专题09 随机抽样与用样本估计总体（课时训练）-【教育机构专用】2022年春季高一数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

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专题09 随机抽样与用样本估计总体
A组 基础巩固
1．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制如图所示）．

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；
②甲同学的平均分比乙同学高；
③甲同学成绩的极差是18；
④甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差．
上面说法正确的是（ ）
A．③④ B．①④ C．②④ D．②③
【答案】A
【分析】
由茎叶图数据，求出甲同学的极差，甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题．
【详解】
解：根据茎叶图数据知，
①甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是87.5，
甲的中位数小于乙的中位数；
②甲同学的平均分是，
乙同学的平均分是，
乙的平均分高；
③甲同学的极差为；
④甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大．
正确的说法是③④．
故选：A．
2．（2021·武威第六中学高三其他模拟（文））2021年开始，某省将试行“”的普通高考新模式，即除物理语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助政治学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）

A．甲的物理成绩领先年级平均分最多
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果
【答案】C
【分析】
根据雷达图，判断甲各科成绩与年级平均分的高低，以及各科成绩的高低，进而可确定理想的选科组合，即可判断各选项的正误.
【详解】
A：由图知：甲的物理成绩领先年级平均分1.5分左右，比化学、地理要高，正确；
B：其中有政治、历史比年级平均分低，正确；
C：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、物理或生物，错误；
D：由C知：物理、化学、地理对于甲是比较理想的一种选科结果，正确；
故选：C.
3．（2021·江西宜春市·上高二中高二其他模拟（文））某市为最大限度的吸引“高精尖缺”人才，向全球“招贤纳士”，推进了人才引入落户政策.随着人口增多，对住房要求也随之而来，而选择购买商品房时，住户对商品房的户型结构越来越重视，因此某商品房调查机构随机抽取名市民，针对其居住的户型结构和满意度进行了调查，如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为，二居室住户占.如图2是用分层抽样的方法从所有被调查的市民中，抽取10%组成一个样本，根据其满意度调查结果绘制成的统计图，则下列说法正确的是（ ）

A．样本容量为70
B．样本中三居室住户共抽取了25户
C．根据样本可估计对四居室满意的住户有70户
D．样本中对三居室满意的有15户
【答案】D
【分析】
推导出二居室有100户，三居室有300户，由此利用频率分布直方图和扇形统计图能求出结果.
【详解】
如图1调查的所有市民中四居室共200户，所占比例为，二居室住户占，
所以，二居室有户，三居室为300户，
由频率分布直方图和扇形统计图得：
在A中，样本容量为：，故A错误；
在B中，样本中三居室住户共抽取了户，所以B错误；
在C中，根据样本可估计对四居室满意的住户有户，所以C错误；
在D中，样本中对三居室满意的有户，所以D正确.
故选：D.
4．（2021·安徽宿州市·高三三模（文））教育部办公厅于2021年1月18日发布了《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，通知要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园．某学校为了解2000名学生的手机使用情况，将这些学生编号为1，2，…，2000，从这些学生中用系统抽样方法抽取200名学生进行调查．若58号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ）
A．9号学生 B．300号学生
C．618号学生 D．816号学生
【答案】C
【分析】
记被抽取到的学生的编号为，得到为等差数列，求得，结合选项，即可求解.
【详解】
记被抽取到的学生的编号为，则为等差数列，则，
可得，
由题意知，即，解得，所以，
当时，可得，
∴编号为618的学生可以被抽取到．
故选：C
5．（2021·山东潍坊市·高三三模）某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
设高三抽取的人数为人，根据分层抽样，列出方程即可求解.
【详解】
设高三抽取的人数为人，则，即.
故选：C
6．（2021·全国高三二模）某教辅研发机构为了解类试卷在学校的使用效果，拟采用分层抽样的方法，从语文.数学及英语三个学科的教师中抽取人到学校进行调查.已知该教辅研发机构语文，数学及英语三个学科教师的人数之比为则应从数学学科中抽取的人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题中条件， 由分层抽样，可直接得出结果.
【详解】
由题意，应从数学学科中抽取的人数为.
故选：C.
7．（2021·重庆高三二模）某学校为了解学校学生组成的跑步社团每月跑步的平均里程，收集并整理了2020年1月至2020年12月期间跑步社团的成员每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图：

