高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.3 频率与概率导学案

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编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.结合实例，会用频率估计概率
【自主学习】
知识点1 频率的稳定性
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
知识点2 频率与概率的区别与联系
(1)频率是概率的近似，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身是随机的试验前是不能确定的．
(2)概率揭示随机事件发生的可能性的大小，是一个确定的常数，与试验的次数无关，概率可以通过频率来测量，某事件在n次试验中发生了nA次，当试验次数n很大时，就将eq \f(nA,n)作为事件A发生的概率的近似值，即P(A)＝eq \f(nA,n).
(3)求一个随机事件的概率的方法是根据定义通过大量的重复试验用事件发生的频率近似地作为它的概率；任何事件A的概率P(A)总介于0和1之间，即0≤P(A)≤1，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.
知识点3 频率稳定性的作用
可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
【合作探究】
探究一 频率和概率的区别和联系
【例1】下列说法正确的是( )
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
【答案】D [一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．]
归纳总结：理解概率与频率应关注的三个方面
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
【练习1】“某彩票的中奖概率为eq \f(1,100)”意味着( )
A．买100张彩票就一定能中奖
B．买100张彩票能中一次奖
C．买100张彩票一次奖也不中
D．购买彩票中奖的可能性为eq \f(1,100)
【答案】D [某彩票的中奖率为eq \f(1,100)，意味着中奖的可能性为eq \f(1,100)，可能中奖，也可能不中奖．]
探究二 用随机事件的频率估计其概率
【例2】某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示：
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
[思路探究] 根据频率的定义计算，并利用频率估计概率．
【答案】(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
(2)样本中使用寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600.
所以样本中使用寿命不足1 500小时的频率是eq \f(600,1 000)＝0.6，
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
归纳总结：
1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．
2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．
【练习2】某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
(1)若每辆车的投保金额为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
【答案】(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝eq \f(150,1 000)＝0.15，P(B)＝eq \f(120,1 000)＝0.12，
由于投保额为2 800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3 000元和4 000元，A与B互斥，所以所求概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有0.1×1 000＝100(位)，而赔付金额为4 000元的车辆中车主为新司机的有0.2×120＝24(位)，
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为eq \f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.
探究三 游戏的公平性
【例3】某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？
[思路探究] 计算和为偶数时的概率是否为eq \f(1,2)，概率是eq \f(1,2)就公平，否则不公平．
【答案】该方案是公平的，理由如下：
各种情况如表所示：
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，(2)班代表获胜的概率P2＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，即P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．
归纳总结：
【练习3】若在例3中，转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的数字相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
【答案】(1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B.猜“不是4的整数倍”，这是因为“不是4的整数倍”的概率为eq \f(8,10)＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A是猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性．
课后作业
A组 基础题
一、选择题
1．给出下列3种说法：
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是eq \f(3,7)；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】A [由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确．]
2．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数可能为( )
A．160 B．7 840
C．7 998 D．7 800
【答案】B [次品率为2%，故次品约8 000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7 840.]
3．某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是( )
A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水
B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水
C．明天本地降水的可能性是80%
D．以上说法均不正确
【答案】C [选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C．]
4．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区服务活动，有人提议用如下方法选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班．按照这个规则，当选概率最大的是( )
A．二班B．三班
C．四班D．三个班机会均等
【答案】B [掷两枚硬币，共有4种结果：(2,2)，(2,1)，(1,2)，(1,1)，故选四班的概率是eq \f(1,4)，选三班的概率为eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，选二班的概率为eq \f(1,4)，故选B．]
5．给出下列四个命题：
①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；
②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是eq \f(51,100)；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；
④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是eq \f(9,50).
其中正确命题有( )
A．①B．②
C．③D．④
【答案】D [①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的；②③混淆了频率与概率的区别．④正确．]
6．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】B [对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是eq \f(1,2)，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平．]
7．(多选题)投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见解，其中正确的是( )
A．出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率
B．只要连掷6次，一定会“出现1点”
C．投掷前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大
D．连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19
【答案】AD [掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是eq \f(1,2)，故A正确；“出现1点”是随机事件，故B错误；概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故C错误；连续掷3次，每次都出现最大点数6，则三次之和为18，故D正确．故选AD．]
二、填空题
8．某制造商今年3月份生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个乒乓球的直径(单位：mm)，将数据分组如下：
若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，则这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率约为________．
【答案】0.90 [标准尺寸是40.00 mm，并且误差不超过0.03 mm，即直径需落在[39.97,40.03]范围内．由频率分布表知，所求频率为0.20＋0.50＋0.20＝0.90，所以直径误差不超过0.03 mm的概率约为0.90.]
