专题13 函数的概念与性质（基础测评卷）-2021-2022学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

      第一章  函数的概念与性质 基础卷

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知f(x)＝－3x＋2，则f(2x＋1)等于(　B　)

A．－3x＋2　 B．－6x－1　　

C．2x＋1　 D．－6x＋5

【答案】B

【解析】在f(x)＝－3x＋2中，用2x＋1替换x，可得f(2x＋1)＝－3(2x＋1)＋2＝－6x－3＋2＝－6x－1.

2．（2020·浙江高一期中）函数的定义域是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意可得：，且，得到，且，故选：D

3．（2020·浙江高一课时练习）已知则函数的图象是（    ）

A． B．C． D．

【答案】A

【解析】当时，依函数表达式知，可排除B；当时，，可排除C、D．故选A

4．已知函数y＝，则使函数值为的的值是（    ）

A．或     B．或        C．       D．或或

【答案】C

【解析】当时，令，得，解得；

当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去.

综上所述，，故选C.

5．（2020·浙江高一课时练习）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表 ，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为 （）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据规定每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时增加一名代表，即余数分别为时可以增选一名代表，也就是要进一位，所以最小应该加，因此利用取整函数可表示为，也可以用特殊取值法，若，排除C，D，若，排除A，故选B．

6．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于(　C　)

A．0     　B．1　   　C．　      D．5

【答案】C

【解析】令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝－f(1)＋f(2)，∴＝－＋f(2)，∴f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝.令x＝3，得f(5)＝f(2)＋f(3)＝

7．（2020·甘肃城关兰州一中高三二模（文））已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时,的解为；

当时，根据偶函数图像的对称性知不等式的解为，

所以不等式的解集为，

所以不等式的解集为.故选：C

8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于(　C　)

A．－6　 B．6　　

C．－8　 D．8

【答案】C

【解析】f(x)在R上是奇函数，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x)关于x＝－2对称，f(x)＝m的根关于x＝－2对称，∴x1＋x2＋x3＋x4＝4×(－2)＝－8.

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)

9．下列各组函数表示的是同一个函数的是(　BD　)

A．f(x)＝与g(x)＝x·

B．f(x)＝|x|与g(x)＝

C．f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x0

D．f(x)＝与g(x)＝x0

【答案】BD

【解析】对于A，f(x)＝与g(x)＝x·的对应关系不同，故f(x)与g(x)表示的不是同一个函数；

对于B，f(x)＝|x|与g(x)＝的定义域和对应关系均相同，故f(x)与g(x)表示的是同一个函数；

对于C，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，故f(x)与g(x)表示的不是同一个函数；

对于D，f(x)＝与g(x)＝x0的对应关系和定义域均相同，故f(x)与g(x)表示的是同一个函数．

10．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是(　BD　)

A．f(x)＝　 B．f(x)＝－x3

C．f(x)＝x|x|　 D．f(x)＝－

【答案】BD

【解析】A．f(x)＝在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；对于B，f(x)＝－x3在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意，对于C，f(x)＝x|x|＝，在定义域R上是奇函数，且是增函数，∴不满足题意；对于D，f(x)＝－在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．故选BD．

11．已知函数f(x)＝，则(　ABD　)

A．f(x)的定义域为[－3,1]　 B．f(x)为非奇非偶函数

C．f(x)的最大值为8　 D．f(x)的最小值为2

【答案】ABD

【解析】由题设可得函数的定义域为[－3,1]，f 2(x)＝4＋2×＝4＋2×，而0≤≤2，即4≤f 2(x)≤8，∵f(x)＞0，∴2≤f(x)≤2，∴f(x)的最大值为2，最小值为2，故选ABD．

12．下列说法正确的是(　　)

A．若方程x2＋(a－3)x＋a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0

B．函数f(x)＝是偶函数，但不是奇函数

C．若函数f(x)的值域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3,1]

D．曲线y＝|3－x2|和直线y＝a(a∈R)的公共点个数是m，则m的值不可能是1

【答案】AD

【解析】设方程x2＋(a－3)x＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1·x2＝a<0，故A正确；函数f(x)＝的定义域为，则x＝±1，∴f(x)＝0，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数，故B不正确；函数f(x＋1)的值域与函数f(x)的值域相同，故C不正确；曲线y＝|3－x2|的图像如图，由图知曲线y＝|3－x2|和直线y＝a的公共点个数可能是2,3或4，故D正确．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)

13．2020·全国高一课时练习）若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围        

【答案】

【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.

