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    第八章立体几何专题训练(九)—探索性问题(3)-【新教材】2021-2022学年人教A版(2019)高中数学必修第二册专项训练

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    第八章   立体几何专题训练(九)探索性问题(31.已知在四棱锥中,平面,四边形为矩形,为棱上一点,且1)求证:平面平面2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成的角为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.1)证明:在矩形中,,即平面平面平面平面平面平面平面2)解:以为原点,所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,000,则00设平面的法向量为,则,即,则直线与平面所成的角为,即,化简得解得2.如图,四棱锥中,矩形,其中,点为矩形的边上一动点.1为线段上一点,,是否存在点,使得平面,若存在,请求出的长,若不存在,请说明理由;2)若,求直线与平面所成角的余弦值.解:(1)存在点满足平面,此时证明如下:在线段上取一点,使得因为,所以又因为所以故四边形是平行四边形,所以,又平面平面所以平面2)因为平面,又平面所以,又平面所以平面,又平面所以,因为,解得,即的中点,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,所以设平面的法向量为则有,即,则,故所以直线与平面所成角的正弦值为故直线与平面所成角的余弦值为 3.如图,在四棱锥中,侧面底面,底面是直角梯形,1)证明:平面平面2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,求出线段的长度;若不存在,请说明理由.1)证明:因为平面平面,且平面平面因为平面所以平面又因为平面所以平面平面2)解:在平面内,过点于点,则可知平面以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,故点所以为平面的法向量,则有,即,则因为直线与平面所成角的正弦值为解得故存在点满足题意,此时4.已知正方形的边长为4分别为的中点,以为棱将正方形折成如图所示的的二面角,点在线段上.1)若的中点,且直线与由三点所确定平面的交点为,试确定点的位置,并证明直线平面2)是否存在点,使得直线与平面所成的角为?若存在,求线段的长,若不存在,请说明理由.1)证明:直线平面,故点在平面也在平面内,所以点在平面与平面的交线上,如图所示,因为的中点,所以所以所以点的延长线上,且连结与点,因为四边形为矩形,所以点的中点,连结,因为的中位线,所以又因为平面,所以直线平面2)解:由已知可得,平面所以平面,又平面,所以平面平面的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,所以,则设平面的法向量为,即,则,故因为直线与平面所成的角为所以所以,解得故存在点,使得直线与平面所成的角为时,1,又0,所以时,3,又0,所以所以35.已知正的边长为3,点分别是上的三等分点(点靠近点,点靠近点(如图,将沿折起到的位置,使二面角的平面角为,连接(如图1)求证:平面2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成的角为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.1)证明:因为正三角形的边长为3中,,由余弦定理可得因为,所以,折叠后,仍有因为二面角的平面角为,所以平面平面又平面平面平面所以平面2)解:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为建立空间直角坐标系如图所示,轴,交轴于点,设的横坐标为,点的纵坐标,又0所以又平面的法向量为因为直线与平面所成的角为所以,解得故在线段上存在点,且6.如图,四边形为梯形,,现沿折起使为正三角形,且平面平面,过的平面与线段分别交于1)求证:2)在棱上(不含端点)是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,请确定点的位置;若不存在,说明理由.1)证明:在四棱锥中,平面平面平面又平面平面平面平面且交于平面,即平面平面2)解:存在,为棱上靠近点的四等分点.连接,又平面平面,且平面平面平面如图,以为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,0100,则00设平面的一个法向量为,则不妨令,则设直线与平面所成角为,则有解得(舍,即在棱上存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为为棱上靠近点的四等分点. 

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