专题41 三角函数的应用-2021-2022学年高一数学培优对点题组专题突破（人教A版2019必修第一册）

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专题41 三角函数的应用1.某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin160πt＋110，其中，f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数是(　　)A．60B．70C．80D．90【答案】C【解析】∵T＝＝，∴f＝＝80.2.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置p(x，y).若初始位置为P0(，)，当秒针从P0(注此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin【答案】C【解析】由题意，函数的周期为T＝60，∴ω＝＝.设函数解析式为y＝sin(因为秒针是顺时针走动)，∵初始位置为P0(，)，∴t＝0时，y＝，∴sinφ＝，∴φ可取，∴函数解析式为y＝sin.3.如下图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是(　　) A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零【答案】B【解析】由题中图象可知振幅为5cm，故选B.4.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin(100πt＋)，则当t＝时，电流I为(　　)A．5AB．AC．2AD．－5A【答案】B【解析】把t＝代入关系式得I＝5sin(＋)＝5sinπ＝(A)，故选B.5.若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(如图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图).则月球绕地球一周所用的时间T等于(　　)A．24.5天B．29.5天C．28.5天D．24天【答案】B【解析】由图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球以月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期.6.如下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳上各点的位置图，经过周期后，乙点的位置将如同(　　)A．甲B．丙C．丁D．戊【答案】C【解析】因为绳波从乙点传到戊点正好是一个周期，经过周期，绳波正好从乙点传到丁点.又在绳波的传播过程中，绳上各点只是上下振动，即纵坐标在变，横坐标不变，所以经过周期，乙点位置将移至它关于x轴的对称点处，即横坐标不变，纵坐标与图中的丁点相同.7.如下图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)A．B．C．D．【答案】C【解析】∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝.按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin(t－)，∴d＝2|sin(t－)|.当t＝0时，d＝，排除A、D；当t＝时，d＝0，排除B.8.如下图，一个大风车的半径为8米，它的最低点离地面2米，风车翼片静止时处于水平位置.风车启动后，按逆时针方向每12分钟旋转一周，则当启动17分钟时，风车翼片的端点P离地面距离为______米；风车翼片的端点离地面距离h(米)与启动时间t(分钟)之间的函数关系式为______.【答案】14　h＝8sint＋10(t≥0)【解析】由题意，T＝12，∴ω＝，设f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0)，则∴A＝8，B＝10，∵当t＝0时，f(t)＝10，∴φ＝0，∴f(t)＝8sint＋10，当t＝17时，f(17)＝14.9.如下图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？【答案】(1)如下图所示建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为＝，则OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sin＋2.当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－，即φ＝－.故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.(2)令z＝4sin＋2＝6，得sin＝1，令t－＝，得t＝4，故点P第一次到达最高点大约需要4s.10.如下图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？【答案】(1)由已知可设y＝40.5－40cosωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.所以y＝40.5－40cost(t≥0).(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8.所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟).11.下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏).以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴.(1)描出散点图.(2)用正弦曲线去拟合这些数据.(3)这个函数的周期是多少？(4)估计这个正弦曲线的振幅A.(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？①＝cos；　②＝cos；③＝cos；　④＝sin.【答案】(1)(2)如下图所示.(3)1月份的气温最低为21.4,7月份的气温最高为73.0，根据图知，＝7－1＝6，∴T＝12.(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8.(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得＝＞1≠cos，∴①错误；代入②，得＝＜0≠cos，∴②错误；同理④错误，∴③最适合这些数据.12.某港口水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asinωt＋b的图象.(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶依靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间？(忽略进出港所需的时间)，【答案】(1)由已知数据，描出曲线如图.易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，∴ω＝＝，∴y＝3sint＋10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(m)，由y≥11.5，得3sint＋10≥11.5，∴sint≥.①∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π，②由①②得≤t≤或≤≤.化简得1≤t≤5或13≤t≤17.∴该船在1：00至5：00或13：00到17：00能安全进港，故该船可在当日凌晨1时进港，17时离港，它在港内至多停留16小时.13.已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)(ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？【答案】(1)由图知A＝300，设t1＝－，t2＝，则周期T＝2(t2－t1)＝2＝，∴ω＝＝150π.又当t＝时，I＝0，即sin＝0，而|φ|＜，∴φ＝.故所求的解析式为I＝300sin.(2)依题意，周期T≤，即≤(ω＞0)，∴ω≥300π＞942，又ω∈N*，故所求最小正整数ω＝943.14.如图表示电流强度I与时间t的关系I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象.(1)试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中l在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么正常整数ω的最小值是多少？【答案】(1)由图知，A＝300.设t0＝－，t1＝，t2＝.∵T＝t2－t0＝－(－)＝，∴ω＝＝100π.∴ω·(－)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，∴I＝300sin(100πt＋).(2)由题意知T≤，即≤，∴ω≥200π，∴最小的正整数ω＝629.