第5章专题6 正余弦函数的图像-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

正余弦函数的图像

考向一  五点作图法

1、用“五点法”作的图像时，首先描出的五个点的横坐标是（    ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】由五点作图法可知，首先描出的五个点的横坐标为：，，，，.

故选：A.

2、利用五点法作函数的简图时，第三个点的坐标是（  ）

A．           B．            C．           D．

【答案】D

【解析】根据五点法作图中起关键作用的五点的特征加以判断.

3、函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】根据五点得到，，，，，得到选B．

4、记，，，则（    ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】画出的图像，如下图所示，其中，由图可知，即.

故选B.

5、函数y＝－cosx(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)

A.(，1) B.(，1)

C.(0,1) D.(2，1)

【答案】B

【解析】画出的图像如下图所示，由图可知，与轴最近的最高点的坐标为.故选B.

6、点在函数的图象上，则_______．

【答案】

【解析】将点的坐标代入，求得的值。

7、用五点法作下列函数的图像.

（1）；   （2）.

【答案】（1）图见解析（2）图见解析

【解析】（1）列表如下：

作图如下：

（2）列表如下：

作图如下：

8、已知函数．

（1）作出该函数的图象；

（2）若，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）的值为或或．

【解析】（1）作出函数的图象，如图①所示．

（2）因为，所以在图①基础上再作直线，如图2所示，

则由图象，知当时，，

当时，或．

综上，可知的值为或或．

考向二  解不等式

1、在内使成立的的取值范围是（    ）

A. B. 

C. D.

【答案】A

【解析】∵，∴，∴.在同一坐标系中画出，与，的图像，如图.

观察图像易得使成立的.

故选A.

2．利用余弦曲线，写出满足cos x>0，x∈[0，2]的x的区间是_________．

【答案】

【解析】画出在的图像如下图所示，由图像可知，对应的的取值范围是.

3、已知是定义在上的函数，的图像如图所示，那么不等式的解集是（  ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】易得：或

∴或

∴或，即

本题正确选项：

4．不等式＋2cosx≥0的解集是________。

【答案】

【解析】由＋2cos x≥0，得cos x≥－．

画出余弦函数的图象，如下图，

由图象得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x≥－的解集为，

故原不等式的解集为.

故答案为．

5、求函数的定义域．

【答案】

【解析】由题设可得，即，借助正弦曲线解得： ，借助余弦曲线解得，求其交集可得，故所求函数的定义域是。

6、根据正弦曲线求满足sinx≥－在[0,2π]上的x的取值范围．

解析：在同一坐标系内作出函数y＝sinx与y＝－的图象，如图所示．

观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sinx≥－的x∈∪，所以满足sinx≥－在[0,2π]上的x的范围是

.

7、观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【分析】由正弦函数与余弦函数图象即可写出即可．

【解答】解：根据正弦函数与余弦函数图象，则

（1），；

（2），；

（3），，；

（4），，．

8、（1）解三角不等式：

（2）解三角不等式：

【分析】利用余弦函数的图象和性质，解三角不等式，求得不等式的解集．

【解答】解：（1）由，可得，故不等式的解集为

（2）由，可得，又因为故不等式的解集为

考向三  零点问题

1、方程在内（  ）

A．没有根                     B．有且仅有一个根

C．有且仅有两个根             D．有无穷多个根

【答案】C

【解析】在同一坐标系中作出函数及函数的图象，如图所示．

发现有个交点，所以方程有个根．

2、（多选）关于函数，，的图象与直线为常数）的交点情况，下列说法正确的是　　

A．当或时，有0个交点 

B．当或时，有1个交点 

C．当时，有2个交点 

D．当时，有2个交点

【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况，进一步确定结果．

【解答】解：根据函数的解析式画出函数的图象：

①对于选项：当或时，有0个交点，故正确．

②对于选项：当或时，有1个交点，故正确．

③对于选项：当时，只有一个交点，故错误．

④对于选项：当，只有一个交点，故错误．

故选：．

3、函数y=2+sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y=2的交点个数是（    ）

A．3    B．2    C．1    D．0

【答案】A 

【解析】在同一坐标系中作y=2+sin x与y=2的图象，再观察交点个数．

4、函数的图象和的图象在内的交点坐标为________．

【答案】和

【解析】作出函数和在上的图像如下

从图像上可得：函数的图象和的图象在内的交点坐标为和；

5．方程的实数解有_______________个.

【答案】2

【解析】在区间上，分别画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像在区间上有两个交点，也即的实数解有个.故填：.

6、函数在内的零点个数为__________．

【答案】

【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数和的图像如图，结合图像的对称性可以看出两函数和的图像应有六个交点，即函数在内有六个零点，应填答案。

考向四  正余弦函数的综合运用

1、用“五点法”作出函数，的简图，并回答下列问题：

（1）观察函数图像，写出满足下列条件的的区间.

①；②.

（2）若直线与，的图像有两个交点，求的取值范围.

【答案】（1）①当时，；②当时，（2）

【解析】列表如下：

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如下图：

（1）由图像可知，图像在直线上方部分时，在直线下方部分时，

所以①当时，；②当时，.

（2）由图像可知，当直线与，的图像有两个交点时，或，所以的取值范围是.

2、若函数．

（Ⅰ）在所给坐标系中画出函数在一个周期内的图象；

（Ⅱ）求满足的的取值范围．

【分析】（Ⅰ）用五点法法作函数在一个周期上的简图．

（Ⅱ）根据三角函数的图象和性质，解不等式即可得到结论．

【解答】解：（Ⅰ）列表如下：

描点连线作图如下：

（Ⅱ），可得：，

，，

即，，

不等式的解集为，．

3、在同一平面直角坐标系内画出正弦函数和余弦函数在区间，上的图象，并回答下列问题．

（1）写出满足的的值；

（2）写出满足的的取值范围；

（3）写出满足的的取值范围；

（4）当时，分别写出满足，，的值的集合．

【分析】画出正弦函数和余弦函数在区间，上的图象，观查图象逐题解答即可．

【解答】解：同一平面直角坐标系内画出正弦函数和余弦函数在区间，

上的图象，如下图：

（1）由图象可知，当时，；

（2）由图象可知，若，则；

（3）由图象可知，若，则；

（4）结合（1）（2）（3）的结果可知，当时：

①若，则所求集合为；

②若，则所求集合为；

③若，则所求集合为，．