第4章专题6 对数函数以及图像与性质（二）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

对数函数的图像与性质（二）

考向一  对数函数的定义域

1、函数的定义域是　　

A． B． 

C．，，   D．，，

【分析】令对数的真数大于0；分母非0，列出不等式组，求出函数的定义域．

【解答】解：要使函数有意义，需满足

解得且

故选：．

2、设集合，集合为函数的定义域，则　　

A． B．， C．， D．，

【分析】先化简集合，再根据并集的定义即可求出．

【解答】解：，，

的定义域为，

，，

故选：．

【点评】本题考查集合的并集的求法，是基础题．解题时要认真审题．

3、函数的定义域是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】首先由根式有意义得到，然后求解对数不等式得到原函数的定义域．

【解答】解：要使原函数有意义，则，

即，解得．

所以原函数的定义域为．

故选：．

4、对数表达式中的的取值范围是　　．

【分析】直接根据底数与真数满足的条件求解即可．

【解答】解：对数式的底数需大于0不等于1，真数大于0；

故需：的取值范围是：，，．

故答案为：，，．

【点评】本题主要考查对数表达式中底数与真数所满足的条件，属于基础题．

5、函数的定义域是　　．

【分析】根据函数的定义为使函数的解析式有意义的自变量取值范围，我们可以构造关于自变量的不等式，解不等式即可得到答案．

【解答】解：要使函数有意义，则需满足

解之得，且，

函数的定义域是，，．

故答案是，，．

【点评】本题考查了函数定义域的求解，做这类题目的关键是找对自变量的限制条件．

6、若对任意恒有意义，则实数的范围　　．

【分析】根据对数函数成立的条件进行讨论，分别进行求解即可．

【解答】解：要使函数有意义，则当意时，恒成立，

即．

若时，当时，此时不成立．

若，当时，作出函数和的图象，

当时，，得，

即，

若对任意恒有意义，

则，

即实数的范围是．

故答案为：．

考向二  复合函数的单调性

1、已知函数在，上是增函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．，， 

C． D．，，

【分析】先考虑函数，在，上是增函数，再利用复合函数的单调性得出求解即可．

【解答】解：设函数，

，

，

，在，上是增函数，

函数在，上是增函数，

，

故选：．

考向三  复合函数的单调性应用（最值与值域，解不等式）

1、已知函数的值域为，，则函数的定义域是　　

A．， B．， 

C．， D．，，

【分析】由题意可得，化简可得．再由，求得得范围，即可得到函数的定义域．

【解答】解：已知函数的值域为，，，即，

化简可得．

再由 可得，故函数的定义域为，，

故选：．

【点评】本题主要考查对数函数的定义域和值域，关键在于等价转化，属于中档题．

2、已知函数的值域为，则实数的取值范围为　　

A．， B．， 

C．，， D．

【分析】结合对数函数的值域为，等价转化为是值域的子集，利用一元二次函数的性质进行转化求解即可．

【解答】解：函数的值域为，

设，则能取边所有的正数，即是值域的子集，

当时，的值域为，满足条件．

当时，要使是值域的子集，则满足得，

此时，

综上所述，，

故选：．

【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，利用对数函数的值域为，等价转化为是值域的子集是解决本题的关键．

3、若定义运算，则函数的值域是　　

A． B．， C．， D．，

【分析】即取、的较大者，求出函数的表达式为分段函数，在每一段上求函数的值域，再取并集即可．

【解答】解：由题意得，

，

当时函数为，

因为在，为增函数，

所以，，

当时函数为，

因为在为减函数，

所以，

由以上可得，，

所以函数的值域为，，

故选：．

4、若函数有最小值，则的取值范围是　　．

【分析】先根据复合函数的单调性确定函数的单调性，进而分和两种情况讨论：①当时，考虑对数函数的图象与性质得到的函数值恒为正；②当时，△恒成立，没有最大值，从而不能使得函数有最小值．最后取这两种情形的并集即可．

【解答】解：令，

①当时，在上单调递增，

要使有最小值，必须，

△，

解得

；

②当时，没有最大值，从而不能使得函数有最小值，不符合题意．

综上所述：；

故答案为：．

5、函数 在时的值域为　　．

【分析】利用换元法，令由 可得，由题意可得，又因为函数在，单调递减，从而可求函数的值域．

【解答】解：令，

 因为，所以，

则，

又因为函数在，单调递减，

当是函数有最小值，当时函数有最大值8；

故答案为：

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，换元法的应用，二次函数性质的应用及函数的单调性的应用，属于基础知识的简单综合试题．

