专题5 充要条件-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

专题5 充要条件

题组1 充要条件的判断

1.设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈(A∪B)”是“x∈C”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，

∵A∪B＝C，∴x∈(A∪B)是x∈C的充要条件．

2.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　)

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，两边平方得ab＝0，故具备充分性．若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0，故具备必要性．故选C.

3.方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是(　　)

A.0＜a≤1

B．a＜1

C．a≤1

D.0＜a≤1或a＜0

【答案】C

【解析】方法一　(直接法)：当a＝0时，x＝－，符合题意；当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，解得a＜0; 若方程两根均负，解得0＜a≤1.

综上所述，充要条件是a≤1.

方法二　(排除法)：当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.故选C.

4．在下列三个结论中，正确的有（     ）

①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；

②在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充要条件；

③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.

A．①② B．②③

C．①③ D．①②③

【答案】C

【解析】①，x2>4即或，x3<－8即，因为或成立时，不一定成立，所以x2>4是x3<－8的不充分条件；因为成立时，或一定成立，所以x2>4是x3<－8的必要条件.即x2>4是x3<－8的必要不充分条件.所以该命题正确.

②，AB2＋BC2＝AC2成立时，ABC为直角三角形一定成立；当ABC为直角三角形成立时，AB2＋BC2＝AC2不一定成立，所以在ABC中，AB2＋AC2＝BC2是ABC为直角三角形的充分不必要条件，所以该命题错误.

③,即判断“”是“a2＋b2=0”的什么条件，由于a2＋b2=0即，所以“”是“a2＋b2=0”的充要条件，所以“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件，所以该命题正确.

故选：C.

题组2 寻求充要条件

5.设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(　　)

A.m＞－1，n＜5

B.m＜－1，n＜5

C.m＞－1，n＞5

D.m＜－1，n＞5

【答案】A

【解析】A∩(∁UB)满足

∵P(2,3)∈A∩(∁UB)，则∴

6.已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0①，x2－4mx＋4m2－4m－5＝0②，求使方程①②都有实数根的充要条件.

【答案】方程①有实数根的充要条件是即m≤1且m≠0.

方程②有实数根的充要条件是Δ2＝(－4m)2－4(4m2－4m－5)≥0，即m≥－.

∴方程①②都有实数根的充要条件是－≤m≤1，且m≠0，即－≤m＜0或0＜m≤1.

题组3 充要条件的证明

7.求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜.

【答案】证明　(1)充分性：当0＜m＜时，Δ＝4－12m＞0，所以方程mx2＋2x＋3＝0有两个不相等的实根，设为x1，x2.

由一元二次方程根与系数的关系可知，x1x2＝＞0，

故方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根.

即0＜m＜⇒方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根.

(2)必要性：若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，

则∴0＜m＜，

即方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m＜.

综上可知，方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜.

8．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

【答案】见解析．

【解析】充分性：若，则，且，方程方程有一正根和一负根；必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，则，，即可得结论.
试题解析：(1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0.

(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

9．已知是实数，求证：成立的充分条件是，该条件是否为必要条件？试证明你的结论．

【答案】必要条件,证明见解析.

【解析】由，即

由

则由

所以成立的充分条件是

另一方面

如果

因为,

故,

所以成立的必要条件是.

题组4 由充分、必要条件求参数的范围

10.已知p：＜1，q：x2＋(a－1)x－a＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－2，－1]

B.[－2，－1]

C.[－3,1]

D.[－2，＋∞)

【答案】A

【解析】不等式＜1等价于－1＜0，即＞0，解得x＞2或x＜1，

所以p为(－∞，1)∪(2，＋∞).

不等式x2＋(a－1)x－a＞0可以化为(x－1)(x＋a)＞0，当－a≤1时，解得x＞1或x＜－a，

即q为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此时a＝－1；

当－a＞1时，不等式(x－1)(x＋a)＞0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此时－a＜2，

即－2＜a＜－1.

综上可知，a的取值范围为(－2，－1].

11.已知p：|x－4|＞6，q：x2－2x＋1－a2＞0(a＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________.

【答案】0＜a≤3

【解析】依题意，可得p：A＝{x|x＜－2或x＞10}，

q：B＝{x|x＜1－a或x＞1＋a，a＞0}.

∵p是q的充分不必要条件，∴A⊆B且A≠B，

⇒0＜a≤3，∴实数a的取值范围是0＜a≤3.

12.已知p：，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}，若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________.

【答案】[9，＋∞)

【解析】由已知，p⇒q，q⇏p.                                                                     

13.已知M＝{x|(x＋3)(x－5)＞0}，P＝{x|x2＋(a－8)x－8a≤0}.

(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件；

(2)求a的一个取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要不充分条件.

【答案】M＝{x|x＜－3或x＞5}，P＝{x|(x＋a)(x－8)≤0}.

(1)显然，当－3≤－a≤5，即－5≤a≤3时，

M∩P＝{x|5＜x≤8}.取a＝0，由M∩P＝{x|5＜x≤8}不能推出a＝0.

所以a＝0是M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件.

(2)当M∩P＝{x|5＜x≤8}时，－5≤a≤3，此时有a≤3，但当a≤3时，推不出M∩P＝{x|5＜x≤8}.所以a≤3是M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个必要不充分条件.

14．命题；命题

（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值

【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）若在上恒成立，

则，

所以有，

所以实数的范围为；

（2）或，

根据条件的解集是，

即方程的二根为2和3，

根据韦达定理有，

所以，．

15．已知，.

（1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由；

（2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）不存在实数，使是的充要条件

（2）当实数时，是的必要条件

【解析】（1）.

要使是的充要条件，则，即此方程组无解，

则不存在实数，使是的充要条件；

（2）要使是的必要条件，则，

当时，，解得；

当时，，解得

要使，则有，解得，所以，

综上可得，当实数时，是的必要条件．

题组5 含有否定性语句的命题处理

16.设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】设A＝{x|(4x－3)2≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，

易知A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}.

由p是q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，

∴或故所求实数a的取值范围是.

17.已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且p是q的充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】由得即2＜x＜3.∴q：2＜x＜3.

设A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}，

∵p⇒q，∴q⇒p.∴B⊆A.

∴2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0.

设f(x)＝2x2－9x＋a，要使2＜x＜3满足不等式2x2－9x＋a＜0，

需即∴a≤9.

故所求实数a的取值范围是(－∞，9].

17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.

【答案】设A＝{x|x满足p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0，a＜0}＝{x|3a＜x＜a，a＜0}，

B＝{x|x满足q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8＞0}

＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x＜－4或x＞2}＝{x|x＜－4或x≥－2}.

∵p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p⇏q.

则{x|x满足q}{x|x满足p}，而{x|x满足q}＝∁RB＝{x|－4≤x＜－2}，

{x|x满足p}＝∁RA＝{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，

∴{x|－4≤x＜－2}{x|x≤3a或x≥a(a＜0)}，

则或即－≤a＜0或a≤－4.

∴a的取值范围为.