第5章专题8 正切函数的图像与性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册常考题型专题练习（机构专用）

正切函数的图像与性质

考向一  正切函数的定义域

1、 函数的定义域为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】解不等式，，得，，

因此，函数的定义域为，故选：A.

【备注】别忘了。

2、求下列函数的定义域

(1)；     (2）.  （3）

【答案】（1）

（2）

（3）

解析： （1）由不等式，解得

（2）由不等式，解得

（3）由不等式，解得

3、 与函数的图像不相交的一条直线是（    ）

A. B. C. D.

答案： C

解析：若直线与函数的图像不相交，则说明函数的自变量取不到的值，所以使得的值为所求。

考向二  正切函数的图像，单调性与值域

1、设函数，作出函数在一个周期内的简图.

【答案】

【备注】注意画图像之前先求函数的定义域。

2、函数 在 ，)上的大致图象依次是下图中的(　　)

A.①②③④ B.②①③④ C.①②④③ D.②①④③

【答案】C

【解析】

对应的图象为①， 对应的图象为②， 对应的图象为④，对应的图象为③.故选C.

3、函数的单调递增区间为                  .

A.     B.      C.      D.

【答案】C

4、函数的单调递增区间是(　　)

A、

B、

C、

D、

答案：选B

解析：由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．

5、函数y＝|tan x|在上的单调递减区间为________．

答案：，

解析：

作出y＝|tan x|的示意图如图，观察图象可知，y＝|tan x|在上的单调递减区间为和.

6、若函数在上是递增函数，则的取值范围是________

【答案】

【解析】由于数在上是递增函数，所以.由，则，由正切函数的递增区间可知：，所以，，由于，故取，所以.

故填：.

7、与的大小关系是_______.

【答案】

【解析】.

∵，∴，即.

8、设函数f(x)＝tan.

(1)求函数f(x)的定义域和单调区间；

(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．

【答案】(1) 定义域是；

单调递增区间是;(2) 解集是.

【解析】(1)由－≠＋kπ(k∈Z)，

得x≠＋2kπ(k∈Z)，

所以函数f(x)的定义域是

.

由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，

得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)．

所以函数f(x)的单调递增区间是

(k∈Z)．

(2)由－1≤tan≤，得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)．

解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．

所以不等式－1≤f(x)≤的解集是

.

9、函数，的值域是________．

【答案】

【解析】因为函数在单调递增，

所以，，故函数的值域为.

【备注】可以采用数形结合的方法进行求解。

10、函数在上的最小值为__________.

【答案】

【解析】利用整体法，先求出的范围，可以得到这个正切型函数在此范围内单调递增，则函数的最小值为.

11、 求函数的值域．

【答案】

【解析】设，则，

所以的值域是．

故答案为：．

考向三  正切函数的周期性，奇偶性与对称性

1、 函数是(    )

A.周期为的奇函数 B.周期为的奇函数

C.周期为的偶函数 D.周期为的偶函数

【答案】A

【解析】，即周期为,

，即函数为奇函数

本题正确选项：

2、己知函数的最小正周期是3．则a＝__________．

【答案】

【解析】函数的最小正周期是3，则3＝，得a＝，

所以函数f（x）＝2tan（）.

3、函数的相邻两支截直线所得线段长，则的值________.

【答案】0

【解析】∵函数图象的相邻两支截直线y所得线段长为，

∴函数f（x）的周期为，图象如下：

由得ω＝4，∴f（x）＝tan4x，∴f（）＝tanπ＝0．故答案为：0.

4、（多选）下列函数中是奇函数的是（   ）

答案：BCD

解析：A. 为偶函数，所以A错误；

B. 为奇函数，所以B正确

C. 为奇函数，所以C正确；

D. 为奇函数，所以D正确。

备注：若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有 .

5、已知为奇函数，且满足不等式，则的值为_________.

答案：

解析：因为是奇函数，所以，

又，所以，所以的可能取值为。

6、函数的对称中心为__________.

答案：

解析： ，

的对称中心是。

备注：正切函数的对称中心是，最后别忘了 。

7、函数的图象的一个对称中心是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由正切函数的对称中心可以推出对称中心的横坐标满足

，带入四个选项中可知，当时，.

故是图像的一个对称中心，选A.

8、下面哪个点不是函数图像的对称点（    ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】函数的对称中心横坐标满足：，

解得：，

令可得：，则选项A中的点是函数的对称点；

令可得：，则选项B中的点是函数的对称点；

令可得：，则选项D中的点是函数的对称点；

注意到没有整数解，故不是函数的对称点.

故选：C.

9、已知函数y＝tan(2x＋φ)的一个对称中心为，则φ可以是(　　)

A．－    B.      C．－     D.

答案：A

考向四  正切函数的综合应用

1、 已知函数.

（1）求的定义域；

（2）求的周期；

（3）求的单调递增区间.

【答案】（1）

（2）

（3） ，（）

【解析】（1）由可得：xkπ

即，∴的定义域为；

（2）周期T，∴的周期为；

（3）由可得：x，．

∴单调增区间为，（）．

2、已知函数的最小正周期为．

（1）求的值及函数的定义域；

（2）若，求的值．

【答案】（1），的定义域为；（2）

【解析】（1） ，,

又因为的定义域为，所以，

解得，故的定义域为。

（2）由得，，

。

3、已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）用定义判断函数的奇偶性；

（3）在上作出函数的图象．

【答案】（1）；（2）奇函数,见解析；(3)见解析

【解析】（1）由,得（）,

所以函数的定义域是.

（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称,

因为,所以是奇函数.

（3）,

所以在上的图象如图所示,

4、下列函数中，同时满足以下三个条件的是（    ）

①在上为增函数；②最小正周期为；③是奇函数.

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】对于A选项中的函数，该函数在上为增函数，最小正周期为，且为奇函数，A选项中的函数不符合条件；

对于B选项中的函数，该函数上为减函数，最小正周期为，且为偶函数，B选项中的函数不符合条件；

对于C选项中的函数，当时，，则该函数在上为减函数，最小正周期为，且为奇函数，C选项中的函数不符合条件；

对于D选项中的函数，该函数在上为增函数，最小正周期为，且为奇函数，D选项中的函数符合条件.

故选：D.

5、已知函数，其函数图像的一个对称中心是，则该函数的单调递增区间可以是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】为函数的对称中心    ，

解得：，，   

当时，，此时不单调，错误；

当时，，此时不单调，错误；

当时，，此时不单调，错误；

当时，，此时单调递增，正确

6、已知函数点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则（   ）

【答案】A

【解析】正切函数相邻的两个对称中心之间的距离为,

所以函数的周期为，故，根据函数在区间内单调递减，所以，

所以，由

，所以，

经过验证可得答案为A。