6、若函数，且的值域为，则实数的取值范围是　　．

【分析】函数，且的值域为，则其真数可取实数中每一个正数，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．

【解答】解：函数，且的值域为，其真数可取每一个正数，

即不恒成立，即存在使得，又且

故可求的最小值，令其小于等于4

，解得，

故实数的取值范围是，，

故应填，，

7、已知，若，则的取值范围为　　

A．，， B． 

C． D．，，

【分析】求出函数的定义域，再求出单调性，利用单调性求解不等式即可得结论．

【解答】解：由题意可得，解得，

即函数的定义域为，

因为在区间上，函数单调递增，函数单调递增，

所以函数在区间上单调递增，

又（2），所以，即为（2），

所以，

解得或．

故选：．

8、已知函数，则使得成立的的取值范围　　

A． B． 

C． D．，，

【分析】先利用函数奇偶性的定义得到是偶函数，是偶函数，令，，则，利用对勾函数的单调性结合复合函数的单调性得到当时，为减函数；当时，为增函数，原不等式等价于（1），所以，从而得出的取值范围．

【解答】解：，

，

是偶函数，

令，，

，

当时，为减函数；当时，为增函数，

则当时，为减函数；当时，为增函数，

，

，

（1），

，

，

解得：，

故选：．

考向四  复合函数的奇偶性

1、已知是奇函数，且当时，.若，则__________．

【答案】

【解析】由题意知是奇函数，且当时，，

又因为，，

所以，

两边取以为底数的对数，得，

所以，即．

2、若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为　　　　. 

【答案】0

【解析】函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,

所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),

所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.

3、已知是定义在上的偶函数，且时，．

（1）求的解析式；

（2）若，求实数的取值范围．

【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求函数的解析式；

（2）若，将不等式进行转化即可求实数的取值范围

【解答】解：（1）令，则，

时，，

则．

（2）（Ⅲ）在，上为增函数，

在上为减函数

（1）

，

或．

【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键

4、已知是定义在上的偶函数，且时，

（1）求（3）；

（2）求函数的解析式；

（3）若，求实数的取值范围．

【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可求（3）

（2）根据函数奇偶性的性质即可求函数的解析式；

（3）若，将不等式进行转化即可求实数的取值范围．

【解答】解：是定义在上的偶函数，时，，

（3）；

令，则，

时，，

则．

（Ⅲ）在，上为增函数，

在上为减函数

（1）

，

或

【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．

5、已知函数，其中且．

（1）求函数的定义域；

（2）判断的奇偶性，并说明理由；

（3）若，求使成立的的集合．

【分析】（1）根据函数解析式有意义的条件即可求的定义域；

（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断的奇偶性；

（3）根据，可得：，根据对数函数的性质即可求使的的解集．

【解答】解：（1）要使函数有意义，则，

解得，

即函数的定义域为；

（2），

是奇函数．

（3）若，

，

解得：，

，

若，则，

，

解得，

故不等式的解集为．

【点评】本题主要考查对数函数的定义域，奇偶性和不等式的求解，要求熟练对数函数的图象和性质．

6、已知函数的图象关于原点对称，其中为常数．

（1）求的值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程在，上有解，求的取值范围．

【分析】（1）函数的图象关于原点对称，可得，整理得恒成立，即可得出答案

（2）时，恒成立，求出时，的最大值，即可解出的取值范围

（3）由于在，上是增函数，在，上是减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点处的函数值的大小得出，解之即可得出答案

【解答】解：（1）函数的图象关于原点对称，

，即，

，恒成立，

即，即恒成立，所以，解得，

又时，无意义，故；

（2）时，恒成立，即，

在恒成立，

由于是减函数，故当，函数取到最大值，

，即实数的取值范围是；

（3）在，上是增函数，在，上是减函数，

只需要即可保证关于的方程在，上有解，下解此不等式组．

代入函数解析式得，解得，

即当时关于的方程在，上有解．

【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题

考向五  分段函数的综合性质

1、设函数 ，若，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】由题意或或或，则实数的取值范围是;

