第4章专题3 指数函数的图像与性质（二）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

指数函数的图像与性质（二）

考向一  复合函数的定义域与值域

1、函数的定义域是__________，值域是__________.

【答案】；

2、已知函数的值域为，求的取值范围.

【答案】

3、求下列函数的定义域与值域.

（1）                            （2）

（3）                            （4）

【答案】（1）定义域，值域；（2）定义域，值域

（3）定义域，值域 （4）定义域R，值域

4、已知函数.

（1）若，把写成关于的函数，并求出定义域；

（2）求函数的最大值.

 【答案】（1），（2）29

已知，求函数的最大值和最小值．

【答案】的最大值为，最小值为．

考向二   复合函数的单调性

1、函数的单调递增区间是_________.

【答案】

2、函数的单调递减区间是_________.

【答案】

【解析】令，则， 在上递增，在上递减，而是增函数， 原函数的递减区间为，故答案为.

3、讨论函数的单调性.

【答案】在上单调递增，在上单调递减

4、已知函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)内递增，求a的取值范围．

【答案】[6，＋∞)

【解析】函数y＝2－x2＋ax＋1是由函数y＝2t和t＝－x2＋ax＋1复合而成．

因为函数t＝－x2＋ax＋1在区间(－∞，]上单调递增，在区间[，＋∞)上单调递减，且函数y＝2t在R上单调递增，

所以函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，]上单调递增，在区间[，＋∞)上单调递减．

又因为函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)内单调递增，所以3≤，

即a≥6.故a的取值范围为[6，＋∞)．

5、求函数的定义域、值域及单调区间．

【答案】定义域是．值域是;单调减区间是，单调增区间是．

【解析】解不等式，得或，

所以，函数的定义域为.

，，则函数的值域为.

令，由二次函数的性质可知，内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数为增函数，

由复合函数同增异减法可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

考向三  复合函数的奇偶性

1、函数的图象（   ）

A．关于原点对称     B．关于直线对称

C．关于轴对称     D．关于轴对称

【答案】D．

2、设函数，若为奇函数，则不等式的解集为（  ）

答案：

3、函数y＝2x－2－x是(　　)

A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

【答案】A

【解析】 f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，f(x)的定义域为R，关于原点对称，所以函数f(x)是奇函数，排除C，D.又函数y＝－2－x，y＝2x均是在R上的增函数，故y＝2x－2－x在R上为增函数．

4、设，那么是

A． 奇函数且在（0，＋∞）上是增函数    B． 偶函数且在（0，＋∞）上是增函数

C． 奇函数且在（0，＋∞）上是减函数    D． 偶函数且在（0，＋∞）上是减函数

【答案】D

【解析】

满足，所以是偶函数；

当时，，为减函数.

故选D.

5、设函数(R)是偶函数，则实数a=______．

－1【解析】设，∵为奇函数，由题意也为奇函数．所以，解得．

6、设，，若为奇函数，则_____．

【答案】．

7、设，试确定的值，使为奇函数.

【答案】（1）

考向四  分段函数的性质

1、若函数是上的单调减函数，则实数的取值范围是（   ）

A．       B．     C．   D．

【答案】B．

2、若函数是实数集上的增函数，则实数的取值范围为

A．         B．          C．          D．

【答案】C

【解析】要使得函数在实数域上是增函数，必须满足
，解得：
因此，选C

3、设函数f(x)=的最小值为2,则实数a的取值范围是　　　　　　.

【答案】[3,+∞)

【解析】当x≥1时,f(x)≥2,当x<1时,f(x)>a-1,由题意知,a-1≥2,∴a≥3.

考向五  指数型函数性质的综合应用

1、已知, ,若存在实数, 同时满足和,则实数的取值范围是__________．

【答案】

2、已知函数的图象经过点.

（1）求的值；

（2）求函数的定义域和值域；

（3）证明：函数是奇函数．

【答案】（1）1；（2）的定义域为；值域为；（3）详见解析.

【解析】（1）由题意知，函数的图象过点，可得，解得.

（2）由（1）知，函数，∵，，即的定义域为.

因为，

又∵，∴，所以的值域为．

（3）∵的定义域为，且，所以是奇函数．

3、已知函数f(x)＝3x－.

(1)判断x>0时，f(x)的单调性；

(2)若对于t∈恒成立，求m的取值范围．

【答案】（1）f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增;（3）[－4，＋∞)

【解析】解：(1) ∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，

y＝在(0，＋∞)上单调递减，

∴f(x)＝3x－在(0，＋∞)上单调递增．

(2)∵t∈，∴f(t)＝3t－>0.  ∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为

3t＋m≥0，即3t＋m≥0，即m≥－32t－1.

令g(t)＝－32t－1，则g(t)在上递减，∴g(x)max＝－4.

∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．

4、已知函数

（1）若函数在上具有奇偶性，求的值；

（2）当且，时，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）试求函数在，的最大值．

解：（1）若函数为偶函数；

则恒成立；

解得：

若函数为奇函数；

则恒成立；

解得：

综相可得：时是偶函数，时是奇函数

（2）由得恒成立

因为，且，，所以问题即为恒成立，

．

设令，则，，，

．所以，当时，，

（3），，．令，因，，故，．

当时，

当时，令．若，时取最大值，（1）．

若，时取最大值，（1）．

若，时取最大值，．

综上，

5、设函数.

(1)证明函数f(x)是奇函数;

(2)证明函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数;

(3)求函数f(x)在区间[1,2]上的值域.

(1)证明:函数的定义域为R,关于原点对称.

f(-x)

所以函数f(x)为奇函数.

(2)证明:设x1,x2是区间(-∞,+∞)内任意两实数,且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)

因为x1<x2,所

所以f(x1)-f(x2)<0,

即f(x1)<f(x2),

所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数.

(3)解:因为函数f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数,

所以函数f(x)在区间[1,2]上也是增函数,

所以f(x)min=f(1)

所以函数f(x)在区间[1,2]上的值域

③当x∈(0,1)时,f(x)<g(x).