专题14 指数函数与对数函数（能力提升）-2021年暑假高一升高二数学复习基础巩固+能力提升专题（人教A版2019）

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【新教材2019人教必修第一册】暑假高一能力提升 专题14  指数函数与对数函数解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________  一、单选题1．函数的零点所在区间是（    ）A． B． C． D．【来源】天津市蓟州区2018-2019学年高一上学期期中数学试题【答案】C【分析】根据零点存在定理，依次判断区间的两个端点对应的函数值，然后根据连续函数在区间上零点，则与异号进行判断.【详解】，，，且函数连续，故函数的零点必落在区间，故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的零点，解答的关键是零点存在定理，属于基础题.2．若函数是指数函数，则（    ）A． B． C．或 D．且【来源】河北省鹿泉第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学试题【答案】B【分析】根据指数函数的定义列出关于a的方程，进行求解即可．【详解】由指数函数的定义，得，解得．故选：B【点睛】本题主要考查了根据函数是指数函数求参数范围，属于基础题.3．设，，，则a，b，c的大小是（    ）A．a＞b＞c B．b＜c＜a C．b＞a＞c D．a＜b＜c【来源】湖北省八市2021届高三下学期3月联考数学试题【答案】A【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.【详解】，(0，1)，，所以a＞b＞c，故选：A．4．某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中是正的常数．如果在前消除了的污染物，则污染物减少需要花费的时间为（    ）（精确到，参考数据）A．30 B．31 C．32 D．33【来源】山东省泰安肥城市2021届高三三模数学试题【答案】D【分析】根据所给数据先求，再解即可得解.【详解】由题意当时，，当时，，所以，解得，所以．当时，有，即，解得．故选：D．5．已知，且，则函数与函数的图象可能是A． B．C． D．【来源】西藏林芝市第二高级中学2019-2020学年高一上学期第一学段考试（期中）数学试题【答案】B【分析】由函数与函数互为反函数，图像关于对称易得解.【详解】由函数与函数互为反函数，则图像关于对称，从而排除A,C,D.易知当时，两函数图像与B相同.故选B.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数互为反函数的性质，属于基础题.6．华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（    ）次检测.A．3 B．4 C．6 D．7【来源】甘肃省白银市会宁二中2019-2020学年高二（下）期末数学（文科）试题【答案】B【分析】类比二分法，将16人均分为两组，选择其中一组进行检测，再把认定的这组的8人均分两组，选择其中一组进行检测，以此类推，即可得解.【详解】先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测.所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.故选：B.【点睛】本题考查的是二分法的实际应用，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.7．函数（且）在上为减函数，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【来源】江苏省淮安市淮阴中学2020-2021学年高三上学期8月测试数学试题【答案】A【分析】根据对数函数性质与复合函数的单调性求解．【详解】首先是减函数，∴应是增函数，才可能是减函数，∴，函数在上减函数，由对数函数性质知，，综上．故选：A．【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键．8．函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【来源】天津市南开中学2021届高三下学期三模数学试题【答案】A【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，且，，所以，函数为偶函数，排除BC选项；当时，，则，排除D选项.故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 二、多选题9．已知函数，下列结论正确的是（    ）A．若，则B．C．若，则或D．若方程有两个不同的实数根，则【来源】山东省临沂市2019-2020学年高二（下）期末数学试题【答案】BC【分析】根据的解析式，结合指对数函数的运算法则，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：由，得或，解得或，故A错误；对于B：，因为，所以，故B正确；对于C：由，得或解得或，故C正确；对于D：做出的图像，如下图所示：又，结合图像可得有两个不同的实数根，即图像与图像有两个交点，所以，故D错误.故选：BC【点睛】本题考查指数函数、对数函数图像与性质、指对数的运算，考查计算化简，分析求值的能力，考查数形结合的思想，属中档题.10．已知x>0，y>0，z>0，若，则（    ）A．z<y<x B．x<z<y C．3x<5y<7z D．5y<3x<7z【来源】福建省八县（市）一中2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题【答案】AC【分析】设，则，再利用在上的单调性比较；由，利用在上的单调性比较.【详解】设，所以，因为，所以，所以在上是减函数，所以 z<y<x，而，在上是增函数，所以3x<5y<7z故选：AC【点睛】本题主要考查对数转化为指数，幂函数的单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．