第十六讲 等式性质与不等式性质-【暑假辅导班】2022年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019） 试卷

第十六讲：等式性质与不等式性质

【学习目标】

1.了解等式的性质.

2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．

【基础知识】

知识点一：等式的基本性质

1．如果a＝b，那么b＝a.

2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.

3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.

4．如果a＝b，那么ac＝bc.

5．如果a＝b，c≠0，那么＝.

知识点二：不等式的性质

【考点剖析】

考点一：不等式性质判断真假

例1．对于任意实数，，，，下列命题正确的是（    ）

 A．若，则 B．若，则

 C．若，则 D．若，，则

【答案】C

【详解】

A：若，则，故A错误；

B：若，则，则，故B错误；

C：因为，则，两边同除以，得，故C正确；

D：若，则，故D错误.

故选：C.

变式训练1：若，则下列不等关系一定正确的是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，，所以

故选：B

变式训练2：已知，则下列不等式一定成立的是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

  故A错误;

故B错误;

故C错误;

故D正确.

故选: D

变式训练3：下列结论正确的是（    ）

 A．若，则 B．若，则

 C．若，则 D．若，则

【答案】C

【详解】

对于A：当时，若取，则有.故A不正确；

对于B：当时，取时，有.故B不正确；

对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；

对于D：当，取时，有.故D不正确.

故选：C.

考点二：利用不等式性质证明

例2．已知，，，求证：

（1）；（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】

证明：（1）∵且，，

∴即；

（2）∵，∴，

又，∴，

∴，∴.

变式训练1：若.求证.

【答案】证明见解析.

【详解】

由，

得，

故得，

即，

又因为，

在不等式两边同时乘以得：

，

不等式得证.

变式训练2：已知，求证：

【答案】见解析

【详解】

因为，故，

要证，即证，

即证，

即证：，

因为，故，故，

因为，故，故，故原不等式成立.

变式训练3：已知，.证明：

（1）；（2）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【详解】

解：证明：（1）∵，，

∴，

又，，

∴，

故；

（2）由，得，

又，

∴，

即，

又，

∴.

考点三：不等式求解范围（一）

例3．已知，，求的范围.

【答案】

【详解】

解：，

，又，

.

变式训练1：已知，，则的取值范围是________

【答案】

【分析】

由条件可得，，然后可得答案.

【详解】

因为，，所以，

所以

故答案为：

变式训练2：若，则的取值范围是_________.

【答案】

【详解】

因为，故，且，所以，

故.

故答案为：.

变式训练3：若角满足，则的取值范围是_________，的取值范围是__________．

【答案】；

【详解】

由，

则，，且，

所以，，

所以的取值范围是，的取值范围是.

故答案为：；

考点四：不等式求解范围（二）

例4．已知，,则的范围___________的范围___________.

【答案】；

【详解】

由，可得，

又由，所以，即，

所以的范围；

由，可得，所以，

又由，所以，即，

所以的范围.

变式训练1：已知实数，满足，，则的最大值是________.

【答案】

【详解】

解：令，

解得：，，

又，，

，

即的最大值是.

故答案为：.

变式训练2：已知，则的取值范围是_________，的取值范围是________．

【答案】；

【详解】

，即，，，

又，，；

又，，又，.

综上所述：的取值范围为；的取值范围为.

故答案为：；.

变式训练3：已知，，则的范围是_________，的范围是________．

【答案】；

【详解】

，，两个不等式相加可得，解得，

设，

所以，，解得，，

因为，，

由不等式的基本性质可得.

故答案为：；.

【当堂小结】

1．知识清单：

(1)等式的性质．

(2)不等式的性质及其应用．

2．方法归纳：作商比较法、乘方比较法．

3．常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．

【过关检测】

1、若，则下列不等式中，不能成立的是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

若，

则，即，A成立；

，即，B不成立；

，C成立；，D成立；

故选：B

2、如果那么下列说法正确的是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，不等式两边同时减去得，D正确，

若，则AB错误，若，C错误．

故选：D．

3、已知，且，那么下列各式中正确的是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于A选项：举反例，则，则A不成立；

对于B选项：举反例，则，所以，则B不成立；

对于C选项：举反例，则，所以，则C不成立；

对于D选项：

∵，∴

又∵

∴，即.则D成立

故选：D.

4、已知，满足，，，则（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因，，则a>0，b<0，，A不正确；，则，B不正确；

又，即，则，，C正确；由得，D不正确.

故选：C

5、下列命题中，正确的是（    ）

 A．若，则  B．若，则

 C．若，则 D．若，，则

【答案】C

【详解】

对于A，当，时，满足，但不满足，故A不正确；

对于B，当时，由可得，故B不正确；

对于C，若，则，即，故C正确；

对于D，当，时，满足，但是，故D不正确.

