高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算学案及答案

   6.2.1平面向量的加法运算

导学案

编写：廖云波      初审：孙锐      终审：孙锐  廖云波

【学习目标】

1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.

2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.

3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．

【自主学习】

知识点1  向量的加法法则

(1)三角形法则

如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．21·世纪*

对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.

(2)平行四边形法则

如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以     ，    为邻边作              ，则以O为起点的对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．

知识点2  向量加法的运算律

(1)交换律：a＋b＝b＋a.

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

【合作探究】

探究一  向量的加法法则

【例1】如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.

归纳总结：

【练习1】(1)如图①所示，求作向量和a＋b.

(2)如图②所示，求作向量和a＋b＋c.

探究二  向量的加法运算

【例2-1】如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．

(1)＋＝________；

(2)＋＋＝________；

(3)＋＋＝________；

(4)＋＋＝________.

【例2-2】化简：

(1)＋；   (2)＋＋；   (3)＋＋＋＋.

归纳总结：

【练习2-1】(1)化简：①＋；②＋＋＋＋.

(2)如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：

①＋；      ②＋；     ③＋.

【练习2-1】化简：(1)＋＋.    (2)(＋)＋(＋)．  (3)＋(＋)＋.

探究三  向量加法的应用

【例3】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．

归纳总结：

【练习3】在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上，分别取点F，E，使BE＝DF(如图)，用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．

探究四  向量加法的实际应用

【例4】长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.

(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；

(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示)．

归纳总结：

【练习4】某人在静水中游泳，速度为4千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．在四边形ABCD中，＝＋，则(　 　)

A．ABCD一定是矩形     B．ABCD一定是菱形

C．ABCD一定是正方形   D．ABCD一定是平行四边形

2．下列等式不成立的是(　 　)

A．0＋a＝a　　　　　　　B．a＋b＝b＋a

C.＋＝2          D.＋＝

3．已知向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向南航行1 km”，则a＋b表示(　　)

A．向东南航行 km  B．向东南航行2 km

C．向东北航行 km  D．向东北航行2 km

4．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是(　　)

A.＝，＝

B.＋＝

C.＋＝＋

D.＋＋＝

5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则(　　)

A．a∥b，且a与b方向相同

B．a，b是共线向量且方向相反

C．a＝b

D．a，b无论什么关系均可

6.如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于(　　)

A.        B.

C.        D.

7．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么(　　)

A.＝  B.＝2

C.＝3  D．2＝

8．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是(　　)

A.＋＋＝0

B.＋＋＝0

C.＋＋＝

D.＋＋＝

9．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)21

A.  B．2  C．3  D．4

二、填空题

10．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.

11．设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：

(1)＋＝________；

(2)＋＋＝______；

(3)＋＋＝________；

(4)＋＋＋＝________.

12．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．

三、解答题

13.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.

求证：＋＝＋.

14．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．

B组 能力提升

一、选择题

1.如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则||=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.2

2.如图所示,点O是正六边形的中心,则(   )

A. B.0 C. D.

3.若在中,,且,则的形状是(   )

A.等边三角形  B.锐角三角形

C.斜三角形  D.等腰直角三角形

二、填空题

4.化简:()+()+=　　　　　. 

5.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD,那么(在横线上只填一个向量):

(1)=　　　　　; 

(2)=　　　　　; 

(3)=　　　　　. 

6．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝___________________.

7.已知向量的夹角为,,则___________.

三、解答题

8.已知||=|a|=3,||=|b|=3,∠AOB=60°,求|a+b|.

9.   设O是△ABC内任一点，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．

证明：＋＋＝＋＋.

10.在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．