人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案及答案

   6.4.3正弦定理

导学案

编写：廖云波      初审：孙锐      终审：孙锐  廖云波

【学习目标】

1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用

2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状

3.能利用正、余弦定理解决综合问题

【自主学习】

知识点1  正弦定理的呈现形式

1.＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)；

2．a＝＝＝2Rsin A；

3．sin A＝，sin B＝，sin C＝.

知识点2  正弦定理的常见变形

1．sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

2.＝＝＝＝2R；

3．a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；

4．sin A＝，sin B＝，sin C＝.

知识点3  利用正弦定理判断三角形的解的个数

已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：

由正弦定理得sinB＝，

①若>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．

②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．

③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2.

【合作探究】

探究一  已知两角和任意一边解三角形

【例1】在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．

[分析]　由三角形的内角和定理可求A的度数．根据正弦定理可求a，c.

[解]　因为B＝30°，C＝105°，

所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.

由正弦定理，得＝＝，

解得a＝＝4，c＝＝2(＋)．

归纳总结：

【练习1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝       .

【答案】

解析：在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，

可得sinA＝，sinC＝，

sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝，

又a＝1，由正弦定理得b＝＝.

探究二  已知两边及一边的对角解三角形

【例2】下列三角形是否有解？有解的作出解答．

(1)a＝7，b＝8，A＝105°；

(2)b＝10，c＝5，C＝60°；

(3)a＝2，b＝6，A＝30°.

[分析]　利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑．

[解]　(1)a＝7，b＝8，a<b，A＝105°>90°，本题无解．

(2)b＝10，c＝5，b<c，C＝60°<90°，本题有一解．

∵sinB＝＝＝，

∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.

∴a＝＝＝＝5(＋1)．

(3)a＝2，b＝6，a<b，A＝30°<90°，

又∵bsinA＝6sin30°＝3，∴a>bsinA，

∴本题有两解．

由正弦定理得：

sinB＝＝＝，∴B＝60°或120°，

当B＝60°时，C＝90°，c＝＝＝4；

当B＝120°时，C＝30°，c＝＝＝2.

∴B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.

归纳总结：

【练习2】在三角形中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是         。

A．,, B．,,

C．,, D．,,

【答案】D

【解析】A已知两角一边，三角形确定的，只有一解，B已知两边及夹角用余弦定理，只有一解，C中已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解，D中，，有两解．故选：D.

探究三  利用正弦定理判断三角形的形状

【例3】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，

且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．

[分析]　注意到a，b在条件式中是齐次的，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角，通过角的特征或者关系来判断三角形的形状．

[解]　因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，

所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]

＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，

所以2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，

即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.

由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，

所以sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，

又sinA·sinB≠0，所以sinAcosA＝sinBcosB，

所以sin2A＝sin2B.

在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，

所以2A＝2B或2A＝π－2B.

所以A＝B或A＋B＝.

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．

归纳总结：

【练习3】在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，判断△ABC的形状．

解：由题意得(sinA＋sinC)(sinC－sinA)＝sin2B，

即－sin2A＋sin2C＝sin2B.由正弦定理得－a2＋c2＝b2，

即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．

课后作业

A组 基础题

一、选择题

1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　根据正弦定理，得＝＝.

2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)

A．锐角三角形   B．直角三角形

C．钝角三角形   D．等腰三角形

答案　B

解析　由题意有＝b＝，则sin B＝1，

又B∈(0，π)，故角B为直角，

故△ABC是直角三角形．

3．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)

A．30°  B．45°  C．60°  D．90°

答案　B

解析　∵＝，

∴＝，

又由正弦定理，得＝.

∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，

又∵C∈(0°，180°)，

∴C＝45°，故选B.

4．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　)

A．1  B．2  C.  D.

答案　B

解析　∵A＝105°，B＝45°，

∴C＝30°.

由正弦定理，得c＝＝＝2.

5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　由正弦定理，得＝，

∴sin B＝＝＝.

∵a>b，∴A>B，又∵A＝60°，∴B为锐角．

∴cos B＝＝ ＝.

6．在△ABC中，已知A＝，a＝，b＝1，则c的值为(　　)

A．1  B．2  C.－1  D.

答案　B

解析　由正弦定理＝，

可得＝，∴sin B＝，

由a>b，得A>B，∴B∈(0，)，∴B＝.

故C＝，由勾股定理得c＝2.

7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于(　　)

A.  B．－  C．±  D.

答案　A

解析　由正弦定理及8b＝5c，得8sin B＝5sin C，

又∵C＝2B，

∴8sin B＝5sin 2B＝10sin Bcos B，∴cos B＝，

∴cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×2－1＝.

