1.4 充分条件与必要条件-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

充分条件与必要条件【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件.②若既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.要点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达. 要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.  要点三、充要条件的证明    要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题. 【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1. “x<－1”是“x2－1>0”的________条件．【解析】，故，但，∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件．举一反三：【变式1】指出下列各题中，是的什么条件？(1) : ， : ；(2) : ，: 抛物线过原点(3) : 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等【答案】(1)∵: 或, : ∴且,∴是的必要不充分条件；(2)∵且,∴是的充要条件；(3)∵且，∴是的既不充分条件也不必要条件. 【变式2】判断下列各题中是的什么条件.（1）:且, :      （2）:, : .【答案】（1）是的充分不必要条件.∵且时，成立；反之，当时，只要求、同号即可.∴必要性不成立.（2）是的既不充分也不必要条件∵在的条件下才有成立.∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【变式3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件，那么丙是甲的（    ）.A、充分非必要条件     B、必要非充分条件C、充要条件           D、既不充分也不必要条件【答案】A；【解析】由已知有甲乙，丙乙且乙丙.于是有丙乙甲，且甲丙（否则若甲丙，而乙甲丙，与乙丙矛盾）故丙甲且甲丙，所以丙是甲的充分非必要条件. 例2. （2015 天津）设 ，则“ ”是“ ”的（    ）    （A）充分而不必要条件    （B）必要而不充分条件    （C）充要条件            （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】的解集为（1，3），的解集为，故 是的充分不必要条件。举一反三：【变式1】已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，则p是q的（     ）（A）充分不必要条件    （B）必要不充分条件（C）充要条件          （D）既不充分也不必要条件【答案】选（A）；q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3.如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看PQ， pq，但qp. 【变式2】下列叙述中正确的是(　　)A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【答案】(1)对于选项A，“b2－4ac≤0”是“ax2＋bx＋c≥0”必要不充分条件．故选项A不正确．(2)对于选项B，“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故选项B不正确．(3)对于选项C结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，“存在x∈R，有x2＜0”．故选项C不正确．(4)对于选项D；命题“l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平面平行的一个判定定理．故答案为：D【变式3】设，则条件“”的一个必要不充分条件为（    ）   A.      B.      C.      D.【答案】A 【变式4】已知p：“直线l的倾斜角”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的（    ）A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分也不必要条件【答案】 p：“直线l的倾斜角”，则直线l的斜率k=tanα＞1或k＜0；q ：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的必要不充分条件。故选B。 类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0. 举一反三：【变式1】已知a, b, c都是实数，证明ac<0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b2-4ac>0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，设为x1, x2, ∵ac<0, ∴x1·x2=<0，即x1,x2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x1,x2,且x1>0, x2<0，则x1·x2=<0，∴ac<0综上可得ac<0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件. 【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根，两异号的实根，须满足；两个负的实根，须满足综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1 类型三：充要条件的应用例4.已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围. 【解析】由，解得：又由，解得：p是q的充分不必要条件，所以：或 解得 【变式1】已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，∵p是q的充分不必要条件，∴，即A是B的真子集，可知或方程x2＋ax＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a2－4<0或，得－2≤a≤2.