专题18 函数单调性和奇偶性的综合应用-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

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专题17 函数单调性和奇偶性的综合应用
1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（　　）
A.y＝x3
B.y＝|x|＋1
C.y＝－x2＋1
D.y＝2－|x|
【答案】B
【解析】∵y＝x3在定义域R上是奇函数，∴A不对；
y＝－x2＋1在定义域R上是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，故C不对；
D中y＝2－|x|＝|x|虽是偶函数，但在（0，＋∞）上是减函数，只有B对.
2.f（x）＝x2＋|x|（　　）
A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数
B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数
C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数
D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数
【答案】D
3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（　　）
A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数
B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数
C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数
D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数
【答案】C
【解析】因为f（－x）＝－3x＋＝－（3x－）＝－f（x），又因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数.
4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（　　）
A.在[－1,0]上是增函数
B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数
C.在[1,0]上是减函数
D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数
【答案】A
【解析】因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，又f（x）为偶函数，且在[1,2]上是增函数，所以f（x）在[－1,0]上是增函数.
5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（　　）
A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数
B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数
C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数
D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数
【答案】C
【解析】A错误.设f（x）＝x，是增函数，但f（x）＋f（－x）＝x－x＝0是常数函数；同理B错误；C正确.
设g（x）＝f（x）－f（－x），则g（－x）＝f（－x）－f（x）＝－[f（x）－f（－x）]＝－g（x），函数g（x）是奇函数.
任取x1，x2∈R，且x1 则－x1>－x2,g（x1）＝f（x1）－f（－x1）,g（x2）＝f（x2）－f（－x2），
因为f（x）是定义在R上的增函数，
所以f（x1）f（－x2），
即－f（－x1）<－f（－x2）.
所以f（x1）－f（－x1） 即g（x1） 所以函数g（x）＝f（x）－f（－x）是增函数；D错误.故选C.
6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（　　）
A.f（1）>f（2）
B.f（1）>f（－2）
C.f（－1）>f（－2）
D.f（－1） 【答案】D
【解析】∵当x≥0时，f（x）＝x＋1是增函数，
∴f（1） 又∵f（x）为偶函数，
∴f（1）＝f（－1），f（2）＝f（－2），
∴D对.
7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（　　）
A.f B.f（－1） C.f（2） D.f（2） 【答案】B
【解析】∵对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，
都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，
∴函数f（x）在（－∞，－1]上单调递减，
∴f（－2）>f>f（－1）.
又∵f（x）是偶函数，∴f（－2）＝f（2）.
∴f（－1） 8.定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，＋∞）上的图象与f（x）的图象重合.设a>b>0，给出下列不等式（ ）
①f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）；②f（b）－f（－a） ③f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a）；④f（a）－f（－b） 其中成立的是（　　）
A.①与④
B.②与③
C.①与③
D.②与④
【答案】C
【解析】因为函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在区间[0，＋∞）的图象与f（x）的图象重合，
所以函数g（x）在[0，＋∞）上是增函数，在（－∞，0）上是减函数.
a>b>0，f（a）>f（b），g（a）>g（b），所以f（a）＋g（a）>f（b）＋g（b）;
对于①：f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b），即f（b）＋f（a）>g（a）－g（b）.正确；则②错误；
对于③：f（a）－f（－b）>g（b）－g（－a），即f（a）＋f（b）>g（b）－g（a）.正确；则④错误.
故选C.
9.定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（－∞，0]（x1≠x2），有（x2－x1）·[f（x2）－f（x1）]＞0，则当n∈N*时，有（　　）
A.f（－n）＜f（n－1）＜f（n＋1）
B.f（n－1）＜f（－n）＜f（n＋1）
C.f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）
D.f（n＋1）＜f（n－1）＜f（－n）
【答案】C
【解析】由（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]＞0，得f（x）在x∈（－∞，0]上为增函数.
又f（x）为偶函数，
∴f（x）在x∈[0，＋∞）上为减函数.
又f（－n）＝f（n）且0≤n－1＜n＜n＋1，
∴f（n＋1）＜f（n）＜f（n－1），
即f（n＋1）＜f（－n）＜f（n－1）.
10.若函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，则x·f（x）＜0的解集是（　　）
A.（－2,0）∪（0,2）
B.（－∞，－2）∪（0,2）
C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D.（－2,0）∪（2，＋∞）
【答案】A
【解析】因为函数f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上是增函数，又f（－2）＝0，所以可画出符合条件的奇函数f（x）的图象，如图所示.