8．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则角C的值为(　　)

A．45°  B．30°  C．75°  D．90°

答案　C

解析　由正弦定理，得＝，∴sin A＝.

∵BC＝2<＝AC，∴A为锐角，∴A＝45°，∴C＝75°.

9．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　)

A．直角三角形   B．等边三角形

C．钝角三角形   D．等腰直角三角形

答案　B

解析　由正弦定理，知＝＝，

∴tan A＝tan B＝tan C，

又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，

故三角形为等边三角形．

10．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　)

A．45°   B．60°

C．75°   D．90°

答案　C

解析　设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°，

∴＝＝

＝

＝×＋＝＋，

∴＝1.∴tan A＝1，

又∵A为锐角，∴A＝45°，C＝75°.

11．在△ABC中，＝，则△ABC一定是(　　)

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

答案　D

解析　在△ABC中，∵＝，

∴acos A＝bcos B，

由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，

∴sin 2A＝sin 2B.

又∵A，B∈(0°，180°)，

∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，

∴A＝B或A＋B＝90°.

故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

12．在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB等于(　　)

A．2  B.  C.  D．4

答案　C

解析　∵tan A＝，A∈(0°，180°)，∴sin A＝.

由正弦定理，知＝，

∴AB＝＝＝.

二、填空题

13．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.

答案　1

解析　由正弦定理，得＝，

∴sin B＝.

∵C为钝角，∴B必为锐角，∴B＝，

∴A＝.∴a＝b＝1.

14．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝______.

答案　45°

解析　由正弦定理＝，得sin B＝，

∵a>b，∴A>B.

∴B只有一解．∴B＝45°.

15．在△ABC中，cos A＝，cos B＝，BC＝4，则AB＝________.

答案　5

解析　∵A，B∈(0，π)，

∴sin A＝ ＝.

sin B＝ ＝.

∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B

＝×＋×＝1，

∴C＝，

∴AB＝＝＝5.

16．已知 c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为________．

答案　0

解析　∵c<b，∴C<B，∴B＋C>180°，

故三角形无解．

17．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________.

答案　7

解析　∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，

∴＝＝＝2R＝2，

∴＋＋＝2＋1＋4＝7.

18．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝________.

答案　1∶1∶

解析　根据三角形内角和定理，得

A＝180°－30°－120°＝30°，

由正弦定理，得

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶.

19．锐角三角形的内角分别是A、B、C，并且A>B.下列三个不等式中成立的是________．

①sin A>sin B；

②cos A<cos B；

③sin A＋sin B>cos A＋cos B.

答案　①②③

解析　A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故①成立．

函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数，

∵A>B，∴cos A<cos B，故②成立．

在锐角三角形中，∵A＋B>，∴A>－B，

函数y＝sin x在区间[0，]上是增函数，

则有sin A>sin，即sin A>cos B，

同理sin B>cos A，故③成立．

三、解答题

20．在△ABC中，求证：＝.

证明　因为＝＝＝2R，

所以左边＝

＝

＝＝＝右边．所以等式成立．

21．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．

解　由正弦定理知＝，

∴＝.

即sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B.

又∵a≠b且A，B∈(0，π)，

∴2A＝π－2B，即A＋B＝.

∴△ABC是直角三角形且C＝，

由得a＝6，b＝8.

故内切圆的半径为r＝＝＝2.

22．在△ABC中，bsin B＝csin C且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．

解　由bsin B＝csin C，得b2＝c2，

∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形，

由sin2A＝sin2B＋sin2C得a2＝b2＋c2，

∴△ABC为直角三角形，

∴△ABC为等腰直角三角形．

23．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.

解　∵＝，

∴a＝＝＝10.

B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.

又∵＝，

∴b＝＝＝20sin 75°

＝20×＝5(＋)．

24．在△ABC中，acos(－A)＝bcos(－B)，试判断△ABC的形状．

解　方法一　∵acos(－A)＝bcos(－B)，

∴asin A＝bsin B.

由正弦定理，可得a·＝b·，

∴a2＝b2，∴a＝b，

∴△ABC为等腰三角形．

方法二　∵acos(－A)＝bcos(－B)，

∴asin A＝bsin B.

由正弦定理，可得2Rsin2A＝2Rsin2B，

又∵A，B∈(0，π)，

∴sin A＝sin B，

∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)．

故△ABC为等腰三角形．

25．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．

解　由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，

所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.

由正弦定理＝＝，

得b＝a×＝5×＝5，

c＝a×＝5×＝5×

＝5×

＝(＋)．