人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质练习题

第三章  函数的概念与性质

【3.2.2   函数的最大（小）值】

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题型一   求函数的最值

1、若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是 (　　)

A.2    B.-2       C.2或-2     D.0

解析：当a>0时,由题意得2a+1-(a+1)=2，所以a=2；当a<0时，由题意得a+1-(2a+1)=2，所以a=-2。综上a=±2.故选C

2、当0≤x≤2时，a<-x2+2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(-∞，1]  B．(-∞，0]  C．(-∞，0)  D．(0，+∞)

解析：令f(x)=-x2+2x，则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1。又∵x∈[0，2]，∴f(x)min=f(0)=f(2)=0，∴a<0.

3、函数的最大值是：（   ）

A．     B．     C．     D．

解析：

故函数的最大值为：.故选A

4、函数在上的最小值和最大值分别是（    ）

A．        B．

C．        D．，无最大值

【详解】由题意知，函数的对称轴为，

在上，为减函数，在上，为增函数，

故当时，取得最小值，最小值为；当时，取得最大值，最大值为.故选A

5、已知的解集为.

（1）求实数a，b的值;

（2）若，，求函数的最小值.

解析：（1）依题意可得方程的根为4或1，

∴由根与系数的关系得即

（2）由（1）知，

∵，∴，，

∴+=（+）=++5≥2+5=9

当且仅当=，即x=时等号成立,∴的最小值为9.

题型二   函数最值的综合运用

6、若函数的定义域为[0,m]，值域为，则m的取值范围是(　　)

A．       B．

C．       D．

解析：∵=，∴，且，

由已知及二次函数的图象可知，m的值最小为,最大为3,即m的取值范围是，故选C.

7、设，其中min{a，b}=则函数的最大值为　　　　. 

解析： 在同一平面直角坐标系内,作出y=-x+6和y=-x2+4x+6的图像,如图所示.

由题意及图可知的图像是图中的实线部分,观察图像可知此函数的最大值为6.

8、已知，函数对任意，总有，且当时，，.

（1）求证:是R上的减函数；

（2）求在上的最小值.

解析：（1）证明:∀x1,x2∈R,且x1<x2，则x2-x1>0.

因为x>0时，f (x)<0，所以f (x2-x1)<0.

又因为x2=(x2-x1)+x1，

所以f (x2)=f [(x2-x1)+x1]=f (x2-x1)+f (x1),

所以f (x2)-f (x1)=f(x2-x1)<0，所以f (x2)<f (x1),

所以f (x)是R上的减函数.

（2）由（1）可知f (x)在R上是减函数，所以f (x)在[-3，3]上单调递减，

所以f (x)在[-3,3]上的最小值为f(3).

又f (3)=f (1)+f (2)=3f (1)=3×=-2,

所以函数f (x)在[-3,3]上的最小值是-2.

题型三   函数最值在方程不等式中的应用

9、已知二次函数的最小值为1，.

（1）求的解析式；

（2）若在区间上不单调，求的取值范围；

（3）若，试求的最小值.

解析：（1）由已知∵是二次函数，且，∴对称轴为.又最小值为1，

设，

又，∴.

∴.

（2）要使在区间上不单调，则，∴.

（3）由（1）知，的对称轴为，

若，则在上是增函数，.

若，即，则在上是减函数，.

若，即，则.

综之，当时，；

当时，；当时，.

10、已知函数.

（1）若，求函数在区间[0,3]上的最小值；

（2）若函数在区间[0，1]上有最大值3，求实数a的值.

解析：（1）若a=2，则f(x)= -x2+4x-1= -(x-2)2+3,该函数的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=2，

∴函数f(x)在区间[0,2]上单调递增,在区间[2,3]上单调递减,

又f(0)= -1， f(3)=2,∴f (x)min=f (0)= -1.

(2)易知函数图象的对称轴为直线x=a,

①当a≤0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,则f(x)max=f(0)=1-a=3,解得a= -2；

②当0<a<1时,函数f(x)在区间[0，a]上单调递增,在区间[a,1]上单调递减,则

f(x)max=f(a)=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,均不符合题意;

③当a≥1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=3,解得a=3.

综上所述,a=-2或a=3.

能力提升                                                  思维拓展  探究重点

1、函数在闭区间上有最大值3，最小值为2， 的取值范围是

A．  B．  C．  D．

解析：作出函数的图象，如图所示，

当时，最小，最小值是2，当时，，

函数在闭区间，上上有最大值3，最小值2，

则实数的取值范围是，．

故选：．

2、已知函数，若的最小值为，则实数的值不可能是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

解析：由题意当时，，

当且仅当时，等号成立；

当时，，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为，

当时，为函数在上的最小值，不合题意；

当时，为函数在上的最小值，，

由题意可得，解得；

综上，实数的取值范围为.故选：A.

3、已知函数.

（1）若对任意的实数都有成立，求实数的值；

（2）若在区间上为单调增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，求函数的最大值.

解析：（1）由题意知函数的对称轴为1，即

（2）函数的图像的对称轴为直线;

在区间上为单调递增函数，

得，

（3）函数图像开口向上，对称轴，

当时，时，函数取得最大值为：

当时，时，函数取得最大值为：

当时，或－1时，函数取得最大值为：

4、已知函数.

（1）若，求函数的最值；

（2）若，记函数的最小值为，求关于a的函数解析式.

解析：（1）当时，其图象开口向上,且对称轴方程为，

∴函数在上单调递减，在上单调递增，

∴的最小值为， ，，∴的最大值为，最小值为.

（2）函数的图象开口向上，且对称轴方程为，

当，即时，在[-1,1]上单调递增，∴；

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

∴；

当，即时，在[-1,1]上单调递减，

∴.

综上可得，