第3章专题8 函数的奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

函数的奇偶性

考向一  函数奇偶性的判断

1、下列函数中，是奇函数的为(    ).

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】对函数，由于，因此，定义域为，，因此为奇函数．

故选A．

2、判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

 (2)f(x)＝

【解析】(1)由得x2＝3，解得x＝±，

即函数f(x)的定义域为{－，}，

从而f(x)＝＋＝0.

因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.

 (2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.

∵当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.

3、判断函数的奇偶性．

【答案】非奇非偶函数

【解析】．先判断函数的定义域为，所以是关于原点对称
．不妨设，则，同时会有，则有
．因为，所以函数是非奇非偶函数。

4、已知函数 对于任意的 ， 且 ， 都满足 ．

(1) 求 ， 的值；

【答案】，

【解析】令 即可得 ，令 即可得 ．
因为对于任意的 ， 且 ， 都满足 ．
所以令 ，得到 ．
所以 ．
令 ，得到 ．
所以 ．

(2) 判断函数 的奇偶性．

【答案】偶函数

【解析】令 ，得 ，由 (1) 可得偶函数．
由题意可知，函数 的定义域为 ，关于原点对称．
令 ，得 ．
因为 ．
所以 ．
所以 为偶函数．

5、函数 ，，若对于任意实数 ，，都有 ，求证： 为奇函数．

【答案】略

【解析】由于对任意的 也必有 ，可见， 的定义域也是 ．
若设 ，，则 与 的定义域都是 ，显然是关于原点对称的区间．而且 ，故 为偶函数．
，故 为奇函数．

6、判断下列图像中哪个可以表示偶函数

【答案】B

【解析】A虽然是轴对称图像，但对称轴不是轴，所以不是偶函数图像，当然也不是奇函数图像;
B关于轴对称，是偶函数图像;
C乍一看上去是中心对称图像，但是要注意，对称性是对图像上任意的一点都满足，和或时并不满足，所以不是奇函数;
D选项最明显，不是奇函数图像也不是偶函数图像;
E不关于轴对称，也不关于原点对称，不是奇函数也不是偶函数;
F：首先图像必须为图像（回忆函数定义），处对应两个函数值，并不是函数图像,
所以F不表示奇偶函数图像．

7、函数的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）　．

【答案】奇函数

【解析】

由已知得 的定义域为 即 ，则 其定义域关于原点对称， ，所以 是奇函数.

8、已知，则“”是“是偶函数”的（   ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

因为是偶函数，所以

所以.所以“”是“是偶函数”的充要条件.故选C.

9、如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是(   )

(A)y=x+f(x)   (B)y=xf(x)

(C)y=x2+f(x)   (D)y=x2f(x)

【答案】B

【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).

对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),所以y=x+f(x)是奇函数.

对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以y=xf(x)是偶函数.

对于C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数,

对于D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),所以y=x2f(x)是奇函数.故选B.

考向二  奇偶性的性质

1、偶函数在区间上的图象如图，则函数的增区间为______________．

【答案】和

【解析】偶函数的图象关于轴对称，可知函数的增区间为和

2、已知函数.

（1）判断的奇偶性，由此作出的大致图象；

（2）求的值域和单调区间.

【答案】（1）偶函数，图象见解析；（2）值域为，增区间为和，减区间为和.

【解析】（1）对于函数，，解得，

所以，函数的定义域为，

又，所以，函数为偶函数.

，函数的大致图象如下图所示：

（2）由图象可知，函数的值域为，

单调递增区间为和，单调递减区间为和.

考向三  根据函数的奇偶性求参数的值

1、若函数是偶函数，则等于____.

【答案】1

【解析】由于函数是偶函数，

所以即，

所以恒成立，所以.

2、已知 是定义在 上的偶函数，那么 的值是(　　)

A． B．
C． D．

【答案】B

【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称，，且 是定义在 上的偶函数，
得 ，解得 ，又 ，，．，故选 B

3、若函数在上是奇函数，则的解析式为（    ）．

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】函数在上是奇函数

，

即，，

即

，

解得

则

故选

4、已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．

【答案】2.

【解析】因为函数为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.

又，所以b＝1.故a＋b＝2.

考向四  根据奇偶性求函数值或解析式

1、如图,给出奇函数的局部图象，则的值为(    )

A． B．2 C．1 D．0

【答案】A

【解析】由图知，

又为奇函数,所以.

故选A.

2、已知函数为奇函数，若，则　　．

【答案】1

【解析】因为函数y＝f（x）为奇函数,所以f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).所以

f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=1

3、已知   是定义在 上的奇函数，当时， ，则 在 上的表达式为(　　)

A．     B．    C．    D．

【答案】D

【解析】当
又当时，
综上，

4、已知定义在 上的奇函数 ，当 时，，那么 时， ________

【答案】

【解析】当 时，则
将 代入 解析式，得到
因为 是奇函数
所以

5、已知是偶函数，是奇函数，若，则的解析式为_______．

【答案】