专题14 函数的单调性-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

专题14 函数的单调性

题组1 函数的单调性的概念

1.如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中不正确的是（　　）

A.>0

B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0

C.若x1<x2，则f（a）<f（x1）<f（x2）<f（b）

D.>0

2.在下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）的是（　　）

A.f（x）＝x2

B.f（x）＝

C.f（x）＝|x|

D.f（x）＝2x＋1

3.下列说法中正确的有（　　）

①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f（x1）<f（x2），则y＝f（x）在I上是增函数；

②函数y＝x2在R上是增函数；

③函数y＝－在定义域上是增函数；

④函数y＝的单调减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）.

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

4.下列有关函数单调性的说法，不正确的是（　　）

A.若f（x）为增函数，g（x）为增函数，则f（x）＋g（x）为增函数

B.若f（x）为减函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为减函数

C.若f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f（x）＋g（x）为增函数

D.若f（x）为减函数，g（x）为增函数，则f（x）－g（x）为减函数

5.下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），则下列关于函数f（x）的说法错误的是（　　）

A.函数在区间[－5，－3]上单调递增

B.函数在区间[1,4]上单调递增

C.函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减

D.函数在区间[－5,5]上没有单调性

题组2 函数的单调性的判定与证明

6.在下面的四个选项所给的区间中，函数f（x）＝x2－1不是减函数的是（　　）

A.（－∞，－2）

B.（－2，－1）

C.（－1,1）

D.（－∞，0）

7.已知函数f（x）在R上是增函数，则下列说法正确的是（　　）

A.y＝－f（x）在R上是减函数

B.y＝在R上是减函数

C.y＝[f（x）]2在R上是增函数

D.y＝af（x）（a为实数）在R上是增函数

8.下列函数中在区间（－∞，0）上单调递增，且在区间（0，＋∞）上单调递减的函数为（　　）

A.y＝

B.y＝

C.y＝x2

D.y＝x3

9.若函数y＝ax与y＝－在（0，＋∞）上都是减函数，则y＝ax2＋bx在（0，＋∞）上（　　）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

10.对于函数f（x）＝x2＋|x－a|＋1（a∈R），下列结论中正确的是（　　）

A.当a≥0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减

B.当a≤0时，f（x）在（－∞，0）上单调递减

C.当a≥时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增

D.当a≤时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增

11.函数y＝f（x）对于任意x，y∈R，有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）＝4，则（　　）

A.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝3

B.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝3

C.f（x）在R上是减函数，且f（1）＝2

D.f（x）在R上是增函数，且f（1）＝2

12.已知f（x）是定义在R上的增函数，给出下列结论：①y＝[f（x）]2是增函数；②y＝是减函数；③y＝－f（x）是减函数；④y＝|f（x）|是增函数，其中错误的结论是________.

13.证明f（x）＝在其定义域上是增函数.

（1）求m的值；

14.已知函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x>0时，0<f（x）<1.求证：f（x）在R上是减函数.

15.已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数.

16.已知函数f（x）的定义域为R，且对m，n∈R，恒有f（m＋n）＝f（m）＋f（n）－1，且

f（－）＝0，当x>－时，f（x）>0.

（1）求证：f（x）是R上的增函数；

（2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

题组3 求函数的单调区间

17.函数y＝的单调递增区间是（　　）

A.（－∞，－3]

B.

C.（－∞，1）

D.

18.函数y＝x2＋x＋1（x∈R）的递减区间是（　　）

A.[－，＋∞）B.[－1，＋∞）C.（－∞，－]D.（－∞，＋∞）

19.如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

20.求下列函数的单调区间.

（1）f（x）＝（x∈[－2,4]）；

（2）y＝.

题组4 函数单调性的应用

21.若函数f（x）＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为（　　）

A.[，）

B.（0，）

C.[，＋∞）

D.（－∞，]∪[，＋∞）

22.若函数f（x）＝ax2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（　　）

A.0＜a≤

B.0≤a≤

C.0＜a＜

D.a＞

23.若函数f（x）＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是（　　）

A.（－∞，40]

B.[40,64]

C.（－∞，40]∪[64，＋∞）

D.[64，＋∞）

24.函数f（x）在（－∞，＋∞）上单调递减，且为奇函数.若f（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是（　　）

A.[－2,2]

B.[－1,1]

C.[0,4]

D.[1,3]

25.设奇函数f（x）在[－1,1]上是增函数，且f（－1）＝－1，若对所有的x∈[－1,1]及任意的a∈[－1,1]满足f（x）≤t2－2at＋1，则t的取值范围是（　　）

A.－2≤t≤2

B.－≤t≤

C.t≥2或t≤－2或t＝0

D.t≥或t≤－或t＝0

26.已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，若a，b∈R且a＋b>0，则有（　　）

A.f（a）＋f（b）>－f（a）－f（b）

B.f（a）＋f（b）<－f（a）－f（b）

C.f（a）＋f（b）>f（－a）＋f（－b）

D.f（a）＋f（b）<f（－a）＋f（－b）

27.如果f（x）＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f（3＋t）＝f（3－t），那么（　　）

A.f（3）<f（1）<f（6）

B.f（1）<f（3）<f（6）

C.f（3）<f（6）<f（1）

D.f（6）<f（3）<f（1）

28.设函数f（x）的定义域是（0，＋∞），且对任意正实数x，y都有f（xy）＝f（x）＋f（y）恒成立，已知f（2）＝1，且x>1时，f（x）>0.

（1）求f（）的值；

（2）判断y＝f（x）在（0，＋∞）上的单调性并给出证明；

（3）解不等式f（2x）>f（8x－6）－1.