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- 9.2.2 总体百分位数的估计-2021-2022学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案(人教A版必修第二册) 学案 1 次下载
- 9.2.3 总体集中趋势的估计-2021-2022学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案(人教A版必修第二册) 学案 1 次下载
- 10.1.1 有限样本空间与随机事件-2021-2022学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案(人教A版必修第二册) 学案 1 次下载
- 10.1.2 事件的关系和运算-2021-2022学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案(人教A版必修第二册) 学案 2 次下载
- 10.1.3 古典概型-2021-2022学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案(人教A版必修第二册) 学案 2 次下载
2021学年9.2 用样本估计总体学案及答案
展开 9.2.4总体离散程度的估计
导学案
编写:廖云波 初审:孙锐 终审:孙锐 廖云波
【学习目标】
1.会用样本的极差、方差与标准差估计总体
2.结合实例,能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)
3.理解离散程度参数的统计含义
【自主学习】
知识点1 方差、标准差的定义
一组数据x1,x2,…,xn,用表示这组数据的平均数,
则这组数据的方差为=(-),
标准差为.
知识点2 总体方差、总体标准差的定义
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则称S2=
为总体方差,S=为总体标准差.
如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=.
知识点3 样本方差、样本标准差的定义
如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,
则称
为样本方差,s=为样本标准差.
知识点4 方差、标准差特征
标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.在刻画数据的分散程度上,方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中,一般多采用标准差.
【合作探究】
探究一 标准差与方差的应用
【例1】甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据为:
甲:99 100 98 100 100 103
乙:99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
【答案】 (1)甲=100,乙=100.s=,s=1.
(2)乙机床加工零件的质量更稳定.
【解析】 (1)甲=(99+100+98+100+100+103)=100,
乙=(99+100+102+99+100+100)=100.
s=[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,
s=[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又s>s,所以乙机床加工零件的质量更稳定.
归纳总结:在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程度,在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动性越大,稳定性越差;方差越小,数据越集中,稳定性越高
【练习1】为了参加某数学竞赛,某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试,成绩(单位:分)记录如下.
理科:79,81,81,79,94,92,85,89
文科:94,80,90,81,73,84,90,80
计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差,并从统计学的角度分析,哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好?
【答案】理科1=85(分),方差s=31.25;文科2=84(分),方差s=41.75.
理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好.
【解析】计算理科同学成绩的平均数1=×(79+79+81+81+85+89+92+94)=85(分),方差s=×[(79-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(81-85)2+(85-85)2+(89-85)2+(92-85)2+(94-85)2]=31.25;
计算文科同学成绩的平均数2=×(73+80+80+81+84+90+90+94)=84(分),方差s=×[(73-84)2+(80-84)2+(80-84)2+(81-84)2+(84-84)2+(90-84)2+(90-84)2+(94-84)2]=41.75.
因为1>2,s
探究二 用样本平均数和样本标准差估计总体
【例2】在对树人中学高一年级学生身高的调查中,采用样本量比例分配的分层随机抽样,如果不知道样本数据,只知道抽取了男生23人,其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出总样本的方差,并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗?
【答案】能,估计为51.4862
【解析】引入记号,把男生样本记为,其平均数记为,方差记为;把女生样本记为,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为,方差记为.
根据方差的定义,总样本方差为,为了与联系,变形为,计算后可得,.这样变形后可计算出.这也就是估计值.
归纳总结:(1)标准差代表数据的离散程度,考虑数据范围时需要加减标准差.
(2)计算样本平均数、样本方差直接利用公式,注意公式的变形和整体代换.
【练习2】在一个文艺比赛中,8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组,给参赛选手打分.在给某选手的打分中,专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7,观众代表打分的平均数和标准差为56.2和11.8,试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差.
【答案】平均数为52.68分,标准差为10.37.
【解析】 把专业人士打分样本记为x1,x2,…,x8,其平均数记为,方差记为s;把观众代表打分样本记为y1,y2,…,y12,其平均数为,方差记为s;把总体数据的平均数记为,方差记为s2.
则总样本平均数为:=×47.4+×56.2=52.68(分),
总样本方差为:s2=(+)
={8[s+(-)2]+12[s+(-)2]}
={8[3.72+(47.4-52.68)2]+12[11.82+(56.2-52.68)2]}=107.6,
总样本标准差s=10.37.
所以计算这名选手得分的平均数为52.68分,标准差为10.37.
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1.下列选项中,能反映一组数据的离散程度的是( )
A.平均数 B.中位数
C.方差 D.众数
【答案】C [由方差的定义,知方差反映了一组数据的离散程度.]
2.对一组样本数据xi(i=1,2,…,n),如将它们改为xi-m(i=1,2,…,n),其中m≠0,则下面结论正确的是( )
A.平均数与方差都不变
B.平均数与方差都变了
C.平均数不变,方差变了
D.平均数变了,方差不变
【答案】D [若x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a≠0)的平均数为a+b,方差为a2s2,标准差为,则正确答案应为D.]