9．小明和小展按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则________．(填“公平”或“不公平”)
【答案】不公平 [当第一个人第一次取2支时，还剩余3支，无论是第二个人取1支还是取2支，第一个人在第二次取铅笔时，都可取完，即第一个人一定能获胜，所以不公平．]
10．种子发芽率是指在规定条件和时间内长成的正常幼苗数占供检种子数的百分率．种子发芽率的测定通常是在实验室内进行，随机取600粒种子置于发芽床上，通常以100粒种子为一个重复，根据不同种类的种子控制相应的温度、水分、光照等条件，再到规定的时间鉴定正常幼苗的数量，最后计算出种子的发芽率．下表是猕猴桃种子的发芽试验结果：
根据表格分析猕猴桃种子的发芽率约为________．
【答案】80% [由表格中的数据可知，该猕猴桃种子的发芽率约为80%.]
三、解答题
11．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
【答案】[解] (1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88，0.92，0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.
12．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表：
(1)请完成上述表格(保留3位小数)；
(2)该油菜籽发芽的概率约为多少？
【答案】[解] (1)填入题表中的数据依次为1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.
填表如下：
(2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.
B组 能力提升
一、选择题
1．在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．
由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．
如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为( )
A． 4.33% B． 3.33% C． 3.44% D． 4.44%
【答案】B [因为掷硬币出现正面向上的概率为eq \f(1,2)，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，另外5个回答“是”的人服用兴奋剂．因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂．]
2．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
问其中不公平的游戏是( )
A．游戏1 B．游戏1和游戏3
C．游戏2D．游戏3
【答案】D [游戏1中取2个球的所有可能情况有：
(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲胜的概率为eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，所以游戏1是公平的．游戏2中，显然甲胜的概率是0.5，游戏是公平的．游戏3中取2个球的所有可能情况有(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白1), (黑2，白2)，(白1，白2)，所以甲胜的概率为eq \f(1,3)，所以游戏3是不公平的．]
二、填空题
3．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．
【答案】0.4 [由频率的定义可知用电量超过指标的频率为eq \f(12,30)＝0.4，由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.]
三、解答题
4．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，下表是统计结果：
贫困地区
发达地区
(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果精确到0.001)；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
【答案】[解] (1)
贫困地区
发达地区
(2)随着测试人数的增加，两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋近于0.5和0.55.故贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别约为0.5和0.55.
5．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值．
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值．
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
【答案】[解] (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq \f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq \f(30＋30,200)＝0.3，
故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
分组
[0，900)
[900，1 100)
[1 100，1 300)
[1 300，1 500)
[1 500，1 700)
[1 700，1 900)
[1 900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
赔偿金额(元)
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
和
4
5
6
7
1
5
6
7
8
2
6
7
8
9
3
7
8
9
10
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
10
0.10
[39.97,39.99)
20
0.20
[39.99,40.01)
50
0.50
[40.01,40.03]
20
0.20
合计
100
1.00
种子粒数
100
100
100
100
100
100
发芽粒数
79
78
81
79
80
82
发芽率
79%
78%
81%
79%
80%
82%
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率eq \f(m,n)
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1 500
2 000
3 000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1 370
1 786
2 709
发芽的频率
每批粒数
2
5
10
70
130
700
1 500
2 000
3 000
发芽的粒数
2
4
9
60
116
637
1 370
1 786
2 709
发芽的频率
1.000
0.800
0.900
0.857
0.892
0.910
0.913
0.893
0.903
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
任取两个球
取1个球
任取两个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
16
27
52
104
256
402
得60分以上的频率
0.533
0.540
0.520
0.520
0.512
0.503
参加测试的人数
30
50
100
200
500
800
得60分以上的人数
17
29
56
111
276
440
得60分以上的频率
0.567
0.580
0.560
0.555
0.552
0.550
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05