专题15 函数的概念和性质（真题训练）-2021-2022学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

◎◎◎◎◎◎高考真题◎◎◎◎◎◎

1．（2020•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝x3，则f（x）（　　）

A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增 

B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减 

C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增 

D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减

【答案】A

【解析】因为f（x）＝x3，则f（﹣x）＝﹣x3f（x），即f（x）为奇函数，

根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y1在（0，+∞）为减函数，y2在（0，+∞）为增函数，所以当x＞0时，f（x）＝x3单调递增，故选：A．

2．（2020•天津）函数y的图象大致为（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】函数y的定义域为实数集R，关于原点对称，

函数y＝f（x），则f（﹣x）f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，

当x＞0是，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．

3．（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（　　）

A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1] 

C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]

【答案】D

【解析】∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：

∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；故f（﹣1）＜0；

当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，

当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，

当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，

当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，

此时，此时1＜x≤3，

当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，

即，得﹣1≤x＜0，

综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，

即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D．

4．（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　）

A．﹣50 B．0 C．2 D．50

【答案】C

【解析】∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），

∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，

则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），

即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，

∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，

f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，

则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）

＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．

5．（2020•海东市模拟）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，若f（2）＝3，则满足f（x+1）＜3的x的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣2，2） 

C．（﹣∞，﹣3）∪（0，1） D．（﹣3，1）

【答案】D

【解析】因为f（x）是偶函数，所以f（﹣2）＝f（2）＝3，

因为f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f（x+1）＜3等价于﹣2＜x+1＜2，

解得﹣3＜x＜1，即满足条件的x的取值范围是（﹣3，1）．故选：D．

6．（2020•安庆模拟）已知奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）为偶函数，且f（1）＝2，则f（2019）+f（2020）＝（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1

【答案】A

【解析】根据题意，函数f（x）为奇函数，则﹣f（x）＝f（﹣x），

又由f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于x＝1对称，则有f（﹣x）＝f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+4）＝f（x）即函数的周期为4，且f（1）＝2，

则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（2020）＝f（0）＝0，

则f（2019）+f（2020）＝﹣2故选：A．

7．（2020•益阳模拟）定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x（1﹣x），则f（）＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由f（2+x）＝﹣f（x）可得f（4+x）＝f（x），所以函数的周期T＝4，

当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x（1﹣x），则f（），

则f（）＝f（　）＝f（）＝﹣f（）．故选：A．

8．（2020•山西模拟）已知函数，f（x）＝xg（x），若f（2﹣a）＞f（2a），则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为g（x），

由g（x）的解析式可知，g（x）在R上是奇函数且单调递增，f（x）＝xg（x）为偶函数，

当x＞0时，有g（x）＞g（0），

任取x1＞x2＞0，则g（x1）＞g（x2）＞0，由不等式的性质可得x1g（x1）＞x2g（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2）＞0，所以，函数f（x）在（0，+∞）上递增

再由f（2﹣a）＞f（2a），得|2﹣a|＞2|a|，即3a2+4a﹣4＜0，解得﹣2＜a．故选：B．

9．（2020•茂名二模）将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象大致是（　　）

A．B． C．D．

【答案】B

【解析】．

因为g（x）＝﹣g（﹣x），所以g（x）为奇函数，排除A；g（x）有唯一的零点，排除C；

，排除D，只有B符合条件．故选：B．

10．（2020•北京）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），用的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．

给出下列四个结论：

①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是　　．

【答案】①②③

【解析】设甲企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f（t），乙企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝g（t）．

对于①，在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力为，

乙企业的污水治理能力为．

由图可知，f（t1）﹣f（t2）＞g（t1）﹣g（t2），∴，

即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；

对于②，由图可知，f（t）在t2时刻的切线的斜率小于g（t）在t2时刻的切线的斜率，但两切线斜率均为负值，

∴在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故②正确；

对于③，在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，

∴在t3时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；

对于④，由图可知，甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]的污水治理能力最强，故④错误．

∴正确结论的序号是①②③．

故答案为：①②③．

11．（2019•江苏）函数y的定义域是　　．

【答案】[﹣1，7]

【解析】由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．

∴函数y的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．

12．（2019•浙江）已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，则实数a的最大值是　　．

【答案】

【解析】存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|，即有|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|，

化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|，可得2a（3t2+6t+4）﹣2，

即a（3t2+6t+4），由3t2+6t+4＝3（t+1）2+1≥1，

可得0＜a，可得a的最大值为．故答案为：．