第2章专题6 基本不等式（三）与其他知识相结合-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

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基本不等式（三） 考向一  求分式函数的最值1、若对任意恒成立，则的取值范围为（   ）A. B. C. D.【答案】D2、已知,则f(x)= 有A．最大值                 B．最小值             C．最大值1    D．最小值1【答案】D【解析】当即或（舍去）时， 取得最小值3、函数的最大值为______,此时的值为______.【答案】    (1). -3    (2). 24、设，则的值域为_________【答案】5、函数的最小值是__________.【答案】【解析】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.故填：.6、（1）已知，求函数的最小值．（2）求函数的最大值．（3）求的最大值．【答案】⑴ ；⑵ 最大值为．⑶ 的最大值为． 7、若当时，则函数的最大值答案8、 若当时，的最小值答案 9、函数 的最小值和最大值答案：最小值 ，最大值 10、函数的最小值 【答案】 11、求函数y＝(x>1)的最小值． ∵x>1，∴x－1>0.∴y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8.当且仅当x－1＝，即x＝4时取“＝”号．∴当x＝4时，y取得最小值8.12、函数的最小值【答案】7  考向二  多次应用基本不等式 1.已知，，则的最小值是（　 　）A．2 B． C．4 D．5【答案】C 2.已知，，则的最小值为（ 　　）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C3.已知，则的最小值为（　 　）A．2 B．3 C．4 D．【答案】B4.若，，则的最小值为　 　      【答案】4   考向三  建立函数模型利用基本不等式求最值 1、宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，p＝10，S8，∴此三角形面积的最大值为8．故选：C．2、某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（　）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【解析】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为 ．由杠杆的平衡原理：， ．解得，，则．下面比较与10的大小： 因为，又因为 ，所以，，即 ．这样可知称出的黄金质量大于 ．故选：3、若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.【答案】【解析】由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为.故答案为.4、如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？【解析】设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.法一：由于2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤，即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y＝y(6－y)．∵0<y<6，∴6－y>0.∴S≤2＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．5、某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积是200 m2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数解析式；(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？【答案】（1）S＝38 000＋4 000x2＋ (0＜x＜10)；（2）至少要投入11.8万元。【解析】(1)设DQ＝y m，则x2＋4xy＝200，即y＝.所以S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2＝38 000＋4 000x2＋ (0＜x＜10)．(2)由(1)，得S＝38 000＋4 000x2＋≥38 000＋2＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即x＝时取等号．因为118 000元＝11.8万元，所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区． 6、某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元.【解析】令房屋地面的正面长为，侧面宽为，总造价为元，则，，∵，∴，当且仅当即时取等号，答：房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元. 7、货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（即：，其中为比例系数）；当航行速度为30海里/小时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时200元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时.（1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数；（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶.【答案】（1）；（2）故当货轮航行速度为20海里小时时，能使该货轮运输成本最少为6000元．【解析】【分析】（1）由题意，每小时的燃料费用为，当时，，解得．从甲地到乙地所用的时间为小时，可得从甲地到乙地的运输成本：．（2）由（1）得：，利用基本不等式即可得解．【详解】由题意，每小时的燃料费用为，当时，，解得从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本：， ．故所求的函数为．（2）由（1）得：，当且仅当，即时取等号．故当货轮航行速度为20海里小时时，能使该货轮运输成本最少为6000元．8、在经济学中，函数的边际函数定义为．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产台的收益函数为 （单位：万元），成本函数（单位：万元），该公司每月最多生产台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）（1）求利润函数及边际利润函数；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到）（3）求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义．【答案】（1）；；（2）台，万元；（3）或；反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.【解析】（1）由题意知：且，，.（2）每台医疗器材的平均利润，当且仅当时等号成立.因为，当每月生产台机器时，每台平均约为万元，每月生产台时，每台平均约为万元，故每月生产台时，每台医疗器材的平均利润最大为万元.（3），由，得，此时随增大而增大，由得，此时随增大而减小，或时，取得最大值.反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.9、近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且 ，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（）求出2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【解析】（Ⅰ）当时，；当时，， .（Ⅱ）若，，当时，万元 .若，，当且仅当时，即时，万元 .2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.