专题25 三角函数（真题训练）-2021-2022学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

◎◎◎◎◎◎高考真题◎◎◎◎◎◎

1．（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（　　）

A．cos2α＞0 B．cos2α＜0 C．sin2α＞0 D．sin2α＜0

【答案】D

【解析】α为第四象限角，则2kπ＜α＜2kπ，k∈Z，

则﹣π+4kπ＜2α＜4kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜0，故选：D．

2．（2020•新课标Ⅲ）已知2tanθ﹣tan（θ）＝7，则tanθ＝（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【答案】D

【解析】由2tanθ﹣tan（θ）＝7，得2tanθ7，

即2tanθ﹣2tan2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan2θ﹣8tanθ+8＝0，

即tan2θ﹣4tanθ+4＝0，即（tanθ﹣2）2＝0，则tanθ＝2，故选：D．

3．（2020•新课标Ⅲ）已知sinθ+sin（θ）＝1，则sin（θ）＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵sinθ+sin（）＝1，∴sinθsinθcosθ＝1，

即sinθcosθ＝1，得（cosθsinθ）＝1，

即sin（）＝1，得sin（）故选：B．

4．（2020•新课标Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0，

即3cos2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos．

∵α∈（0，π），∴α∈（，π），则sinα．故选：A．

5．（2020•新课标Ⅰ）设函数f（x）＝cos（ωx）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由图象可得最小正周期小于π﹣（），大于2×（），排除A，D；

由图象可得f（）＝cos（ω）＝0，

即为ωkπ，k∈Z，（*）

若选B，即有ω，由kπ，可得k不为整数，排除B；

若选C，即有ω，由kπ，可得k＝﹣1，成立．故选C．

6．（2019•新课标Ⅱ）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵2sin2α＝cos2α+1，∴可得：4sinαcosα＝2cos2α，

∵α∈（0，），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，

∵sin2α+cos2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，∴解得：sinα．故选：B．

7．（2019•新课标Ⅱ）下列函数中，以为最小正周期且在区间（，）单调递增的是（　　）

A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x| D．f（x）＝sin|x|

【答案】A

【解析】f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；

f（x）＝|sin2x|在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B．故选：A．

8．（2019•北京）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（　　）

A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ

【答案】B

【解析】由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，

即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，

扇形AOB的面积为•2β•4＝4β，△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，

S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．

故选：B．

9．（2020•海南）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（　　）

A．sin（x） B．sin（2x） 

C．cos（2x） D．cos（2x）

【答案】BC

【解析】由图象知函数的周期T＝2×（）＝π，即π，即ω＝2，

由五点对应法得2φ＝π，得φ，

则f（x）＝sin（2x）＝cos（2x）＝cos（﹣2x）＝cos（2x）＝sin（2x）＝sin（）故选：BC．

10．（2020•北京）若函数f（x）＝sin（x+φ）+cosx的最大值为2，则常数φ的一个取值为　　．

【答案】

【解析】f（x）＝sin（x+φ）+cosx＝sinxcosφ+cosxsinφ+cosx＝sinxcosφ+（1+sinφ）cosxsin（x+θ），其中cosθ，sinθ，

所以f（x）最大值为2，所以cos2φ+（1+sinφ）2＝4，

即2+2sinφ＝4，所以sinφ＝1，所以φ2kπ，k∈Z时φ均满足题意，

故可选k＝0时，φ．故答案为：．

11．（2020•新课标Ⅱ）若sinx，则cos2x＝　　．

【答案】

【解析】∵sinx，∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（）2．故答案为：．

12．（2020•浙江）已知tanθ＝2，则cos2θ＝　　，tan（θ）＝　　．

【答案】；

【解析】tanθ＝2，

则cos2θ．

tan（θ）．故答案为：；．

13．（2020•江苏）将函数y＝3sin（2x）的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　x　．

【答案】x

【解析】：因为函数y＝3sin（2x）的图象向右平移个单位长度可得

g（x）＝f（x）＝3sin（2x）＝3sin（2x），

则y＝g（x）的对称轴为2xkπ，k∈Z，

即x，k∈Z，当k＝0时，x，当k＝﹣1时，x，

所以平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是x，

故答案为：x，

14．（2019•新课标Ⅰ）函数f（x）＝sin（2x）﹣3cosx的最小值为　﹣4　．

【答案】﹣4

【解析】∵f（x）＝sin（2x）﹣3cosx，＝﹣cos2x﹣3cosx＝﹣2cos2x﹣3cosx+1，

令t＝cosx，则﹣1≤t≤1，令g（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向下，对称轴t，在[﹣1，1]上先增后减，故当t＝1即cosx＝1时，函数有最小值﹣4．故答案为：﹣4