专题20 指数函数与对数函数（真题训练）-2021-2022学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

◎◎◎◎◎◎高考真题◎◎◎◎◎◎

1．设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【答案】D

【解析】a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，则b＞a＞1，

log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜a＜b，故选：D．

2．设alog34＝2，则4﹣a＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为alog34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9则4﹣a，故选：B．

3．设a＝log32，b＝log53，c，则（　　）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【答案】A

【解析】∵a＝log32，b＝log53，

c，∴a＜c＜b．故选：A．

4．已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（　　）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【答案】A

【解析】∵log53•log581，∴a＜b；

∵55＜84，∴5＜4log58，∴log58＞1.25，∴b＝log85＜0.8；

∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b，

综上，c＞b＞a．故选：A．

5．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t），其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【答案】C

【解析】由已知可得0.95K，解得e﹣0.23（t﹣53），

两边取对数有﹣0.23（t﹣53）＝﹣ln19，解得t≈66，故选：C．

6．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）＝ert描述累计感染病例数I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1+rT．有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（　　）（ln2≈0.69）

A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天

【答案】B

【解析】把R0＝3.28，T＝6代入R0＝1+rT，可得r＝0.38，∴I（t）＝e0.38t，

当t＝0时，I（0）＝1，则e0.38t＝2，两边取对数得0.38t＝ln2，解得t1.8．故选B．

7．若2a+log2a＝4b+2log4b，则（　　）

A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2 D．a＜b2

【答案】B

【解析】因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log2b；

因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2a+log2a＜22b+log22b；

令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；

且f（a）＜f（2b）⇒a＜2b；故选B．

8．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【答案】A

【解析】由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，

c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．

9．已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【答案】A

【解析】由题意，可知：a＝log52＜1，

b＝log0.50.2log25＞log24＝2．c＝0.50.2＜1，

∴b最大，a、c都小于1．

∵a＝log52，c＝0.50.2．

而log25＞log24＝2，∴．∴a＜c，∴a＜c＜b．故选：A．

10．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1

【答案】A

【解析】设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，

由题意可得：，

∴，则．故选：A．

11．已知函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，则a＝　﹣7　．

【答案】﹣7

【解析】函数f（x）＝log2（x2+a），若f（3）＝1，

可得：log2（9+a）＝1，可得a＝﹣7．

故答案为：﹣7．