下列选项中说法正确的是（    ）A．函数的单调减区间为B．幂函数过点，则C．函数的定义域为，则函数的定义域为D．若函数的值域为，则实数的取值范围是【来源】福建省福州市八县（市）协作体2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题【答案】BD【分析】对于A选项：由对数函数的定义域和复合函数的单调可判断；对于B选项：由幂函数的定义和函数过的点可判断；对于 C选项：由复合函数的定义域可判断；对于 D选项：由对数函数的值域可判断.【详解】对于A选项：由得或，所以中函数的定义域为，又函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以函数的单调减区间为，故A不正确；对于B选项：因为幂函数过点，所以，且，解得，所以，故B正确；对于 C选项：因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故C不正确；对于 D选项：因为函数的值域为，所以当时，，满足其值域为，当时，需且，解得，所以实数的取值范围是，故D正确，故选：BD.【点睛】本题考查函数的定义域，复合函数的单调性，对数函数的值域和幂函数的定义，属于中档题.12．已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ）A．函数的零点的个数为2B．实数的取值范围为C．函数无最值D．函数在上单调递增【来源】浙江省山河联盟2020-2021学年高一下学期4月月考数学试题【答案】ABC【分析】根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.【详解】因为函数，可得函数图像如图：由图知函数有2个零点，故A选项正确；函数没有最值，故C选项正确；函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；由于方程有4个不同的实数根，令则有4个不同的实数根，因为恒成立，设两个不等的实根为，由韦达定理知：，则异号，由图可知：，所以，解得，故B选项正确；故选：ABC【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．  三、填空题13．若点在函数的图象上，点在的反函数图象上，则________．【来源】山西省晋中市祁县中学校2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】16【分析】根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域，结合对数的运算，即可得出答案．【详解】解：函数的图象经过点，可得：，解得：，，由于点在的反函数图象上，即在的图象上，则有：.故答案为：16．【点睛】本题考查根据反函数与原函数的关系求参数值，还涉及对数的运算，原函数的定义域是反函数的值域是解题的关键．14．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________．【来源】山西省晋中市祁县中学校2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】【分析】根据函数是上的增函数，则每一段都是增函数且左侧的函数值不大于右侧的函数值.【详解】函数是上的增函数，函数，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，属于基础题.15．设正数满足，则的取值范围是_____.【来源】陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二上学期期中数学（文）试题【答案】【分析】由题设知，再由，得到，所以，设，由此可求出的取值范围．【详解】解：正数，满足，，，又，所以左右加上得到，所以，由得到，设即，解得或即或．根据定义域，均大于零，所以取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查对数的运算法则，基本不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用，属于中档题．16．如果，已知正方形的边长为2，平行轴，顶点，和分别在函数，和的图像上，则实数的值为________【来源】2020届福建省永安市第一中学、漳平市第一中学高三上学期第一次联考数学（理）试题【答案】【分析】设B（x，2logax），利用BC平行于x轴得出C（x2，2logax），利用AB垂直于x轴 得出 A（x，3logax），则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为logax＝x2﹣x＝2，求出x，再求a 即可．【详解】设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x′，2logax）即logax′＝2logax，∴x′＝x2，∴正方形ABCD边长＝|BC|＝x2﹣x＝2，解得x＝2．由已知，AB垂直于x轴，∴A（x，3logax），正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax﹣2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a，故答案为：．【点睛】本题考查对数函数的性质、对数的运算，是平面几何与函数知识的结合，体现出了数形结合的思想． 四、解答题17．化简或求值：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【来源】浙江省浙东北联盟（ZDB）2019-2020学年高一上学期期中数学试题【答案】（Ⅰ）1 （Ⅱ） （Ⅲ）【分析】（Ⅰ）将根式化为指数形式,再利用指数的运算性质，化简得出答案.（Ⅱ）利用指数的运算性质化简，再求和即可得出答案.（Ⅲ）利用对数的运算性质化简，再求和即可得出答案.【详解】（Ⅰ）.（Ⅱ）原式.（Ⅲ）原式.【点睛】本题考查根式化指数式，指数、对数的运算，属于基础题.解本题需熟练掌握根式与指数式的互化，指数与对数的运算性质.18．