3.样本中共有5个个体,其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1,则样本的标准差为( )
A. B. C.2 D.
【答案】D [∵样本a,0,1,2,3的平均数为1,∴=1,解得a=-1.则样本的方差s2=×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2,故标准差为.故选D.]
4.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位:分)为:x,y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108,方差为35.2,则|x-y|的值为( )
A.15 B.16
C.17 D.18
【答案】D [由题意得,=108,①
=35.2,②
由①②解得或所以|x-y|=18.故选D.]
5.在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如下表:
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
甲
2
乙
30
乙
3
其中甲=乙,则两个班数学成绩的方差为( )
A.3 B.2
C.2.6 D.2.5
【答案】C [由题意可知两个班的数学成绩平均数为=甲=乙,则两个班数学成绩的方差为
s2=×[2+(甲-)2]+×[3+(乙-)2]
=×2+×3=2.6.]
二、填空题
6.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:
甲
乙
丙
丁
平均数
8.5
8.7
8.8
8.0
方差s2
3.5
3.5
2.1
8.7
则参加奥运会的最佳人选应为________.
【答案】丙 [因为丙的平均数最大,方差最小,故应选丙.]
7.五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则a=________,这五个数的标准差是________.
【答案】5 [由=3得a=5;
由s2=[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2得,标准差s=.]
8.为了调查公司员工的健康状况,用分层随机抽样的方法抽取样本,已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg,标准差为60,男员工的平均体重为70 kg,标准差为50,女员工的平均体重为50 kg,标准差为60,若样本中有20名男员工,则女员工的人数为________.
【答案】200 [设男、女员工的权重分别为ω男,ω女,
由题意可知s2=ω男[s+(男-)2]+ω女[s+(女-)2],即
ω男[502+(70-60)2]+(1-ω男)[602+(50-60)2]=602,解得ω男=,ω女=,
因为样本中有20名男员工,所以样本中女员工的人数为200.]
三、解答题
9.甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:t/hm2),试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
甲
9.8
9.9
10.1
10
10.2
乙
9.4
10.3
10.8
9.7
9.8
【答案】 甲品种的样本平均数为×(9.8+9.9+10.1+10+10.2)=10,样本方差为[(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]÷5=0.02.
乙品种的样本平均数为×(9.4+10.3+10.8+9.7+9.8)=10,样本方差为
[(9.4-10)2+(10.3-10)2+(10.8-10)2+(9.7-10)2+(9.8-10)2]÷5=0.244.
因为0.244>0.02,所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.
10.某学校统计教师职称及年龄,中级职称教师的人数为50人,其平均年龄为38岁,方差是2,高级职称的教师3人58岁,5人40岁,2人38岁,求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.
【答案】 由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高==45,
年龄的方差为s=[3×(58-45)2+5×(40-45)2+2×(38-45)2]=73,
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
=×38+×45≈39.2(岁),
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2=[2+(38-39.2)2]+[73+(45-39.2)2]=20.64.
11.从某企业生产的某种产品中随机抽取100件,测量这些产品的某项质量指标,由测量结果得到如下频数分布表:
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125]
频数
6
26
38
22
8
(1)在图中作出这些数据的频率分布直方图;
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
解 (1)频率分布直方图如图:
(2)质量指标值的样本平均数为80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
质量指标值的样本方差为
(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.
由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.
B组 能力提升
一、选择题
1.某台机床加工的五批同数量的产品中次品数的频率分布如表:
次品数
0
1
2
3
4
频率
0.5
0.2
0.05
0.2
0.05
则次品数的平均数为( )
A.1.1 B.3 C.1.5 D.2
【答案】 A
解析 设数据xi出现的频率为pi(i=1,2,…,n),则x1,x2,…,xn的平均数为x1p1+x2p2+…+xnpn=0×0.5+1×0.2+2×0.05+3×0.2+4×0.05=1.1,故选A.
2.样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的方差是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】 C
解析 x2-5x+4=0的两根是1,4.
当a=1时,a,3,5,7的平均数是4;
当a=4时,a,3,5,7的平均数不是1.
∴a=1,b=4,则方差s2=×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.
3.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位:分)为:x,y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108,方差为35.2,则|x-y|的值为( )
A.15 B.16 C.17 D.18
【答案】 D
解析 由题意得,=108,①
=35.2,②
由①②解得x=99,y=117,所以|x-y|=18.故选D.
4.(多选题)若样本1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn的平均数是10,方差为2,则对于样本2+x1,2+x2,…,2+xn,下列结论正确的是( )
A.平均数是10 B.平均数是11
C.方差为2 D.方差为3
【答案】BC [若x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s,那么x1+a,x2+a,…,xn+a的平均数为+a,方差为s,故选BC.]
