专题24 指数函数的图像和性质（二）-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

专题24 指数函数的图像和性质（二）

题组1 指数幂的大小比较

1.设它们的大小关系是（    ）

A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a

【答案】D

【解析】y=在（0，+∞）上是增函数，而 ，

由，可知c<b<a ,故选D.

2.已知实数x,y满足,则下列关系式中恒成立的是(    )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由以及指数函数为减函数，可得，

对于，当时，不成立，故不正确；

对于，根据指数函数为上的增函数可知，恒成立，故正确；

对于，当时，不成立，故不正确；

对于，当或为负数时，或无意义，所以不正确，

故选：B

3.设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，且当x≥1时，f(x)＝，则的大小关系是(　　)

A.

B.

C..

D..

【答案】A

【解析】函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即函数关于x＝1对称.

所以f＝f，f＝f，

当x≥1时，f(x)＝x－1单调递减，

所以由＜＜，可得f＞f＞f，

即f＞f＞f，故选A

4.设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则y1，y2，y3的大小关系为__________________.

【答案】y1＞y3＞y2

【解析】，

且在定义域内是增函数，

而，

，

即，故答案为.

题组2 指数方程的解法

5.若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为（    ）

A. B.或 C. D.或

【答案】D

【解析】函数在上：

当时，单调递减：最大值为，最小值，即有；

当时，单调递增：最大值为，最小值，即有；

综上，有或；

故选：D

6.函数（且）的图象一定经过的点是（    ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由函数解析式，知：当时，，即函数必过，

故选：D.

7.函数在的最小值是（    ）

A.1 B. C. D.3

【答案】C

【解析】由题意，函数，

设，因为，则，

则函数，

当时，取得最小值.

故选：C.

8.已知点在函数（且）图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：

①；

②；

③；

④.

上述结论中正确结论的序号是___________.

【答案】①④

【解析】点在函数（且）图象上，即，，，

∵对于函数定义域中的任意的，

有

∴结论（1）正确；

又，，，

∴结论（2）错误；

又是定义域上的增函数，

∴对任意的，不妨设，则，，，，

∴结论（3）错误；

又，

，

，

∴结论（4）正确；

故答案为：（1），（4）.

题组3 指数不等式的解法

9.若函数为增函数，则实数的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由函数为增函数，

可得，解得.

 即实数的取值范围是.

故选：A

10.已知定义域为的函数是奇函数，则不等式解集为（    ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】若函数是奇函数，则，

，所以，

，

当时，，，

所以函数是单调递减函数，

，

即，解得: ,解集是.

故选：A

11.已知，，若对任意的，都存在，使得成立，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】由条件知，

而，，

，

由分母递增知递减，，

所以.

故答案为：.

12.定义在上的奇函数，已知当时，.

（1）求在上的解析式；

（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为是定义在上的奇函数，时，，

所以，解得，所以时，.

当时，，所以，

又，所以，，

所以在上的解析式为.

（2）由（1）知，时，，

所以可化为，

整理得，

令，根据指数函数单调性可得，

与都是减函数，所以也是减函数.

因为时，不等式恒成立，

等价于在上恒成立，

所以，只需，

所以实数的取值范围是.

题组4 指数函数的单调性

13.下列函数中，图象关于原点中心对称且在定义域上为增函数的是（    ）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】对于A，函数在定义域上没有单调性，不满足题意；

对于B，函数不是奇函数，它的图象一定不关于原点对称，不满足题意；

对于C，函数在定义域上是单调增函数，且是奇函数，它的图象关于原点对称，满足条件；

对于D，函数是奇函数，它的图象关于原点对称，但在定义域上是单调减函数，不满足条件.

故选：C.

14.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】函数是上的增函数，

函数，

解得.

故答案为：

15.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（−，0）上单调递增.若实数a满足f（2|a-1|）＞f（），则a的取值范围是______.

【答案】

【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，

则不等式可化为，则，，解得.

16.已知是上的奇函数，当时，.

（1）求在上的解析式；

（2）证明在上是减函数；

（3）当且为常数时，求关于的不等式在内的解集.

【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）设，则，所以，

又因为是上的奇函数，

所以.

（2）设，则，，

.

∵是增函数，，

∴，∴，，.

又，

∴，

所以在为减函数.

（3）因为在上递减，

所以，

当时，，在上有且只有一个实根，此时，.

又，

∴，

∴不等式的解集为.

题组5 指数函数的最值

17.已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为(　　)

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】因为x∈(0,4)，所以x＋1＞1，

所以f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，

当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，

所以a＝2，b＝1，

此时g(x)＝2|x＋1|＝

此函数图象可以看作由函数y＝的图象向左平移1个单位得到.

