第1讲 集合的概念-【新教材】2022新高一同步（初升高）衔接讲义（原卷+解析）

第1讲 集合的概念一、集合的有关概念    集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称              集.     表示方法：一般用大写字母或大括号表示集合，用小写字母表 示集合中的元素.     集合相等：构成两个集合的元素完全一样.     集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合就确定了.例如：“之间的偶数”构成集合，是这个集合的元素，而就不 是它的元素；“较大的数”、“漂亮的花”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的.②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现.例如：方程的解构成的集合是，而不是.③无序性：集合中的元素没有固定的顺序，元素可以任意排列.例如：和是同一个集合.      元素与集合的关系：（分“属于”与“不属于”两种）①如果是集合的元素，就说属于集合，记作；②如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作.     集合的分类     常见数集的写法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或 例1.下列指定的对象能构成集合的是          .①大于2的整数；②所有的正小数；③所有的小正数；④的近似值；⑤高一年级优秀的学生；⑥方程的解；⑦这个数；【答案】①②⑥【解析】①②⑥中指定的对象满足集合元素的三个性质：确定性，互异性，无序性，能构成集合；③④⑤中指定的对象不满足集合元素的确定性，⑦中指定的对象不满足集合元素的互异性，不能构成集合. 例2.用“”或“”填空.①   ；    ②   ；    ③   ；    ④    ；⑤   ；  ⑥   ；    ⑦   ；  ⑧   .【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧. 例3.（1）已知三个实数构成一个集合，求应该满足的条件.（2）已知集合的元素为，若且，求实数的值.【答案】（1）且；（2）.【解析】（1）由集合元素的互异性可得：，解得且；（2）若且，则或，解得. 二、集合的表示    列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用大括号“”括起来表示集合的方法.说明： ①书写时，元素与元素之间用逗号分开； ②一般不必考虑元素之间的顺序； ③集合中的元素可以是数，点，代数式等； ④列举法可表示有限集，也可以表示无限集.当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示； ⑤对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，像自然数集用列举法表示为. 例4.用列举法表示下列集合：①小于4的正偶数组成的集合；②绝对值小于5的所有整数的集合；③小于6的所有自然数的集合；④方程的所有实数根组成的集合；⑤方程组的实数解组成的集合.【答案】①；②；③；④；⑤.     描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.一般格式：，例如：.说明：①弄清集合代表元素是数还是点、还是集合或其他形式？例如：与是两个不同的集合. ②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：即代表整数集.  例5.用描述法表示下列集合：①由大于2小于等于26的所有奇数组成的集合；②不等式的所有解组成的集合；③抛物线上的点组成的集合.【答案】①；②；③.  例6.设集合，且,求的值.【答案】.【解析】，或，解得或.当时，中元素不满足互异性，故舍去，所以.例7.已知，若集合中恰有4个元素，则（    ）        B.       C.        D.【答案】B.【解析】若集合中恰有4个元素，则这4个元素为3，4,5,6，所以. 例8.已知集合.（1）若，求的取值范围；（2）若中至多一个元素，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若，则方程无解，所以且，解得；（2）当时，集合中只有一个元素，满足题意；当时，若要使中至多一个元素，则，解得.综上，的取值范围为 例9.设实数集满足下面两个条件：①；②若，则.（1）求证：若，则；（2）若，则在中必含有其它两个数，试求出这两个数；（3）求证：集合中至少有三个不同的元素.【答案】（1）见解析；（2）和；（3）见解析.【解析】（1）证明：若，则，则，即；（2）若，则，则；（3）由（1）知，，.下证：三者两两互不相等.①若，则，无实数根，故；②若，则，无实数根，故；③若，则，无实数根，故.综上所述，集合中至少有三个不同的元素.
跟踪训练    下列说法正确的个数为（   ）①集合与集合表示同一集合；②集合与集合 不是同一集合；③集合与集合是同一个集合；④集合和集合是同一集合；⑤集合和集合是同一集合；⑥方程的解集为.A.1个             B.2个             C.3个            D.4个【答案】C【解析】①正确，；②正确，，；③错误，前者是数集，后者是点集；④正确，集合元素具有无序性；⑤错误，两者均表示点集，但是点的坐标不同；⑥错误，方程的解为，，故解集为.综上，正确个数为3个，选C.     用列举法表示下列集合：①；②；③.【答案】①；②；③.【解析】对于①②，要使，则，对应的，①中元素为，②中元素为，所以，；③表示上的点集，只有两个点，所以.      用描述法表示下列集合：①正偶数集；②大于2的实数；③100以内能被3整除的正整数.【答案】①；②；③.     已知且，则的值为（    ）A.0           B.1           C.2           D.3【答案】A     已知集合，那么（    ）               B.             C.           D.   【答案】A     给出下列说法：①集合用列举法表示为；②实数集可以表示为或；③方程组的解组成的集合为；其中不正确的有          .（把所有不正确的说法的序号都填上）【答案】①②③【解析】①错误，；②错误，正确的表示为或；③方程组的解组成的集合正确的表示为或.     若集合，则实数的取值范围是          .【答案】【解析】若集合，则不等式无解.当时，原不等式无解，故符合题意；当时，无实数解，所以，解得.综上所述，的取值范围是.    设集合是两个非空数集，定义集合，若，，则中元素的个数为（    ）  A.9               B.8               C.7              D.6【答案】B【解析】根据题意，，选B.     定义集合运算：.设，，则集合中所有元素之和为（    ） A.0                B.2               C.3              D.6           【答案】D【解析】根据题意，，其所有元素之和为6，选D.