根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D．1月至6月的月跑步平均里程相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】D
【分析】
对于A，利用中位数的定义求解；对于B，由折线图的变化情况判断即可；对于C，由折线图可判断；对于D，由折线图的变化情况判断即可
【详解】
解：对于A，由折线图可知，月跑步平均里程的中位数为5月份和7月份对应的平均里程的平均数，所以A错误；
对于B，由折线图可知，2月份互6月份月跑步平均里程逐月增加，而从6月份到8月份月跑步平均里程逐月减少，所以B错误；
对于C，由折线图可知月跑步平均里程高峰期大致在10月份，所以C错误；
对于D，由折线图可知1月至6月的月跑步平均里程相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，所以D正确，
故选：D
8．（2021·天津耀华中学）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果分成六组，得到频率分布直方图(如图)，则成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为（ ）

A．17 B．18 C．35 D．45
【答案】C
【分析】
由频率分布直方图求出相应频率，计算人数即可.
【详解】
由频率分布直方图可知，成绩大于等于15秒且小于17秒的人数的频率为，
所以成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为人，
故选：C
9．（2021·全国高三其他模拟（理））空气质量指数(AQI)是描述空气清洁或者污染的程度，是对二氧化硫､二氧化氮､PM10､PM2.5､一氧化碳和臭氧这6项污染物的统一评价，.AQI在空气为优，在空气为良，在为轻度污染，在为中度污染，在为重度污染，300以上为严重污染.如图为我国34个省级行政区某日的AQI数据条形图.给出下列结论：①当日超过半数以上的省级行政区空气为良；②当日省级行政区空气被污染的比例超过20%；③当日我国各省级行政区AQI的平均值小于100(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).其中正确的个数为（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】
根据图示，结合空气质量指数即可作出判断.
【详解】
由图中数据可知，34个省级行政区中空气为良的有18个，故①正确；
空气被污染的省级行政区个数为5+1=6，，故②不正确；
当日我国34个省级行政区AQI的平均值为，故③正确，
故选：B.
10．（2021·奉新县第一中学高三三模（文））某学校决定从该校的2000名高一学生中采用系统抽样（等距）的方法抽取50名学生进行体质分析，现将2000名学生从1至2000编号，已知样本中第一个编号为7，则抽取的第26个学生的编号为（ ）
A．997 B．1007 C．1047 D．1087
【答案】B
【分析】
按照等距系统抽样的定义进行分组抽样即可求得第26个学生的编号.
【详解】
按照等距系统抽样的定义，2000名学生分50组，即40人一组，第1组1~40，第2组41~80，…，第50组1961~2000；
若第一个编号为7，则后面每组的编号都比前一组多40，可以求得第26个学生的编号为：
，
故选：B
11．（2021·上海高三其他模拟）在某次数学测验中，6位学生的成绩如下：78，85，a，82，69，80，他们得平均成绩为80，他们成绩的中位数为___________.
【答案】81
【分析】
根据平均数的求法解得 ，将6个数从小到大排列，中间两数80，82和的一半为中位数.
【详解】
解：因为6位学生的成绩如下：78，85，a，82，69，80，他们得平均成绩为80，
所以78+85+a+82+69+80=6×80，解得a=86，
则将6位学生的成绩从小到大排列为：69，78，80，82，85，86，
所以他们成绩的中位数为.
故答案为：81
【点睛】
熟练掌握平均数，中位数的定义，注意：当奇数个数时，中位数为中间的那个数；当偶数个数时，中位数为中间两数和的一半.
12．（2021·北京人大附中高三其他模拟）为了解某班同学的100m成绩，体育老师抽取了6名男生和5名女生进行了测试，结果绘制成茎叶图如图所示.记这6名男生，5名女生测试成绩的中位数分别为，，则，的大小关系为________.

【答案】
【分析】
根据茎叶图中的数据分别得出这6名男生，5名女生测试成绩的中位数，从而得出答案.
【详解】
根据茎叶图中的数据可得这6名男生测试成绩的中位数
5名女生测试成绩的中位数
所以
故答案为：
13．（2021·江西师大附中高三三模（文））已知数据的标准差为，则数据的标准差为________．
【答案】
【分析】
由数据标准差可得方差，根据方差的性质可得新数据的方差，由此得到标准差.
【详解】
数据的标准差为，则其方差为，
的方差为，则其标准差为.
故答案为：.
14．（2021·山西太原市·高三一模（文））某公司初级､中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为___________.
【答案】90
【分析】
设抽取的样本中初级､中级和高级职称的人数组成一个公比为的等比数列，可得，再利用等比数列基本量运算，即可得到答案；
【详解】
根据题意知，抽取的样本中初级､中级和高级职称的人数也组成一个公比为的等比数列，且，
所以，
消去，解得，或(不合题意，舍去)，
当时，，
即被抽取的初级职工的人数为90.
故答案为：90.
15．（2021·内蒙古乌兰察布市·高三一模（文））高二11班共有男生30人，女生20人，按男女性别分层抽取一个容量为10人的样本，参加一个与兄弟班级的知识竞赛，抽取到的女生的数量是___________.
【答案】
【分析】
利用分层抽样的定义求解即可
【详解】
解：由题意可得，抽取到的女生的数量为
，
故答案为：4
16．（2021·陕西高三二模（文））某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为、、、.若低于60分的人数是6人，则参加该英语测试的学生人数是___________.