故选：C

6、若为实数，且，则下列命题正确的是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于A，当时，，A错误；

对于B，当，时，，，此时，B错误；

对于C，，，C错误；

对于D，，，，，

，D正确.

故选：D.

7、下列说法不正确的是（    ）

 A．若都是正数，则

 B．若，则

 C．若都是正数，且则

 D．若，则

【答案】A

【详解】

A中，由，当时，，故A错；

B中，由

所以则，故B正确；

C中，由，则

所以得；由 所以即，所以，C正确；

D中，由所以，则，D正确

故选：A

10、对于任意实数，有下列结论：

①若，，则；②若，则；

③若，则；④若，则

其中正确的是（    ）

 A．① B．② C．③ D．④

【答案】C

【详解】

对于①：若，，则；故①错误；

对于②：若，则；故②错误；

对于③：若，则 ，所以，把乘以，得：.

故③正确；

对于④：若，取a=1，b=-1，此时；故④错误.

故选：C

11、若，则的取值范围是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，所以，即的取值范围是．

故选：C．

12、角满足，则的取值范围是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为，则，

所以，即，

又，所以.

故选：A.

13、设，满足，则的取值范围是（    ）

 A． B．

 C． D．

【答案】A

【详解】

∵，满足，∴，，

∴，∴，

∴，∵，∴，

∴，

故选：A

14、已知，则的取值范围是（    ）

 A．  B．

 C．  D．

【答案】A

【详解】

因为，

可得，

所以，

即；

故选：A.

15、已知实数满足则（    ）

 A．的取值范围为 B．的取值范围为

 C．的取值范围为 D．的取值范围为

【答案】ABD

【详解】

因为，所以.因为，所以，则，故A正确；

因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；

因为，所以，则，故C错误；

因为，所以，则，故D正确.

故选：ABD.

16、已知，，则下列正确的是（    ）

 A． B． C． D．

【答案】AB

【详解】

因为，，

所以，，

则，，，

即，，，则；

故AB正确，CD错.

故选：AB.

17、已知实数满足，则（    ）

A．  B．

 C．  D．

【答案】AC

【详解】

因为，所以，A正确；

因为，所以，解得，B错误；

因为，，所以，C正确；

，，所以， D错误.

故选：AC.

18、已知，则的取值范围是________________.

【答案】；

【详解】

解：，因为，

所以，所以，

故答案为:

19、已知，则的取值范围是____________.

【答案】

【详解】

解：令，

则，解得，

所以，

因为，所以，

因为，

所以，

所以，

所以的取值范围为，

故答案为：

20、已知，则的取值范围是_____．

【答案】

【详解】

设，因此得：，，

，

因为，所以，因此，

所以.

故答案为：

21、若，，则的范围是___________，的范围是___________．

【答案】；

【详解】

因为，所以，

由可得，

所以，

由可得，

因为，所以，

所以的范围是，的范围是，

故答案为：；.

22、设，则的取值范围是________（取值范围写成区间形式）

【答案】

【详解】

解：由，得，

所以，所以，即，

因为，所以，即，

所以的取值范围是，

故答案为：

23、已知，满足.

（1）求证：；

（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数，使对任意恒成立，试写出一个，并证明之.

【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析.

【详解】

（1）由于，所以，，，

要证，

只需证明.

左边

（2）要使，只需，

左边，

所以只需即可，即，所以可以取，3代入上面过程即可.

24、（1）已知，求证：；

（2）已知，求证：；

（3）已知，求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【详解】

证明：（1）因为，所以.

则.

（2）因为，所以.

又因为，所以

，

即，因此.

（3）因为，根据（2）的结论，得

.

又因为，

则 ，

即.

25、若，,

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，.

【详解】

（1）因为，且，所以，所以.

（2）因为，所以．又因为 ，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．所以．

所以，

因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．

所以，

所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得.

（3）因为，，

所以，

因为，，

所以，

所以.

所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式满足题意.

26、设，，求，，的范围．

【答案】，，．

【详解】

∵，，

∴，，，

∴；

当时，，则，所以；

当时，；

当时，，

综上，，

故，，．

27、实数满足，．

（1）求实数的取值范围；

（2）求的取值范围．

【答案】（1），；（2）．

【分析】

（1）直接利用不等式的性质即可求得，的取值范围；

（2）设，求解，的值，再由不等式的可乘积性与可加性求得的取值范围．

【详解】

（1）由，，

两式相加得，，则，

由，

得，

又，

两式相加得，，即；

（2）设，

则，解得，

∴，

∵，

∴，

则．