第八章立体几何专题训练(九)—探索性问题(3)-【新教材】2021-2022学年人教A版(2019)高中数学必修第二册专项训练
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第八章 立体几何专题训练(九)—探索性问题(3)1.已知在四棱锥中,平面,四边形为矩形,,,为棱上一点,且.(1)求证:平面平面;(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成的角为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.(1)证明:在矩形中,,,,,即,平面,平面,,又,、平面,平面,平面,平面平面.(2)解:以为原点,,,所在直线分别为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,0,,,0,,,0,,,,,,,,设,,,则,0,,,0,,,,,,,,设平面的法向量为,,,则,即,令,则,,,,,直线与平面所成的角为,,即,化简得,解得,,,,.2.如图,四棱锥中,矩形,其中,,,点为矩形的边上一动点.(1)为线段上一点,,是否存在点,使得平面,若存在,请求出的长,若不存在,请说明理由;(2)若,求直线与平面所成角的余弦值.解:(1)存在点满足平面,此时证明如下:在线段上取一点,使得,因为,,所以且,又因为且,所以且,故四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面;(2)因为平面,又平面,所以,又,,,平面,所以平面,又平面,所以,设,因为,解得,即为的中点,以点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设平面的法向量为,则有,即,令,则,,故,,所以直线与平面所成角的正弦值为,故直线与平面所成角的余弦值为. 3.如图,在四棱锥中,侧面底面,底面是直角梯形,,,,,.(1)证明:平面平面;(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,求出线段的长度;若不存在,请说明理由.(1)证明:因为平面平面,且平面平面,因为,平面,所以平面,又因为平面,所以平面平面;(2)解:在平面内,过点作交于点,则可知平面,以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,由,,,故点,所以,设为平面的法向量,则有,即,取,则,,故,设,则,因为直线与平面所成角的正弦值为,则,解得或,故存在点满足题意,此时或.4.已知正方形的边长为4,、分别为、的中点,以为棱将正方形折成如图所示的的二面角,点在线段上.(1)若为的中点,且直线与由,,三点所确定平面的交点为,试确定点的位置,并证明直线平面;(2)是否存在点,使得直线与平面所成的角为?若存在,求线段的长,若不存在,请说明理由.(1)证明:直线平面,故点在平面也在平面内,所以点在平面与平面的交线上,如图所示,因为,为的中点,所以,所以,,所以点在的延长线上,且,连结交与点,因为四边形为矩形,所以点是的中点,连结,因为为的中位线,所以,又因为平面,所以直线平面;(2)解:由已知可得,,,,,平面,所以平面,又平面,所以平面平面,取的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设,,,则,设平面的法向量为,则,即,令,则,故,因为直线与平面所成的角为,所以,所以,解得或,故存在点,使得直线与平面所成的角为,当时,,1,,又,0,,所以;当时,,3,,又,0,,所以.所以或3.5.已知正的边长为3,点、分别是、上的三等分点(点靠近点,点靠近点(如图,将沿折起到△的位置,使二面角的平面角为,连接,(如图.(1)求证:平面;(2)在线段上是否存在点,使得直线与平面所成的角为?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由.(1)证明:因为正三角形的边长为3且,在中,,由余弦定理可得,因为,所以,折叠后,仍有,因为二面角的平面角为,所以平面平面,又平面平面,平面,,所以平面;(2)解:假设在线段上存在点,使直线与平面所成的角为,建立空间直角坐标系如图所示,作轴,交轴于点,设,则的横坐标为,点的纵坐标,故,又,0,,所以,又平面的法向量为,因为直线与平面所成的角为,所以,解得,故在线段上存在点,且.6.如图,四边形为梯形,,于,于,,,,现沿将折起使为正三角形,且平面平面,过的平面与线段、分别交于、.(1)求证:;(2)在棱上(不含端点)是否存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,若存在,请确定点的位置;若不存在,说明理由.(1)证明:,,,在四棱锥中,平面,平面,平面,又平面平面,,平面平面且交于,,平面,即平面,又平面,;(2)解:存在,为棱上靠近点的四等分点.,,连接,,又平面平面,且平面平面,平面.如图,以为坐标原点,分别以,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系,则,0,,,1,,,0,,,0,,,,,设,,则,0,,,0,,设平面的一个法向量为,则,不妨令,则,,设直线与平面所成角为,则有,解得或(舍.,即在棱上存在点,使得直线与平面所成角的正弦值为,为棱上靠近点的四等分点.
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