结合指数函数的图象及选项可知A正确.故选A.

18.已知函数

（1）若，求函数的单调区间

（2）若有最大值3，求a的值

（3）若的值域是，求实数a的取值范围.

【答案】（1）单调增区间是，单调减区间是；；（2）1；（3）0.

【解析】当时，，

令，

则在上单调递增，在上单调递减，

而在R上单调递减，

所以在上单调递减，在上单调递增，   

即函数的单调增区间是，单调减区间是；

令，，

由于有最大值3，所以有最小值，

因此必有，解得，

即当有最大值3时，实数a的值为1；

在（2）基础上，由指数函数的性质知，

要使的值域为，应使的值域为R，

因为二次函数的值域不可能为R，所以.

19.设函数（且）是定义域为的奇函数.

（1）若，试求不等式的解集；

（2）若，且，求在上的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】因为函数是定义域为上的奇函数，则，

即，整理得，

由题意可知，等式对任意的恒成立，，解得.

（1），，又且，，

由于函数在上为增函数，函数在上为减函数.

所以，函数为上的增函数，

由可得，

，即，解得或.

因此，原不等式的解集为；

（2），整理得，

且，解得.

，

令，.

由于在上为增函数，所以，

，

所以，当时，，即函数有最小值.

20.设函数，其中.

（1）若，且为R上偶函数，求实数m的值；

（2）若，且在R上有最小值，求实数m的取值范围；

（3），，解关于x的不等式.

【答案】（1）；（2）；（3）答案见解析.

【解析】（1），所以，

所以，检验，此时，，

所以，为偶函数；

（2），令，

则在上有最小值，

所以，得；

（3），所以，所以，

因为，，所以.

①，即，解集为R；

②，即，解集为.

题组6 与指数函数相关的函数的奇偶性

21.已知定义在上的奇函数满足：当时，.若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是(    )

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由题意知，时，，则，

因为是上的奇函数，所以，

所以当时，.

因为函数为上的减函数，所以为上的增函数，故为上的增函数，

由，可得，即对任意恒成立，

当时，不等式可化为，显然不符合题意，

所以，可得，解得.

故选：A.

22.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4 (x0），则=

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

由偶函数f（x）满足（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=，

则f（x-2）=f（|x-2|）=，要使f（|x-2|）＞0，只需＞0，|x-2|＞2，解得x＞4，或x＜0，故选B

23.已知函数f（x）=loga（2+x），g（x）=loga（2-x），（其中a＞0且a≠1），则函数F（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x）的奇偶性是（　　）

A.是奇函数，是奇函数 B.是偶函数，是奇函数

C.是偶函数，是偶函数 D.是奇函数，是偶函数

【答案】B

【解析】F（x）、G（x）的定义域为（-2，2），
∵，

，
∴F（x）是偶函数，G（x）时奇函数.
故选B.

24.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）-g（x）=x3+x2+2，则f（1）+g（1）的值等于______.

【答案】2

【解析】f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，

∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，

∵f(x)-g(x)=x3+x2+2，

∴f(-x)+g(-x)=x3+x2+2，

则f(1)+g(1)=-1+1+2=2.

故答案为：2

25.已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式.

（1）写出在上的解析式；

（2）求在上的最大值.

【答案】（1）；（2）0.

【解析】（1）∵为定义在上的奇函数，

且在处有意义，∴，

即.∴.

设，则，∴；

又∵，∴；所以.

（2）当时，，

∴设，则.

∵，∴.当时，取最大值，最大值为.

26.已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R且e为自然对数的底数).

（1）判断函数f(x)的奇偶性与单调性；

（2）是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切的x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）f(x)是增函数，奇函数；（2）存在，t＝－.

【解析】（1）∵f(x)＝ex－x，且y＝ex是增函数，y＝－x是增函数，所以f(x)是增函数.

由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.

（2）由（1）知f(x)是增函数和奇函数，∴f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R恒成立，

即 f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R恒成立，即x2－t2≥t－x对一切x∈R恒成立，

所以，t2＋t≤x2＋x对一切x∈R恒成立，即存在实数使得2≤ 恒成立

所以存在实数t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x都成立.

27.已知函数，且.

（1）求的值，并指出函数在上的单调性（只需写出结论即可）；

（2）证明：函数是奇函数；

（3）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）2，在上为增函数；（2）证明见解析；（3）（，1）.

【解析】（1）因为，所以，即，

因为，所以.

函数在上为增函数.

（2）由（1）知定义域为.

对任意，都有.

所以函数是奇函数，

（3）不等式等价于

，

因为函数是奇函数，

所以，

又因为函数在上为增函数，

所以，即.

解得.

所以实数的取值范围为（，1）.