5.(多选题)某学校共有学生2 000人,其中高一800人,高二、高三各600人,学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计,全体学生每天的读书时间的平均数为= 3小时,方差为s2= 2.003,其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为1=2.6,2=3.2,又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s=1,s=2,s=3,则高三学生每天读书时间的平均数3可能是( )
A.3.2 B.3.3
C.2.7 D.4.5
【答案】BC [由题意可得2.003=[1+(3-2.6)2]+[2+(3-3.2)2]+[3+(3-3)2],
解得3=3.3或2.7.]
二、填空题
6.由正整数组成的一组数据x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为________(从小到大排列).
【答案】1,1,3,3 [不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1,x2,x3,x4为正整数.
由条件知
即又x1,x2,x3,x4为正整数,
∴x1=x2=x3=x4=2或x1=1,x2=x3=2,x4=3或x1=x2=1,x3=x4=3.
∵s==1,
∴x1=x2=1,x3=x4=3. 由此可得4个数分别为1,1,3,3.]
7.已知一组数据x1,x2,…,x10的方差是2,且(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x10-3)2=380,则这组数据的平均数=________.
答案 -3或9
解析 ∵数据x1,x2,…,x10的方差为2,
∴[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=2,
即(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2=20.
又∵(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x10-3)2=380,
∴90-102+(2-6)×10=360,
∴2-6-27=0,
解得=-3或=9.
8.已知某位同学五次数学考试成绩分别为121,127,123,a,125.若其平均成绩是124,则这组数据的方差为________.
答案 4
解析 由平均成绩是124,可以求得a=124,然后由方差公式得方差为×[(121-124)2+(127-124)2+(123-124)2+(124-124)2+(125-124)2]=4.
三、解答题
9.我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位:吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值,这9组居民每人的月均用水量前四组的方差都为0.3,后5组的方差都为0.4,求这100户居民月均用水量的方差.
【答案】 (1)由频率分布直方图可知,月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5, 2),[2, 2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=2a×0.5,解得a=0.30.
(2)由题意可知,这9组月均用水量的平均数依次是1=0.25,2=0.75,3=1.25,4=1.75,5=2.25,6=2.75,7=3.25,8=3.75,9=4.25,
这100户居民的月均用水量为=0.04×0.25+0.08×0.75+0.15×1.25+0.21×1.75+0.25×2.25+0.15×2.75+0.06×3.25+0.04×3.75+0.02×4.25=2.03,
则这100户居民月均用水量的方差为
s2=0.04×[0.3+(0.25-2.03)2]+0.08×[0.3+(0.75-2.03)2]+0.15×[0.3+(1.25-2.03)2]+0.21×[0.3+(1.75-2.03)2]+0.25×[0.4+(2.25-2.03)2]+0.15×[0.4+(2.75-2.03)2]+0.06×[0.4+(3.25-2.03)2]+0.04×[0.4+(3.75-2.03)2]+0.02×[0.4+(4.25-2.03)2]=1.113 6.
10.为提倡节能减排,同时减轻居民负担,某市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准:0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取,其11月到次年4月起执行非夏季标准如下:
第一档
第二档
第三档
每户每月用电量(单位:度)
[0,200]
(200,400]
(400,+∞)
电价(单位:元/度)
0.61
0.66
0.91
例如:某用户11月用电410度,采用合表电价收费标准,应交电费410×0.65=266.5(元),若采用阶梯电价收费标准,应交电费200×0.61+(400-200)×0.66+(410-400)×0.91=263.1(元).
为调查阶梯电价是否能起到“减轻居民负担”的效果,随机调查了该市100户居民的11月用电量,工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中,最后10户的月用电量(单位:度)为88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.
组别
月用电量
频数统计
频数
频率
①
[0,100]
②
(100,200]
③
(200,300]
④
(300,400]
⑤
(400,500]
⑥
(500,600]
合计
(1)完成频率分布表,并绘制频率分布直方图;
(2)根据已有信息,试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(3)设某用户11月用电量为x度(x∈N),按照合表电价收费标准应交y1元,按照阶梯电价收费标准应交y2元,请用x表示y1和y2,并求当y2≤y1时,x的最大值,同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠?
【答案】 (1)频率分布表如下:
组别
月用电量
频数统计
频数
频率
①
[0,100]
4
0.04
②
(100,200]
12
0.12
③
(200,300]
24
0.24
④
(300,400]
30
0.30
⑤
(400,500]
26
0.26
⑥
(500,600]
4
0.04
合计
100
1
频率分布直方图如图:
(2)该100户用户11月的平均用电量
=50×0.04+150×0.12+250×0.24+350×0.3+450×0.26+550×0.04=324(度),
所以估计全市住户11月的平均用电量为324度.
(3)y1=0.65x,
y2=
由y2≤y1得或
或
解得x≤≈423.1.
因为x∈N,故x的最大值为423.
根据频率分布直方图,x≤423时的频率为0.04+0.12+0.24+0.3+23×0.002 6=0.759 8>0.75,
故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠.
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