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    第3章专题6 函数的单调性(一)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册常考题型专题练习(机构专用)

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    函数的单调性

    考向一  函数单调性的证明

     

    1、根据定义证明函数在区间上单调递增。

    证明:

    所以,函数在区间上单调递增。

    2已知函数∈[0,2],用定义证明f(x)在区间上是增函数.

    证明 ,则.

    所以 ,即

    f(x)在区间 上是增函数.

    3、利用定义法证明:函数 在定义域内是减函数.

     答案:略

    解析:在定义域内任意取 ,且 ,作差法比较大小


    所以
    函数 在定义域内是减函数
    4、已知函数.判断函数上的单调性,并用定义法证明;

     答案:上是单调递减函数

    解析:上是单调递减函数,证明如下:
    任取,则




    上是单调递减函数.

    5、利用定义求函数的单调区间.

    【答案】增区间为,减区间为

    【解析】由题意函数的定义域为

    时,

    此时单调递增;

    时,

    此时单调递减;

    时,

    此时单调递减;

    时,

    此时单调递增;

    综上,函数的单调增区间为,减区间为.

     

    6、已知函数f(x)对任意x,yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-.求证:f(x)是R上的单调减函数.

    【答案】见解析

    【解析】(1)证明:设x1,x2是任意的两个实数,且x1<x2

    则x2-x1>0,因为x>0时,f(x)<0,

    所以f(x2-x1)<0,

    又因为x2=(x2-x1)+x1

    所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]

    =f(x2-x1)+f(x1),

    所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0,

    所以f(x2)<f(x1).

    所以f(x)是R上的单调减函数.

    7、已知函数的定义域为,对任意实数都有,且当,.

    1)证明: 时,

    2)证明: 上单调递减.

    【答案】证明:(1)令,代入中得:

    (1),即(1)(1)

    (1)

    时,,故得,令,则,代入中得:

    (2)设,则

    上单调递减.

     

     

    考向二  函数单调性的判断

     

    1、下列函数在区间(0,+∞)上不是增函数的是(  )

    Ay2x1   Byx21     Cy3x   Dyx22x1

    答案:C

    解析:函数y3x在区间(0,+∞)上是减函数.

    2在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是(   

    A.    B.    C.    D.

    答案:C

    解析:A选项在 上是增函数;B选项在 是减函数,在 是增函数;C选项在是减函数;D选项是减函数,在是增函数;故选C.

    3、下列函数值中,在区间不是单调函数的是( 

    A. B. C. D.

    答案:D

    解析:由一次函数的性质可知,在区间上单调递增;

    由二次函数的性质可知,在区间上单调递增;

    由幂函数的性质可知,在区间上单调递增;

    结合一次函数的性质可知,上单调递减,在 上单调递增. 故选:D.

    4函数 在区间 上是(  )

    A.递减函数 B.递增函数 C.先递增再递减 D.先递减再递增

     答案:D

    解析:因为
    所以函数在 上为减函数,在 上为增函数,
    所以函数在 上先递减再递增.
    5. 若函数 在区间 上是增函数,在区间 上也是增函数,则函数 在区间 上(  )

    A.一定是增函数 B.不一定是增函数 C.一定是减函数 D.是增函数或减函数

     答案:B

    解析:在3处左侧的极限值小于等于3右侧的极限值才是增函数

    6、设 都是单调函数,有如下四个命题
    ①若 单调递增, 单调递增,则 单调递增;
    ②若 单调递增, 单调递减,则 单调递增;
    ③若 单调递减, 单调递增,则 单调递减;
    ④若 单调递减, 单调递减,则 单调递减.
    其中,正确的命题是(  )

    A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

    答案:C

    解析: 是单调增函数时, 是单调减函数, 是单调减函数时, 是单调增函数, 根据两个单调增函数相加是增函数,两个单调减函数相加是减函数这一原理,易知 ② ③ 正确.
    7已知定义在同一区间上,是增函数,是减函数,且,则(    

     A.为减函数                     B.为增函数 

     C.为减函数                      D.为增函数

    【答案】B

     

    8、(多选)下列函数中,满足“对任意的,当时,都有”的是  

    A.       B.        C.

    D.      E. 

    【答案】AD

    9下列函数中,对任意的,都有成立的是(  )

    A.
    B.
    C.
    D.

     答案:B

    解析:单调性定义+判断
    因为,都有,所以上是增函数
    A.是减函数.
    B.时,,是增函数
    C.是减函数。
    D.是减函数

    10下列命题中正确的有________.
    ① 若 是增函数,且 ,则 是减函数;
    ② 若 是减函数,则 是增函数;
    ③ 若 是增函数, 是减函数,则 为增函数.

    答案:①②③

    解析:根据函数的判定口诀,可知三种判断关系均正确.

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