已知奇函数的定义域为.（1）求实数的值；（2）若，方程恰有两解，求的取值范围.【来源】河南省信阳市罗山县2021届高三第一次调研（8月联考）数学（文）试题【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由函数为奇函数定义域关于原点对称，以及列方程可得答案；（2）由方程有两解，可得有两解，令，开口向上的抛物线，根据二次函数的性质求解即可.【详解】（1）由函数为奇函数可得：即定义域关于原点对称，即，可得：，①，由在定义域内，又是奇函数，所以，所以可得：，解得，将代入①可得：，所以； （2）由（1）得：，若，即，在单调递增， 所以，设；所以方程有两解，可得有两解，令，开口向上的抛物线，对称轴.函数先减后增，且离对称轴较远，所以最小且为：，时，最大，且为，且，综上所述：方程恰有两解，的取值范围为：.【点睛】本题主要考查奇函数的性质及方程的解与函数图象的交点之间的关系，属于中档题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.19．已知函数（为常数）是奇函数.（1）求的值与函数的定义域.（2）若当时，恒成立.求实数的取值范围.【来源】宁夏回族自治区银川一中2021届高三上学期第一次月考数学（理）试题【答案】（1），定义域为或；（2）.【分析】（1）根据函数是奇函数，得到，求出，再解不等式，即可求出定义域；（2）先由题意，根据对数函数的性质，求出的最小值，即可得出结果.【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，所以，即，所以，令，解得或，所以函数的定义域为或；（2），当时，所以，所以.因为，恒成立，所以，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求参数，考查求具体函数的定义域，考查含对数不等式，属于常考题型.20．某公司为了研究年宣传费（单位：千元）对销售量（单位：吨）和年利润（单位：千元）的影响，搜集了近 8 年的年宣传费和年销售量数据：1234567838404446485052564555616365666768 (Ⅰ)请补齐表格中 8 组数据的散点图，并判断与中哪一个更适宜作为年销售量关于年宣传费的函数表达式？（给出判断即可，不必说明理由）(Ⅱ)若(Ⅰ)中的，且产品的年利润与，的关系为，为使年利润值最大，投入的年宣传费 x 应为何值？【来源】福建省泉州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题【答案】(I)见解析，(II) 当即投入的年宣传费千元时，年利润取到最大值（最大值为889).【解析】试题分析：（1）画出散点图，根据散点图的走向，可选出合适的模型；（2）根据题意得到，经过换元求得函数的最值问题。解析：(I)补齐的图如下：由图判断，更适宜作为年销售量关于年宣传费的函数表达式.(II)依题意得，，化简得，设，则有.（答）故当即投入的年宣传费千元时，年利润取到最大值（最大值为889).21．已知函数，，且函数是偶函数．（1）求的解析式；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；（3）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点【来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题【答案】（1）；（2）；（3），零点为0，，2．【分析】(1)根据是偶函数求得表达式算出的值,进而求得的解析式即可.(2)换元令,再求解的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可.(3)换元令,结合复合函数的零点问题,分析即可.【详解】解：（1）∵，∴．∵是偶函数，∴，∴．∴，∴．（2）令，∵，∴，不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，∴．令，，则，，∴．（3）令，则，方程可化为，即，也即．又∵偶函数恰好有三个零点，所以必有一个零点为0，∴有一个根为2，∴．∴，解得或．由，得，由，得，∴零点为0，，2．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解方法以及换元法求复合函数的应用,包括二次函数的范围问题等与函数零点的问题.属于难题.22．已知在区间，上的值域，.（1）求的值；（2）若不等式在，上恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数的取值范围.【来源】甘肃省天水一中2017-2018学年高一（上）期中数学试题【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）对配方，求出对称轴，讨论若时，若时，若，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求的值；（2）由题意可得，化为，令，求出的范围，求得右边函数的最小值即可得到的范围；（3）令，可化为有3个不同的实根，令，讨论的范围和单调性，有两个不同的实数解，，已知函数有3个零点等价为，或，，记，由二次函数图象可得不等式组，解不等式可得的范围.【详解】（1）在区间，上的值域，.若时，的最小值为(a)，由，可得舍去)，满足在区间，上的值域，；若时，在，递减，的最小值为（3），由（3），解得(舍去)；若，则在，递增，的最小值为（1），由（1），解得.综上可得，；（2）由即，化为，令，由可得，则，，记，，由单调递减，可得的最小值为，则的取值范围是；（3）令，可化为有3个不同的实根.令，则，由，当时，，，且递减，当时，，且递增，当时，.当时，，且递增，有两个不同的实数解，，已知函数有3个零点等价为，或，，记，则或，解得或无实数解，综上可得，的取值范围是.【点睛】本题考查二次函数在闭区间上最值问题，注意对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查函数零点问题，注意转化思想运用，考查分类讨论思想方法运用，以及运算化简能力，属于难题.