轨迹是以点为圆心，以为半径的半圆，

所以点A的运动轨迹长度为.

故选：B

10．A

【解析】

【分析】

设双曲线的左右顶点的坐标分别为，，，利用直线PM，PN的斜率之积为和点P在双曲线上可得，然后和联立方程即可求出.

【详解】

设双曲线的左右顶点的坐标分别为，，，

则，

∵点P为双曲线C上异于M，N的一点，∴，即，

∴，

又∵双曲线C的焦距为，∴，

∴，解得，

∴，

∴双曲线C的实轴长为.

故选: .

11．C

【解析】

【分析】

根据函数解析式画出函数图象，即可判断函数为奇函数且在定义域上单调递减，则不等式等价于，即恒成立，再分和两种情况讨论，当时，即可求出参数的取值范围；

【详解】

解：因为，所以函数图象如下所示：

由函数图象可知函数为定义域上单调递减的奇函数，当时，则，当时，则，所以，因为，恒成立，即，恒成立，所以恒成立，即恒成立，当，显然不成立，当时，则，解得，即；

故选：C

12．B

【解析】

【分析】

写出直线AF、BF的方程，求出，，由，解出p.

【详解】

抛物线的焦点.

由,所以直线AF的方程为，即，

联立，得，解得：或，可得：.

同理直线BF的方程为，即，

联立，解得：.

所以，解得：.

故选：B

13．

【解析】

【分析】

求出时间在的频率，再由中位数的性质列出方程得出这组数据的中位数.

【详解】

设这组数据的中位数估计为，时间在的频率分别为，则，解得.

故答案为：

14．60°##

【解析】

【分析】

根据向量的运算，结合条件，可知O为BC的中点，再结合，可得 为等边三角形，由此可求答案.

【详解】

设的边BC的中点为D,

则 ,又，

即O,D两点重合，O为BC的中点，即BC为外接圆直径，

则,又，

故 为等边三角形，故 ,即，

故答案为：60°

15．11710

【解析】

【分析】

由题意分析方案一和方案二的单人票价，可得用方案二先购买34张票，剩余13张用方案一，费用最小，从而可求出其最小值

【详解】

方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元，

方案二：满5000元减1000元，按原价计算，则满5000元至少凑齐17人，

，则单人票价为，

满10000元时，，则需34人，单人票价为241元，

满15000元时，，人数不足，

因为，

所以用方案二先购买34张票，剩余13不满足方案二，但满足方案一，

所以总费用为（元），

故答案为：11710

16．[0,1)##0≤m＜1

【解析】

【分析】

根据m的范围分类讨论f(x)的零点即可.

【详解】

①m＝0时，，令f(x)＝0，则x＝0或x＝－3或x＝1，即f(x)有三个零点，满足题意；

②m≠0时，令f(x)＝0，

则x＞0时，，则(*)，

x≤0时，(**)，

显然x≤0时的方程(**)最多有两个负根，而x＞0时的方程(*)最多只有一正根，

为了满足题意，则x＞0时必有1根，则1－m＞0，且根为x＝，∴m＜1；

x≤0时方程必然有两个负根，则，

∴0＜m＜1；

综上所述，m∈.

故答案为：.

17．(1)，

(2)是

【解析】

【分析】

（1）根据抽到周末体育锻炼时间超过120min的学生的概率为，得到，即可求出，再根据列联表的性质得到；

（2）由（1）完善列联表，计算卡方，与参考值比较，即可判断；

(1)

解：依题意，，解得，故；

(2)

解：由（1）可得列联表如下所示：

所以，

故有99.9%的把握认为低年级和高年级学生的周末体育锻炼时间有差异．

18．(1)证明见解析；

(2).

【解析】

【分析】

（1）连接，证明，原题即得证；

（2）取MN的中点P，BC的中点Q，连接，PQ，BP，证明平面BCNM，即得解.

(1)

解：如图，连接．

由题可知，又因为，故，

又平面，平面，所以平面.

(2)

解：如图，取MN的中点P，BC的中点Q，连接，PQ，BP．

由题意可知是边长为2的等边三角形．所以，且．

易知，，所以．

因为．所以．

因为平面BCNM．

又因为，所以平面BCNM．

所以四棱锥的体积为．

19．(1);

(2).

【解析】

【分析】

（1）将正弦定理代入条件整理得，从而有，根据角的范围可得角大小；

（2）在中，由余弦定理求得，然后在中，由正弦定理求得，进一步计算可得．

(1)

解：（1）因为，

由正弦定理得，

因为，所以，

所以，即，所以，

又因为，所以，所以，所以．

(2)

在中，由余弦定理可得，

解得舍去，

在中，，

由正弦定理可得，

即，

解得，

所以．

20．(1)

(2)或

【解析】

【分析】

（1）判断点在椭圆内部，然后根据点差法求得直线斜率，可得直线方程；

（2）根据三角形重心坐标公式可得，再根据，，依次成等差数列，可得，由此可解得答案.

(1)

由题意，将坐标代入中，满足 ，

故点在椭圆内部，

又线段AB的中点为，可知直线AB的斜率存在，

 设，，

则，，两式相减整理得：，

由已知可得，则，所以AB的斜率为，

直线AB的方程为，即；

(2)

由已知可得，设，

因为F恰好是△ABP的重心，所以，即，

因为，，依次成等差数列，所以．

，

同理，．

所以，可得，

于是，得，

将代入椭圆方程得，

所以点P的坐标为或．

21．(1)答案见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）求得，其中，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）分析可知，，求得，可出，令，，利用导数求出函数的最值，即可得出结论.

(1)

解：依题意，故，．

若，当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增；

若，当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)

解：，．

因为存在极小值，所以，，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

则．

所以．

令，，则，

令，得，当时，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增，

故，

又因为，故，即．

【点睛】

关键点点睛：本题第（2）问在于分析出的符号，在变形得出，需要令，利用构造函数的方法来求出对应函数的最值，根据最值的正负来得出结论.

22．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）先利用正余弦二倍角公式将已知曲线C方程进行化简，然后再利用参数方程与平面直角方程的转化关系进行转化，将直线l的极坐标方程利用余弦和差公式展开，然后利用极坐标与平面直角坐标的转化方式将直线l化为普通方程即可；

（2）先将点A的极坐标为化为平面直角坐标，然后根据直线l的斜率和点A的坐标，写出直线l的标准参数方程，带入曲线C的普通方程，通过韦达定理结合参数“t”的几何意义即可完成求解.

(1)

（为参数），

故C的普通方程为.由l的极坐标方程可得，

即，故l的直角坐标方程为.

(2)

依题意，l的参数方程可写为（t为参数），

将l的参数方程代入中，整理得.

则，设，是方程的两个实数根，则，，

故.

23．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）分类讨论去掉绝对值，化为分段函数，可得m的值；

（2）利用基本不等式进行求解.

(1)

依题意

则当时，函数取得最小值.

(2)

依题意，

因为，，

所以，

当且仅当时取等号，故的最大值为.