专题03 集合与常用逻辑用语（基础测评卷）-2021-2022学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

     章末检测（一)  集合与常用逻辑用语

◎◎◎◎◎◎基础测评卷◎◎◎◎◎◎

(时间：120分钟，满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，则M∪N＝(　　)

A．{x|x>－3}　　　　　　 B．{x|－3<x≤5}

C．{x|3<x≤5} D．{x|x≤5}

【答案】A

【解析】在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．

2．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝(　　)

A．{1} B．{4}

C．{1，3} D．{1，4}

【答案】D

【解析】由题意得，B＝{1，4，7，10}，所以A∩B＝{1，4}．

3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，集合B＝{2，4}，则(∁UA)∪B＝(　　)

A．{2，4，5} B．{1，3，4}

C．{1，2，4} D．{2，3，4，5}

【答案】A

【解析】由题意知∁UA＝{2，5}，所以(∁UA)∪B＝{2，4，5}．故选A.

4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

【答案】B

【解析】量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.

5．满足M⊆{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【解析】集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M＝{a1，a2}或M＝{a1，a2，a4}．

6．已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为(　　)

A．－2 B．2

C．4 D．2或4

【答案】A

【解析】若a＝2，则|a|＝2，不符合集合元素的互异性，则a≠2；若|a|＝2，则a＝2或－2，可知a＝2舍去，而当a＝－2时，a－2＝－4，符合题意；若a－2＝2，则a＝4，|a|＝4，不符合集合元素的互异性，则a－2≠2.综上，可知a＝－2.故选A.

7．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中的所有元素之和为(　　)

A．0 B．2

C．3 D．6

【答案】D

【解析】依题意，A*B＝{0，2，4}，其所有元素之和为6，故选D.

8．已知非空集合M，P，则MP的充要条件是(　　)

A．∀x∈M，x∉P

B．∀x∈P，x∈M

C．∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉P

D．∃x∈M，x∉P

【答案】D

【解析】由MP，可得集合M中存在元素不在集合P中，结合各选项可得，M⃘P的充要条件是∃x∈M，x∉P.故选D.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．下列存在量词命题中，是真命题的是(　　)

A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0

B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除

C．∃x∈R，|x|<0

D．有些自然数是偶数

【答案】ABD

【解析】A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选A、B、D.

10．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则(　　)

A．当x＝，y＝时，z＝1

B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)有4个式子

C．A⊗B中有3个元素

D．A⊗B中所有元素之和为3

【答案】BCD

【解析】当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，A错误；由于A＝{，}，B＝{1，}，则z有(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，B正确；由集合中元素的互异性，得集合A⊗B有3个元素，元素之和为3，C、D正确．

11．在下列命题中，真命题有(　　)

A．∃x∈R，x2＋x＋3＝0

B．∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数

C．∃x，y∈Z，使3x－2y＝10

D．∀x∈R，x2>|x|

【答案】BC

【解析】A中，x2＋x＋3＝>0，故A是假命题；B中，x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故B是真命题；C中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，故C是真命题；对于D，当x＝0时，左边＝右边＝0，故D为假命题．

12．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，且a≠0，则满足上述条件的实数a的值为(　　)

A．－1　　　 B．－　　　　

C．　　　 D．1

【答案】BC

【解析】∵p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3，q：ax＋1＝0，即x＝－，由题意可知，p q，q⇒p，∴有－＝2或－＝－3，解得a＝－或.故选B、C.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知A＝{x|x≤1或x>3}，B＝{x|x>2}，则(∁RA)∪B＝________．

【答案】{x|x>1}

【解析】∵∁RA＝{x|1<x≤3}，B＝{x|x>2}，∴(∁RA)∪B＝{x|x>1}．

14．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是________．

【答案】{a|a<－1}

【解析】若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，

则{x|x≤a}{x|x<－1}，

∴a<－1.

15．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是_______________．

【答案】所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0

【解析】把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．

16．(一题两空)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．

(1)当m＝2时，求M∩N＝________；

(2)当M∩N＝M时，则实数m的值为________．

【答案】(1){2}　(2)2

【解析】(1)由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，

则M∩N＝{2}．

(2)因为M∩N＝M，所以M⊆N，

因为M＝{2}，所以2∈N.

所以2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，

即4－6＋m＝0，解得m＝2.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)设全集U＝R，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.

【解析】∵U＝R，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，

∴∁UA＝{x|x≥3或x≤－2}，A∩B＝{x|－2<x<3}，

∁U(A∩B)＝{x|x≥3或x≤－2}，(∁UA)∩B＝{x|x≥3或x≤－2}∩{x|－3<x≤3}＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．

18．(本小题满分12分)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m2＝0.

(1)求出该方程有实数根的充要条件；

(2)写出该方程有实数根的一个充分不必要条件；

(3)写出该方程有实数根的一个必要不充分条件．

【解析】(1)方程有实数根的充要条件是Δ≥0，即4－4m2≥0，解得－1≤m≤1；

(2)有实数根的一个充分不必要条件是m＝0；

(3)有实数根的一个必要不充分条件是－2<m≤2.

19．(本小题满分12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定，并判断真假．

(1)有一个奇数不能被3整除；

(2)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；

(3)三角形的三个内角都为60°；

(4)存在三角形至少有两个锐角．

【解析】(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除，假命题．

(2)是全称量词命题，否定为：∃x∈Z，x2与3的和等于0，假命题．

(3)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题．

(4)是存在量词命题，否定为：每个三角形至多有一个锐角，假命题．

20．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2－ax＋a2－12＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，且满足下列三个条件：

①A≠B；②A∪B＝B；③∅(A∩B)，求实数a的值．

【解析】B＝{2，3}，∵A∪B＝B，∴A⊆B，

∵A≠B，∴AB.又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，

∴A＝{2}或A＝{3}，

∴方程x2－ax＋a2－12＝0只有一解，

由Δ＝(－a)2－4(a2－12)＝0得a2＝16，

∴a＝4或a＝－4.

当a＝4时，

集合A＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}符合；

当a＝－4时，

集合A＝{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}(舍去)．

综上，a＝4.

21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1成立的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

【解析】必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a.

∴a3＋b3＋ab－a2－b2

＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2

＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.

充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，

∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，

又ab≠0，即a≠0且b≠0，

∴a2－ab＋b2＝≠0，

只有a＋b＝1.

综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

22．(本小题满分12分)已知全集U＝R，集合A＝{x|a－1<x<2a＋1}，B＝{x|0<x<1}．

(1)若a＝，求A∩B；

(2)若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．

【解析】(1)若a＝，则A＝，

又B＝{x|0<x<1}，∴A∩B＝{x|0<x<1}．

(2)当A＝∅时，a－1≥2a＋1，

∴a≤－2，此时满足A∩B＝∅；

当A≠∅时，由A∩B＝∅，B＝{x|0<x<1}，

易得或

∴a≥2或－2<a≤－.

综上可知，实数a的取值范围是