专题03 等式性质与不等式性质、基本不等式（重难点突破）-【教育机构专用】2022年秋季高一上精品讲义（新教材人教A版）

专题03 等式的性质与不等式的性质、基本不等式

一、知识结构思维导图

二、学法指导与考点梳理

知识点1 一元一次不等式的解法

一元一次不等式ax>b的解的情况：

（1）当a>0时，；

（2）当a<0时，；

（3）当a=0时，i) 若b≤0，则取所有实数；ii) 若b>0，则无解。

知识点2 分式方程、分式不等式的解法

1、分式方程的解法

①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母．②特殊解法：换元法．

(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

说明：解分式方程，一般先考虑换元法，再考虑去分母法．

2、分式不等式的解法：

 分母恒为正时可去分母；分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标根法求解。解分式不等式的主旨是化分式不等式为整式不等式，进行求解．

3、可化为一元二次方程的分式方程

1．去分母化分式方程为一元二次方程；2．用换元法化分式方程为一元二次方程

简单分式不等式的解法

知识点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 

表中，

2、恒成立

恒成立

知识点4 绝对值不等式

1、a>0时，

①；②或x>a

2、解含有绝对值不等式关键是如何去绝对值符号．

对于形如和的不等式，可利用绝对值的含义去绝对值符号得

或；．

知识点5 基本不等式

1、基本不等式(或)均值不等式

2、基本不等式的变形与拓展

(1)若,则；

(2)若,则（当且仅当时取“=”）．

(3)若,则；

(4)若,则（当且仅当时取“=”）；

(5)若,则（当且仅当时取“=”）．

(6)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．

(7)若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．

(8)一个重要的不等式链：．

三、重难点题型突破

重难点1 等式与不等式的性质

不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.

(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.

(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．

例1．（1）（2018·全国高一专题练习）若，则下列不等式错误的是（    ）

A． B． C． D．

（2）（2020·吉化第一高级中学校高二期末（理））已知，那么下列不等式中成立的是（    ）

A． B． C． D．

【变式训练1】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【变式训练2】．（2020·安徽省舒城中学高二月考（理））设，，则的大小关系为__________．

【变式训练3】．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高二月考（文））下列不等式中，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

重难点2 分式不等式与绝对值不等式

例2．（2020·长春市第二十九中学高二期中（文））不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【变式训练1】．（2018·全国高一专题练习（理））已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|＞0}，那么集合A∩(∁UB)＝(　　)

A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}

C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}

【变式训练2】．（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））如果关于的不等式的解集不是空集，则参数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

重难点3 二次函数、一元二次方程与一元二次不等式

例3．（2020·贵州省高二学业考试）不等式的解集是（      ）

A． B．或

C． D．或

【变式训练1】．（2020·四川省高一期末）不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练2】．（2020·浙江省高一期末）不等式的解集是（    ）

A．或 B．或

C． D．

【变式训练3】．（2020·河南省高三其他（理））关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

重难点4 基本不等式

例4.（1）（2020·贵州省高二学业考试）已知，若，则的最小值为（    ）

A．3 B．2 C． D．1

（2）函数的最大值为（   ）

A．    B．    C．   D．1

【变式训练1】．（1）（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（    ）

A．4 B．5 C．8 D．6

（2）设若的最小值为（     ）

   A  8               B  4             C 1              D

（3）．（2020·吉林省长春市实验中学高一月考（理））已知，，，则的最大值为（    ）

A．1 B． C． D．

【变式训练2】（1）．（2020·浙江省高一期中）已知正数a，b满足a+b=1，则的最小值等于__________ ，此时a=____________.

（2）．（2019·全国高一课时练习）正实数，满足，则的(   )

A．最小值为 B．最大值为

C．最小值为3 D．最大值为3

（3）．（2019·全国高一课时练习）函数的最小值为    （   ）

A.3 B.2 C. D.

四、课堂定时训练（45分钟）

1．若正数满足，则的最小值是（   ）

A．     B．          C．5             D．6

2．小王从甲地到乙地的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则（   ）

A．    B．=      C．<<      D．=

3．若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ）

 A．  B．    C．  D．

4．（2020·全国高一）已知，那么a，b，，的大小关系是______．（用“”号连接）

5．（2020·河北省博野中学高一开学考试）不等式的解集为____________．

6．（2020·上海高一课时练习）关于x的不等式的解集为则________，________．

7．（2020·四川省高一月考（理））解下列两个关于x的不等式：

（1）；

（2）

8．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用

为万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则的值是      ．

9．已知函数在时取得最小值，则_     _．

10．（2020·浙江省高二期中）若正实数、满足，则的最小值为_________；的最小值为_________．