2、函数在区间，上的值域为，，则的最小值为　　．

【分析】先画出函数图象，再数形结合得到、的范围，最后计算的最小值即可

【解答】解：函数的图象如图

而（3）

由图可知，，，

的最小值为，时，即

故答案为

考向六  复合函数性质的综合应用

1、已知函数．

（1）若定义域为，求实数的取值范围；

（2）当时，解不等式．

【分析】（1）转化为判别式△，即可；

（2），将不等式转化为，再结合定义域即可得到范围．

【解答】解：（1）由已知得解集为，

△，解得；

（2）时，，

，

，

，

令，

则，

或，

或，

又，

，

综上，的解集为或且．

【点评】本题考查了恒成立问题，不等式的解法．主要考查分析和解决问题的能力，解题时注意定义域优先，本题属于基础题．

2、已知函数．

（1）若的定义域为，求的取值范围；

（2）若，求单调区间；

（3）是否存在实数，使在上为增函数？若存在，求出的范围？若不存在，说明理由．

【分析】（1）恒成立，△

（2）求出转化为二次函数问题

（3）根据符合函数单调性求解．

【解答】解：（1）函数的定义域为，

恒成立，△，

即的取值范围

（2），

．，或

设，对称轴，

在上为减函数，在上为增函数

根据符合函数单调性规律可判断：

在上为增函数，在上为减函数

（3）函数．

设，

可知在上为减函数，在上为增函数

在上为增函数

且，且，不可能成立．

不存在实数，使在上为增函数．

【点评】本题综合考察了函数的性质，结合不等式求解，对函数理解的比较透彻才能做这道题．

3、设函数，且．

（Ⅰ）求（3）的值；

（Ⅱ）令，将表示成以为自变量的函数；并由此，求函数的最大值与最小值及与之对应的的值．

【分析】（Ⅰ）根据函数的解析式求得（3）的值．

（Ⅱ）令，则，且，令，利用二次函数的性质求得的最值以及此时对应的的值．

【解答】解：（Ⅰ）函数，且，

故（3）．

（Ⅱ）令，则，且，

令，

故当时，函数取得最小值为，此时求得；

当时，函数取得最大值为12，此时求得．

【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，属于中档题．

4、设集合，，

（1）求集合，；

（2）若集合，且满足，求实数的取值范围．

【分析】（1）集合即函数定义域，即，的值域．

（2）先求出集合，由 可得，，解不等式得到实数的取值范围．

【解答】解：（1），，

，，，．

（2）集合，

，

，

，实数的取值范围．

【点评】本题考查函数的定义域、值域的求法，利用集合间的关系求参数的取值范围．

5、已知函数．

（1）若，求的取值范围．

（2）若，，求的值域．

【分析】（1）通过，列出不等式即可求的取值范围．

（2），，求出的范围，利用对数函数的单调性求解求的值域．

【解答】解：（1）函数，

，即，

，

．

（2），，，，

，，

，．

所以的值域为，．

【点评】本题考查函数的应用，对数不等式的解法，考查计算能力．

6、已知函数的定义域是，．设．

（1）求函数的解析式及定义域；

（2）求函数的最值．

【分析】第一步得到解析式和的范围后注意整理；第二步换元时要注意新元的范围，为下面的函数求值域做好基础．

【解答】解：（1）由题意可得

，且，

进一步得：，且定义域为【2，8】，

（2）令，则，，

，

在【1，3】递减

的值域为【（3），（1）】，即【，1】，

当时，有最小值，

当时，有最大值1．

【点评】此题考查了求函数解析式的基础方法，确定定义域和换元需注意的地方，并综合考查了二次函数求最值，综合性较强，难度不大．

7、已知，函数．

（1）当时，解关于的不等式；

（2）设，若对任意，，函数在区间，上的最大值与最小值的差都不超过1，求实数的取值范围．

【分析】（1）将的值代入得到关于的不等式，解出即可；

（2）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．

【解答】解：（1）时，，

令，即，，

故不等式的解集是；

（2）函数在区间，上单调递减，

由题意得，

即，

即，即，

设，则，，

当时，，

当时，，

在上递减，

，

，

实数的取值范围是．

【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．