14．函数f(x)＝的定义域为___，单调递减区间为___.

【答案】(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，(－∞，－1)

【解析】函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．任取x1，x2∈(－1，＋∞)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(－1，＋∞)上为减函数；同理，可得f(x)在(－∞，－1)上也为减函数．

15．函数y＝f(x)是R上的增函数，且y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1,3)，则不等式|f(2x－1)|<3的解集为____.

【答案】

【解析】因为y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1,3)，所以f(－2)＝－3，f(1)＝3.又|f(2x－1)|<3，所以－3<f(2x－1)<3，即f(－2)<f(2x－1)<f(1)．因为函数y＝f(x)是R上的增函数，所以－2<2x－1<1，即，即，所以－<x<1.

16．对于任意定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．现给定一个实数a∈(4,5)，则函数f(x)＝x2＋ax＋1的不动点共有___个．

【答案】2

【解析】由定义，令x2＋ax＋1＝x，则x2＋(a－1)x＋1＝0，当a∈(4,5)时，Δ＝(a－1)2－4>0，所以方程有两根，相应地，函数f(x)＝x2＋ax＋1(a∈(4,5))有2个不动点．

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，求满足的的取值范围.

【解析】因为函数在上单调递减，所以，

解得.又因为，所以，；

因为函数的图象关于轴对称，

所以为偶数，故.

则原不等式可化为，

因为在，上单调递减，

所以或或，

解得或.

故的取值范围是或.

18．(10分)（2019·陕西高一期中）已知函数

（1）试判断函数在（-1，+）上的单调性，并给予证明；

（2）试判断函数在的最大值和最小值

【解析】（1）∵，

∴函数在上是增函数，

证明：任取，，且，

则，

∵，∴，，

∴，即，

∴在上是增函数.

（2）∵在上是增函数，

∴在上单调递增，

它的最大值是，

最小值是．

19．(12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.

(1)求函数f(x)；

(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．

【解析】(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，

∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①　4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②　①－②得b＝a＋8.③

将③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5，∴f(x)＝－3x2－3x＋18.

(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3(x＋)2＋＋18.图像的对称轴是直线x＝－.

∵0≤x≤1，∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，∴此时函数f(x)的值域是[12,18]．

20．(12分)已知函数.

（1）若，求的定义域；

（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围.

【解析】(1)当且时，由得，即函数的定义域是.

(2)当即时，令

要使在上是减函数，则函数在上为减函数，即，并且且，解得；

当即时 ，令

要使在上是减函数，则函数在为增函数，即

并且，解得

综上可知，所求实数的取值范围是.

21．(12分)已知函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2）．

（1）求实数m的值；

（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；

（3）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．

【解析】（1）∵函数f（x）＝x，且此函数图象过点（1，2），

∴2＝1+m，

∴m＝1；

（2）f（x）＝x，定义域为：，

又f（﹣x）＝﹣xf（x），

∴函数f（x）是奇函数；

（3）函数f（x）在（0，1）上单调递减，

设0＜x1＜x2＜1，

则，

∵0＜x1＜x2＜1，

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，

∴，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，1）上的单调递减．

22.(12分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为了鼓励销售商订购，决定每一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好为51元？

(2)当销售商一次订购x个零件时，该厂获得的利润为P元，写出P＝f(x)的表达式．

【解析】(1)设每个零件的实际出厂价格恰好为51元时，一次订购量为x0个，则60－0.02(x0－100)＝51，解得x0＝550，所以当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好为51元．

(2)设一次订量为x个时，零件的实际出厂单价为W，工厂获得利润为P，由题意P＝(W－40)·x，

当0<x≤100时，W＝60；

当100<x<550时，W＝60－0.02(x－100)＝62－；

当x≥550时，W＝51.

当0<x≤100时， f(x)＝(60－40)x＝20x；

∴当100<x<550时， f(x)＝(22－)x＝22x－x2；

当x≥550时， f(x)＝(51－40)x＝11x.

故f(x)＝