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第15讲 指数函数-【新教材】2022新高一同步（初升高）衔接讲义（原卷+解析）
展开第15讲 指数函数
- 指数函数的定义
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
2.指数函数的图像及性质
函数名称 | 指数函数 | |
定义 | 函数叫做指数函数 | |
图象 | ||
|
| |
定义域 | ||
值域 | ||
过定点 | 图象过定点，即当时，． | |
奇偶性 | 非奇非偶 | |
单调性 | 在上是增函数 | 在上是减函数 |
函数值的 变化情况 | ||
变化对 图象的影响 | 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． | |
例1.在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
（1） （2） （3） （4）
（5） （6） （7） （8）（，且）
【答案】（1）（2）（3）（5）（6）（7）不是
例2.比较下列各题中两个值的大小：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
例3.函数的图象一定通过点 .
【答案】
例4.若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意该函数为增函数且在轴截距为负，
所以，解得，选A.
例5. 二次函数与指数函数的图象只可能是 （ ）
A B C D
【答案】A
【解析】由指数函数可知同号且不相等，
则二次函数的对称轴可排除B与D，
C错误：易知，所以，此时单调递增，
A正确：易知，所以，此时单调递减.
例6.解方程： .
【答案】
【解析】由得，
所以，解得.
例7.求下列不等式的解集：
（1） ； （2）
【答案】（1）；（2）时解集为，时解集为
【解析】（1）由得，所以，解得，
故解集为；
（2）当时，由得，解得；
当时，由得，解得或，
综上所述，时解集为，时解集为.
例8.求函数的定义域和值域：
（1）； （2） ；
（3）； （4）
【答案】（1）定义域为，值域为；（2）定义域为，值域为；
（3）定义域为，值域为；（4）定义域为，值域为.
【解析】（1）定义域为，且为减函数，
，值域为；
（2）由得，，解得，定义域为，
由可知，值域为；
（3）定义域为，且为减函数，
，值域为；
（4）由解得，定义域为，
由可知，
且，则，
值域为.
例9.（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的单调减区间.
【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；
（2）单调减区间为.
【解析】（1）定义域为，是由，复合而成的，
为增函数，在上为增函数，在上为减函数，
由复合函数单调性的同增异减性可知：
的单调增区间为，单调减区间为；
（2）定义域为，是由和复合而成的，
为减函数，在上为减函数，在上为增函数，
的单调减区间为.
例10. 方程的实数解的个数为 .
【答案】2
【解析】由得，画出函数的图象，
由图可知函数的图象有两个交点，故方程的实数解的个数为2.
跟踪训练
- 下列函数中，可以称为指数函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
- 下列关系式中正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
- 设满足，下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A错误：由指数函数在上为减函数且可知；
B错误：由指数函数在上为减函数且可知；
C正确：由幂函数在上为增函数且可知；
D错误：由幂函数在上为增函数且可知，故选C.
- 函数的图象如图，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图知为减函数，，
又，，即，选D.
- 指数函数①，②，③，④的图象如图,则与1的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】 作直线与四个图形分别交于四点，则，由图可知，故选B.
- 函数图象的大致形状是 ( )
A B C D
【答案】D
【解析】易知且，选D.
- 已知指数函数图像经过点，则__________.
【答案】
【解析】设该指数函数为，将点代入得，解得，
，.
- 函数的图象恒过定点____________.
【答案】
- 如果指数函数在上是减函数，那么实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】在上是减函数，，解得，
所以的取值范围是.
- 若函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围分别是_____________.
【答案】，
【解析】依题意该函数为减函数且在轴截距为负，
所以，解得，所以的取值范围分别是，.
- 方程的实根的个数为___________.
【答案】2
【解析】由得，作出和的图象，
由图可知两个函数图象有2个交点，故方程由2个实根.
- 解方程：（1） ； （2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，
，，
，；
（2），，
，，
，.
- 解不等式：（1） ； （2）
【答案】（1）；（2）时，时.
【解析】（1），解得；
（2）若，则，解得；
若，则，解得.
- 求函数的值域.
【答案】
【解析】当时，，
是减函数，值域为，即.
- 讨论函数的单调性.
【答案】单调增区间为，减区间为.
【解析】定义域为，是由和复合而成的，
为减函数，在，即上为减函数，在，即上为增函数，
的单调增区间为，减区间为.
- 已知函数.
(1) 判断的单调性和奇偶性；
(2) 当时，解不等式.
【答案】（1）在上单调递增，为奇函数；（2）.
【解析】（1）定义域为，任取且，
则
，
当时，，，则，即；
当时，，，则，即，
综上所述，对任意的，均有，
故在上单调递增，
，为奇函数；
（2）由是奇函数知等价于，
由在上单调递增，所以，解得.