【答案】20
【分析】
本题首先可根据频率分布直方图得出第一、二组成绩低于60分，然后求出成绩低于60分的频率，最后根据低于60分的人数是6人即可得出结果.
【详解】
结合频率分布直方图易知，第一、二组成绩低于60分，
第一、二组对应矩形的高分别为、，每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率，
因为低于60分的人数是6人，所以该班的学生人数是，
故答案为：.




B组 能力提升
17．(多选题)（2021·山东滨州市·高三二模）已知一组数据的平均数､中位数､众数依次成等差数列，若这组数据丢失了其中的一个，剩下的六个数据分别是2，2，4，2，5，10，则丢失的这个数据可能是（ ）
A．-11 B．3 C．9 D．17
【答案】ABD
【分析】
设未知数据为a，先求得众数和平均值，分别求得，和情况下的中位数，根据等差中项的性质，列出等式，即可求得答案.
【详解】
设这个数据为a，由题意得，众数为2，平均数为，
若时，这列数为a，2，2，2，4，5，10，则中位数为2，
则，2，2成等差数列，所以，
解得，满足题意，故A正确；
若时，这列数为2，2，2，a，4，5，10，则中位数为a，
则，a，2成等差数列，所以，
解得，满足题意，故B正确；
若时，这列数为2，2，2， 4， a，5，10，则中位数为4，
则，4，2成等差数列，所以，
解得，满足题意，故D正确
故选：ABD
18．(多选题)（2021·福建厦门市·高三三模）记考试成绩的均值为，方差为，若满足，则认为考试试卷设置合理．在某次考试后，从20000名考生中随机抽取1000名考生的成绩进行统计，得到成绩的均值为63.5，方差为169，将数据分成7组，得到如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，则（ ）

A．本次考试成绩不低于80分的考生约为5000人
B．
C．本次考试成绩的中位数约为70
D．本次考试试卷设置合理
【答案】BC
【分析】
利用频率分布直方图可得及中位数，计算出不低于80分的考生的频率后可求相应的人数，从而可判断ABC的正误，再结合频率分布直方图求出可判断D的正误.
【详解】
由频率分布直方图可得，
故，故B正确.
不低于80分的考生的频率为，
故本次考试成绩不低于80分的考生约为人，故A错.
由频率分布直方图可得前4组的频率和为，故中位数约为70，故C正确.
由频率分布直方图可得：
，
故本次考试试卷设置不合理，故D错误.
故选：BC.
19．(多选题)（2021·全国高三专题练习）为促进儿童全面发展和健康成长，我国于2011年颁布实施《中国儿童发展纲要（2011-2020年）》.儿童文化产品和活动场所更加丰富.近年来，儿童接触文化艺术和娱乐体验的途径更加多元，可获得的文化产品和服务也更加丰富.如图为2011-2019年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间.则下列结论中正确的是（ ）

A．2018年全国少儿电视节目播出时间比上一年增长6.4%
B．2011-2019年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间中电视动画节目播出时间的方差最小
C．2011-2019年少儿广播节目播出时间的平均数约为21万小时
D．2011-2019年少儿广播节目、少儿电视节目、电视动画节目播出时间均逐年增长
【答案】BC
【分析】
通过折线图的分析，对四个选项一一验证.
【详解】
2018年全国少儿电视节目播出时间比上一年增长0.35%，故A错；
由图知电视动画节目播出时间的方差最小，B正确；
少儿广播节目播出时间的平均数21万小时，C正确；
2014年到2015年少儿电视节目播出时间降低，D错.
故选：BC
20．(多选题)（2021·全国高三专题练习）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天日平均温度不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件：
甲地：5个数据的中位数是24，众数是22；
乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；
丙地：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是10.2．
则下列说法正确的是（ ）
A．进入夏季的地区有2个 B．丙地区肯定进入了夏季
C．乙地区肯定还未进入夏季 D．不能肯定甲地区进入了夏季
【答案】ABC
【分析】
根据中位数、平均数，方差判断三地数据中最低的温度是否低于22℃，即可得．
【详解】
甲地：设甲地的其他两个数据分别为，，且，将5个数据由小到大排列得22，22，24，，，其中，满足进入夏季的标志；
乙地：设乙地其他四个数据分别为，，，，且，将5个数据由小到大排列得，，27，，，则，而，故，其中必有一个小于22，故不满足进入夏季的标志；
丙地：设5个数据分别为，，，，32，且，由方差公式可知，则
，易知，，，均大于22，满足进入夏季的标志综上，ABC正确，
故选：ABC．
21．(多选题)（2021·全国高三专题练习）某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，.若不低于80分的人数是35人，且同一组中的数据用该组区间的中点值代表，则下列说法中正确的是（ ）

