专题强化训练试卷三 平面向量及其应用（基础练，含解析）-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

专题强化训练试卷三 平面向量及其应用 (基础篇）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设分别是与同向单位向量，则下列结论中正确的是（    ）

A.           B.          C.         D.

【答案】C

【解析】由题,分别是与同向的单位向量,即,

故,即选项C正确；

因为的方向未知,故选项A,B,D不正确,故选:C

2.中，已知，则等于(　　)

A.       B.        C.       D.

【答案】

【解析】在中，由正弦定理得，所以

，又，因此，所以．答案：．

3.中所在的平面上的点满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】因为，所以，

所以，故选：D．

4.如图，设点在河两岸，一测量者在的同侧所在的河岸边选定一点．测出两点间的距离为．，则两点间的距离为（    ）m．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】在中,，

则

由正弦定理得 ，

所以 m.故选：C.

5.已知的内角所对的边分别为，且满足，则该三角形为（    ）

A. 等腰三角形       B. 等腰直角三角形       C. 等边三角形      D. 直角三角形

【答案】D

【解析】由，即，化简得，所以为直角三角形．

故选：．

6.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边.若，，则面积S的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】∵，则sinC＝（sinBcosC+cosBsinC）＝sin（B+C）＝sinA，由正弦定理得c＝a，∵b＝2，

△ABC的面积

＝ ，∴当即a＝2时，△ABC的面积S有最大值为．

故选：C．

7.设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，，则为（    ）

A. 4∶3∶2 B. 5∶6∶7 C. 5∶4∶3 D. 6∶5∶4

【答案】D

【解析】因为a，b，c为连续的三个正整数，且A>B>C，可得

a＝c＋2，b＝c＋1        ①

又因为3b＝20acosA，由余弦定理可知cosA＝，则

3b＝20a· ②

联立①②，化简可得7c2－13c－60＝0，解得c＝4或c＝－ (舍去)，则a＝6，b＝5.

又由正弦定理可得，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝6∶5∶4.故选：D.

8.在锐角中，为边上的一点，若，，若，则的值为(   )．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】       

由，则 ，

又因为 ，所以（1）

设，则，

在中，由余弦定理可知

同理在中，，

因为与互补，所以，

即，化简可得，

由代入（1）式化简可得 。故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.已知，如下四个结论正确的是（       ）

A. ； B. 四边形为平行四边形；

C. 与夹角的余弦值为； D.

【答案】BD

【解析】由，

所以，，， ,

对于选项A，，故A错误；

对于选项B，由，，则，

即与平行且相等，故B正确；

对于选项C，，故C错误；

对于选项D，，故D正确；故选：BD

10.在中，若，则可能为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】由正弦定理可得：，

则，，

故：，

由则或.故选：AD.

11.是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论中正确的是（    ）

A. 为单位向量        B.         C.          D.

【答案】ACD

【解析】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，对于选项A，则，，所以，即是单位向量，A正确；

对于选项B， 由，得，，，故，夹角为，故B错误；

对于选项C，因为，所以，C正确；

对于选项D， ，故D正确．

故选：ACD．

12.下列关于平面向量的说法中正确的是（    ）

A．设，为非零向量，则“”是“”的充要条件

B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角

C．设，，为非零向量，则

D．若点G为的重心，则

【答案】AD

【解析】对于选项A，因为

所以“”是“”的充要条件，A正确；

对于选项B，若，则，的夹角为锐角或零角，B错误；

对于选项C，表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以两者不一定相等，故C错误；

对于选项D，如图，设BC的中点为D，因为G为的重心，

所以，即，D正确.

故选：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.在锐角中，，则________.

【答案】

【解析】因为，

所以由正弦定理得，

又，所以，

因为，所以.故答案为：

14.已知平面向量，，则与的夹角为______.

【答案】

【解析】，，，.

设与的夹角为，则，，，

因此，与的夹角为.故答案为：.

15.已知分别是的内角的对边，，

则角的大小为_______；若，则面积的最大值为____________．

【答案】 ；

【解析】因为，

由正弦定理得，由余弦定理得，

因为，所以；

因为，并由（1）得，

所以，所以，

当时取等号，所以

所以的最大值是.故答案为：；

16.△ABC中，点M是边BC的中点，，，则_____.

【答案】

【解析】因为点M是边BC的中点，

所以（），又因为，

所以（）（）（），

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知向量，满足，，，的夹角为.

（1）若，求的值；

（2）若，求的最小值.

【答案】(1)0;(2)

【解析】（1）∵，，，

∴，

∴.

（2）当时，

∵

.

∴当时，取得最小值.

18.在中，已知，，°.

(1)求的长;

(2)求的值.

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）∵在中.已知，，°.
∴由余弦定理可得：；
（2）∵由正弦定理可得：，
又，
.

19. 如图，在中，，，分别在边上，且满足，为中点．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求边的长．

【答案】（1）（2）6

【解析】（1）因为，所以，

所以，所以，

（2）因为，

，

所以，

设，因为，

所以，又因为，

所以，

化简得，

解得(负值舍去)，所以的长为6．

20.如图，警察甲骑电瓶车从出发，以的速度沿方向巡逻.已知，，，.

（1）警察甲需要多少分钟达到处？（结果保留两位小数）

（2）警察甲出发后，警察乙开警车以的速度沿方向巡逻，试问：甲、乙两人谁先达到处？

参考数据：，，.

【答案】（1）；（2）警察乙先到达处.

【解析】（1）在三角形中，

所以，

因为，所以由正弦定理可知

因为

所以

因为，所以

所以.

（2）在三角形中，余弦定理知

得.

在三角形中，由，

所以

所以警察乙先到达处.

21.在中，角，，的对边分别为，，，若.

（1）求角的大小；

（2）设的中点为，且，求的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意得，即

则，所以.

（2）设，则中，由可知

由正弦定理及可得

所以，

所以

由可知，

所以当，即时，的最大值为.

22. 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC，设.

（1）当时，求四边形OACB的面积；

（2）求线段OC长度最大值，并指出此时的值.

【答案】（1）（2）3

【解析】

（1）当时，，

所以

（2），所以，

由正弦定理得，即，

所以，

所以

，

由余弦定理得

，

因为，所以当时，取得最大值3.