因为x·f（x）＜0，所以或结合图象，得到答案为A.
11.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，－2）上是减函数，若g（x）＝f（x－2）是奇函数，且g（2）＝0，则不等式xf（x）≤0的解集是（　　）
A.（－∞，－2]∪[2，＋∞）
B.[－4，－2]∪[0，＋∞）
C.（－∞，－4]∪[－2，＋∞）
D.（－∞，－4]∪[0，＋∞）
【答案】C
【解析】g（x）＝f（x－2）是把函数f（x）向右平移2个单位得到的，且g（2）＝f（0），f（－4）＝g（－2）＝－g（2）＝0，f（－2）＝g（0）＝0，所以函数f（x）的图象关于点（－2,0）对称，所以当x≤－4或x≥－2时xf（x）≤0成立.
12.设f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，则x·f（x）<0的解集为（　　）
A.（－1,0）∪（2,＋∞）
B.（－∞，－2）∪（0,2）
C.（－∞，－2）∪（2,＋∞）
D.（－2,0）∪（0,2）
【答案】C
【解析】因为函数f（x）为奇函数，且在（－∞，0）内是减函数，f（－2）＝0，所以函数f（x）在（0，＋∞）内也是减函数，且f（2）＝0.则不等式x·f（x）<0可化为
或解得x<－2或x>2.
13.若函数f（x）＝ax2＋（2＋a）x＋1是偶函数，则函数f（x）的单调增区间为（　　）
A.（－∞，0]
B.[0，＋∞）
C.（－∞，＋∞）
D.[1，＋∞）
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，
即该函数为f（x）＝－2x2＋1，所以函数的单调增区间为（－∞，0].
14.已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________.（填写序号）
①f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）；
②f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）；
③f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）；
④f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）.
【答案】③
【解析】将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝画出函数f（x）的图象，如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1,1）上单调递减.

15.若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是减函数，设f＝m，f＝n，则m，n的大小关系是________.
【答案】m≥n
【解析】因为a2＋2a＋＝（a＋1）2＋≥，
又f（x）在[0，＋∞）上是减函数，
所以f≤f＝f.
16.已知函数f（x）＝（k－2）x2＋（k－1）x＋3是偶函数，则f（x）的单调递增区间是________.
【答案】（－∞，0]
【解析】∵f（x）为偶函数，∴图象关于y轴对称，即k＝1，此时f（x）＝－x2＋3，其单调递增区间为（－∞，0].
17.已知函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且当x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.
（1）试求f（x）在R上的解析式；
（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
【答案】（1）因为函数f（x）的图象关于原点对称，
所以f（x）为奇函数，则f（0）＝0.
设x<0，则－x>0，
因为x>0时，f（x）＝x2－2x＋3.
所以f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x＋3）＝－x2－2x－3.
于是有f（x）＝
（2）先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图.

由图象可知函数f（x）的单调递增区间是（－∞，－1]，[1，＋∞），单调递减区间是（－1,0），（0,1）.
18.设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋2x，求函数f（x），g（x）的解析式.
【答案】∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），
由f（x）＋g（x）＝2x＋x2.①
用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝－2x＋（－x）2，
∴f（x）－g（x）＝－2x＋x2，②
（①＋②）÷2，得f（x）＝x2；
（①－②）÷2，得g（x）＝2x.
19.已知函数f（x）＝－x3＋3x.求证：
（1）函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在区间（－1,1）上是增函数.
【答案】（1）显然f（x）的定义域是R.
设任意x∈R，
因为f（－x）＝－（－x）3＋3（－x）
＝－（－x3＋3x）＝－f（x），
所以函数f（x）是奇函数.
（2）在区间（－1,1）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x2）－f（x1）
＝－（x2－x1）（＋x2x1＋）＋3（x2－x1）
＝（x2－x1）（3－－x2x1－）.
因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，
（3－－x2x1－）＞0，
所以f（x2）＞f（x1）.
所以函数f（x）＝－x3＋3x在区间（－1,1）上是增函数.
20.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝.
（1）求a，b，c的值；
（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.
【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），
∴－ax－＋c＝－ax－－c，
∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.
又∵f（1）＝，f（2）＝，
∴
∴a＝2，b＝.
综上，a＝2，b＝，c＝0.
（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.
函数f（x）在区间上为减函数.
证明如下：
任取0 则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－
＝（x1－x2）
＝（x1－x2）.
∵0 ∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.
∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.
∴f（x）在上为减函数.
21.设定义域为R的函数f（x）＝
（1）在平面直角坐标系内作出函数f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间（不需证明）；
（2）若方程f（x）＋2a＝0有两个解，求出a的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）；
（3）设定义为R的函数g（x）为奇函数，且当x>0时，g（x）＝f（x），求g（x）的解析式.

【答案】（1）如图.

单调增区间：[－1,0]，[1，＋∞），单调减区间（－∞，－1]，[0,1].
（2）在同一坐标系中同时作出y＝f（x），y＝－2a的图象，由图可知f（x）＋2a＝0有两个解，
须－2a＝0或－2a>1，即a＝0或a<－.
（3）当x<0时，－x>0，所以g（－x）＝（－x）2－（－2x）＋1＝x2＋2x＋1，
因为g（x）为奇函数，所以g（x）＝－g（－x）＝－x2－2x－1，
且g（0）＝0，所以g（x）＝
22.已知函数f（x）＝ax＋（x≠0，常数a∈R）.
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[3，＋∞）上为增函数，求a的取值范围.
【答案】（1）定义域（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称.
当a＝0时，f（x）＝，满足对定义域上任意x，f（－x）＝f（x），∴当a＝0时，f（x）是偶函数；
当a≠0时，f（1）＝a＋1，f（－1）＝1－a，
若f（x）为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；
若f（x）为奇函数，则1－a＝－（a＋1），1＝－1矛盾，
∴当a≠0时，f（x）是非奇非偶函数.
（2）任取x1＞x2≥3，f（x1）－f（x2）＝ax1＋－ax2－＝a（x1－x2）＋＝（x1－x2）（a－）.
∵x1－x2＞0，f（x）在[3，＋∞）上为增函数，
∴a＞，即a＞＋在[3，＋∞）上恒成立.
∵x1＞x2≥3，＋＜＋＝，
∴a≥.