A．该班的学生人数是50 B．成绩在的学生人数是12
C．估计该班成绩的平均分为85 D．估计该班成绩的方差为100
【答案】ACD
【分析】
根据频率之和为1可求出，然后依次计算每个选项的数据特征，即可判断.
【详解】
由题图可知，从而不低于80分的频率为，所以该班的学生人数是，所以A选项正确；
成绩在的频率为0.3，所以成绩在的学生人数是，所以B选项不正确；
因为，所以C选项正确；
因为，所以D选项正确.
故选：ACD.
22．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间、、…、、．

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；
（3）从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）可根据频率分布直方图得出结果；
（2）可通过后三组的频率之和得出结果；
（3）本题首先可令5名受访职工依次为、、、、，然后列出随机抽取2人的所有可能情况以及抽取2人的评分都在的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.
【详解】
（1），解得.
（2）由频率分布直方图易知：
50名受访学生评分不低于70的频率为，
故该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率的估计值为.
（3）受访学生评分在的有人，依次为、、，
受访学生评分在的有人，依次为、，
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，依次为：
、、、、、、、、、，
因为所抽取2人的评分都在的结果有3种，依次为、、，
所以此2人评分都在的概率.
23．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三一模（文））开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人．

（1）求的值，并估计本班参考学生的平均成绩；
（2）已知抽取的名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．
【答案】（1）；（分）；（2）．
【分析】
（1）根据频率分布直方图得到成绩在内的频率，再根据成绩在内的频数为3，求得样本容量，再利用平均数公式求解；
（2）根据频率分布直方图得到学生中成绩在的人数，然后利用古典概型公式求解.
【详解】
（1）由频率分布直方图知，成绩在内的频率为
．
因为成绩在内的频数为3，
所以抽取的样本容量．
所以参考学生的平均成绩为（分）．
（2）由频率分布直方图知，抽取的学生中成绩在的人数为，
因为有甲、乙两名女生，所以有两名男生．
用，表示两名男生，
从4人中任取2人的所有情况为甲乙，甲，甲，乙，乙，，共6种，
其中女学生甲被抽到的情况共3种．
所以随机抽取2人参加物理竞赛，其中女学生甲被抽到的概率为．
24．（2021·江西高三其他模拟（文））某甜品公司开发了一款甜品，现邀请甲．乙两地部分顾客进行试吃，并收集顾客对该产品的意见以及评分，所得数据统计如下图所示．

（1）试通过计算比较甲乙两地顾客评分平均数的大小（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若按照分层抽样的方法从甲地分数在的顾客中抽取人，再从这人中随机抽取人，求恰有人的分数在的概率．
【答案】（1）甲地顾客评分的平均数大于乙地；（2）．
【分析】
（1）由频率分布直方图估计平均数的方法计算可得甲乙两地顾客评分的平均数，由此得到结论；
（2）按照分层抽样原则可确定分数在的抽取人，的抽取人，采用列举法得到所有情况和满足题意的情况种数，由古典概型概率公式可得结果.
【详解】
（1）甲地顾客评分的平均数为：；
乙地顾客评分的平均数为：．
甲地顾客评分的平均数大于乙地．
（2）由题意知：分数在的抽取人，记为，分数的抽取人，记为．
则任取人，所有的情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种；
其中满足条件的为，，，，，，，，，，，，共种．
所求概率．
【点睛】
方法点睛：利用频率分布直方图估计众数、中位数和平均数的基本方法如下：
（1）众数：最高矩形横坐标的中点；
（2）中位数：将矩形总面积二等分的点的横坐标；
（3）平均数：每个小矩形横坐标中点与对应矩形的面积的乘积的总和.