第3章专题7 函数的单调性（二）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

函数的单调性（二）

考向一  根据函数的单调性，求参数的取值范围

1、函数在上是减函数．则m的范围是               。

答案：

解析：根据题意，函数在上是减函数，则有，解可得，

2、函数在上是增函数，则a的取值范围是         。

答案：

解析：当时，，满足题意.

当时，在上是增函数，满足，解得：.

当时，在上是增函数，满足，解得：.综上所述：.

3、 的单调递增区间为 ，求 的取值范围________

答案：

解析：注意题目中，单调递增区间为
因为，开口向上，对称轴为 ，单调递增区间为
若 的单调递增区间为
所以
所以
所以

4、若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

答案：(－∞，3)

解析：f(x)＝＝＝1＋，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a－3<0，解得a<3.

5、已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是________ ．

答案：

解析：解法一：
设 ．
则由题意可得

而由题设可得 ，，．
．
解法二：
．
要使函数 在区间 上单调递减．
则 ，解得 ．
故答案为 ．
6、（1）函数在区间上具有单调性，则的取值范围（     ）

A．       B．    C．       D．

（2）已知函数是上的增函数，则　　

A．， B．， C．， D．，

（3）若在区间上是增函数，则的取值范围是        

【答案】（1）D （2）D（2）

7、 若函数f(x)=满足对任意x1≠x2,都有>0成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 

【答案】[-2,3)

【解析】由题意得y=f(x)为单调递增函数,

∴3-a>0,-(2-2)2≤2(3-a)+5a,∴-2≤a<3.

8、若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________．

 答案：或

解析：，
，
当时，，函数在为增函数，
当时，函数在为增函数，在为减函数；
综上，函数单调增区间为，，单调减区间为．
已知在上单调递增，
或，又，
或

9、若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)

A.(－1，0)∪(0，1)   B.(－1，0)∪(0，1]

C.(0，1)    D.(0，1]

解析　

因为f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在[1，2]上为减函数，所以由其图象得a≤1，g(x)＝，

g′(x)＝－，

要使g(x)在[1，2]上为减函数，需g′(x)<0在[1，2]上恒成立，

故有－a<0，因此a>0，综上可知0<a≤1.

答案　D

考向二  利用函数的单调性求函数的最值

1、若函数f(x)=x2-2x+m,在x∈[0,3]上的最大值为1,则实数m的值为　　   　　. 

【答案】-2

【解析】函数f(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,其对称轴为x=1,

则f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,3]上单调递增,则当x=3时,函数有最大值,

即为9-6+m=1,解得m=-2.

2、记函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M和m,则等于(　　)

(A)  (B)    (C)   (D)

【答案】D

【解析】因为f(x)==2+,

所以f(x)在[3,4]上是减函数.

所以m=f(4)=4,M=f(3)=6.

所以==.故选D.

3、求下列函数的最大值和最小值：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1），无最大值；（2）， ；（3） ，；（4），无最小值

【解析】对于（1），当时成立，令，故，

，故当时，，无最大值.

对于（2）；该函数为对勾函数，当时，在上单调递减，在上单调递增，故当时，，当时，；

对于（3），整理为，明显地，这是两个增函数相加，所以，对于，在上单调递增，所以，当时，，当时，

对于（4），因为，所以，令，，则，故可化简为：，明显地，，当时，即时，，该函数在时无最小值.

考向三  利用函数的单调性解不等式

1、函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是(　　)

(A)(-∞,3)  (B)(0,3)

(C)(3,+∞)  (D)(3,9)

【解析】B

【答案】因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得0<m<3,故选B.

2、函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1]    B.(0，＋∞)

C.(－1，0)    D.(－∞，0)

解析　当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.

作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，当且仅当或

解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.

答案　D

3、若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是　         　　　. 

【答案】[0,4]

【解析】由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因f(x)图象的对称轴为x=-=2.所以x在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同,所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.

4、函数是定义在上的减函数，对任意的，，都有，且.则不等式的解集为      

【答案】

5、设函数

（1）判断函数在上的单调性并用单调性的定义证明

（2）求不等式的解集

【答案】（1）单调递增，见解析（2）或.

【解析】（1）在上单调递增.

证明：设，且

由，且，得，所以，即函数在上单调递增

（2）由（1）小题可知在上是增函数，

且；

画出函数的图像如下：

由题知，所以不等式等价于

由图像可得，解得：或

即不等式的解集为或.

6、已知函数的定义域是，且满足,,如果对于,都有,    

（1）求；       

（2）解不等式

【答案】（1）0；（2）

7、设函数是定义在上的减函数，并且满足，；

（1）求和的值

（2）如果，求的取值范围

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）令，则，∴

又即：∴

（2）∴

∴，又由，又由是定义在上的减函数，得：，解得：.

∴的取值范围为.